精品解析：山东青岛市崂山区2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 某大学生创业团队积极支持家乡建设，为乡村剪纸工作室设计了一批窗花图案，下列作品中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义只有D答案图形符合． 2. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况． 【小问1详解】 解：对于选项A：，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：，不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B错误； 对于选项C：当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得； 当时，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得； 当时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得； 再两边同加，不等号方向不变，得，故D正确． 故选：D． 3. 下列关于三角形的命题不是真命题的是（ ） A. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D. 一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，需根据全等三角形的判定定理判断各选项命题的真假，全等三角形判定必须至少有一组对应边相等才能成立． 【详解】∵ 判定两个三角形全等，必须至少有一组对应边相等. 对各选项逐一判断： A、两条直角边对应相等，直角是两直角边的夹角，符合全等判定，是真命题； B、 斜边对应相等，且一锐角对应相等，符合全等判定，是真命题； C、 只有两个锐角对应相等，没有对应边相等，不能判定全等，因此该命题不是真命题； D、 一条直角边相等且斜边上的高相等，可先通过证明直角边与高构成的小直角三角形全等，得到对应锐角相等，再通过证明两个大直角三角形全等，是真命题． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正误判断，需运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式逐一验证各选项． 【详解】解：A、，分解错误． B、=，与左边不相等，分解错误． C、=，与左边不相等，分解错误． D、==，符合提公因式法和平方差公式，分解正确． 故选：D． 5. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则． 6. 已知不等式组的解集为，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、求代数式的值，先分别求出每个不等式得解集，再根据题意得出，，从而求出，，代入代数式即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 如图，沿方向平移后，得到，已知，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．据平移的性质可得，，再进一步即可得解． 【详解】解：∵沿方向平移后，得到，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 故选：B． 8. 如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，无法证明四边形 是平行四边形，故不符合题意； B、当时，根据一组对边平行另一组对边相等无法证明四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，故符合题意； D、当时，可知，一组对边平行无法证明四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：C. 9. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则等于（ ） A.              B. C.              D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形和正方形内角和确定每一个内角度数，再根据四边形内角和和对顶角相等确定答案． 【详解】解：如图，，， ∵正六边形每个内角是， 正方形每个内角是， ， ∴． 10. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点，然后根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解． 【详解】解：∵直线经过点 ∴，解得 ∴， 观察函数图象可知： 当时，直线在直线的上方，即， 当时，直线在x轴的下方，即， ∴不等式的解集为：． 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式的值为，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴且， 解得． 12. 小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论． 【详解】解：． 13. 一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程：（千米）， 提速后的速度：（千米/小时）， 提速后的时间：（小时）， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）， 故答案为：． 14. 某种商品的进价为元，销售时标价为元，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，则最多可以打________折． 【答案】 【解析】 【分析】设可打x折，根据利润不低于元列不等式，并求出符合题意的解即可． 【详解】解：要保持利润率不低于，设可打x折， 则， 解得， ∴最多打折． 15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，是的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的性质可得，进而得；再根据三角形的中位线性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，是、的中点，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴． 16. 如图，在中，，，点，为上两点，，为外一点，且，．以下结论：①；②；③若，则；④周长的最小值为．正确的有________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①通过证得；②将转化为四边形的面积，的面积转化为四边形的面积，比较两四边形面积大小即可；③由等腰直角三角形边的关系得，由得，．由①全等得，，故，为直角三角形．由②知垂直平分，故．由勾股定理列方程求解得；④将周长转化为定值加，求最小值时即求的最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求得周长的最小值为． 【详解】①∵， ∴，即， 在和中： ∴，得．结论①正确． ②由题意，． ，． 是等腰直角三角形， ∴， ∴平分． ， 设的交点为，连接， ，即转化为四边形的面积， 由①可得， ∴的面积等于四边形的面积． 为外一点， 四边形的面积大于四边形的面积，即， 故结论②正确． ③，， ， ， ， 由，得，． ∴， 为直角三角形． 如图， 由得，是等腰直角三角形，平分， 是的垂直平分线， ， 在中，，，， 由勾股定理：，即，， 解得，故结论③正确． ④周长， ， ． ，即最小时，周长最小， 等腰直角三角形， ，即求最小值． 当时，取得最小值，设为， 由等面积法可得，即的最小值为， 的最小值为， 周长的最小值为，不是． 结论④错误． 综上，正确的有①②③． 三、作图题（本大题共2小题，共8分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，在网格中画出； （2）的面积为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点和旋转方式确定点的位置，再描点，连线作图即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，． 18. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 【答案】如图，即为所求； 【解析】 【分析】先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：作图依据：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求． 四、解答题（本大题共7小题，共64分） 19. 按要求解题 （1）解不等式组：，并写出它的整数解； （2）因式分解：； （3）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1），整数解为，，，，， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先解出每个不等式，再找到两个解集的公共部分，并求出其中的整数解； （2）先提公因式再用完全平方公式因式分解； （3）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法，最后选择使分式有意义的的值代入求值即可． 【小问1详解】 解： 解①得 解②得 ∴ ∴整数解为，，，，，； 【小问2详解】 解： ． ； 【小问3详解】 解： 当时，原式． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某学校计划采购一批某款平板学习机，学习机标价统一为元，现从甲、乙两家销售商了解到不同优惠方案，采购多台均可享受折扣． 素材一 甲销售商优惠规则：第一台按原价元收费，剩余每台优惠； 乙销售商优惠规则：所有平板每台统一优惠． 素材二 该学校计划采购平板学习机台（为正整数）． 素材三 根据预算限制，采购平板数量不超过台． 请完成下列任务： 任务一 （1）分别写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； 任务二 （2）求出采购多少台时，两家销售商花费相同，并分析采购数量不同时，选择哪家销售商更划算； 任务三 （3）若学校计划采购台平板，请判断去乙销售商采购是否更便宜，并说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，两家销售商花费一样；当时，选乙销售商更划算；当时，选甲销售商更划算． （3）当时，甲销售商更划算，去乙销售商采购不便宜， 理由如下： 当时，，所以选甲销售商更划算，去乙销售商采购不便宜 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙的优惠方式写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； （2）分别计算出当时、当时、当时，的取值范围，根据采购数量确定选择哪家销售商更划算； （3）因为当时，，所以当时，选甲销售商更划算，去销售商店采购不便宜． 【小问1详解】 ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当时， 可得：， 解得：； ②当时， 可得：， 解得：， 又， ； ③当时， 可得：， 解得：， ； 答：当时，两家销售商花费一样； 当时，选乙销售商更划算； 当时，选甲销售商更划算； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，选甲销售商更划算，去乙销售商采购不便宜． 21. 如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点，垂足是点．若，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理可推出，则，得到，根据勾股定理求出，最后根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得，， ， 的周长为． 22. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作，且，连接，，．证明： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形得平行且等于，推出，结合 得，等量代换得，用证明； （2）先由且证四边形是平行四边形，得平行且等于 ，再结合中平行且等于，推出平行且等于，进而证四边形 是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，其中购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．求购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价是元，B型机器人模型的单价是元 （2）购买A型机器人台，B型机器人台时花费最少，最少花费是元 【解析】 【分析】（1）设B型机器人单价为元，则A型机器人单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，花费元，写出关于的函数，根据题意求出的取值范围，利用一次函数的增减性求解题目即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人单价为元，则A型机器人单价为元． 解得 经检验是原方程的解， A型单价：（元）， 答：A型机器人模型的单价是元，B型机器人模型的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，花费元， 型不超过A型的倍． A型折后单价：（元）， B型折后单价：（元）， ， ∵费用是关于的一次函数，且系数， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，总费用最少为（元）， 此时B型数量为：台． 答：购买A型机器人台，B型机器人台时花费最少，最少花费是元． 24. 在整数除法体系中，一个正整数除以一个正整数的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以一个正整数所得的余数记作“模”，例如：记作“模”；记作“模”；记作“模”． （1）模________； （2）若模，为正整数，则模________； （3）已知分式，模，模，，（）为正整数，则模________； （4）如图所示，有两种卡片，其中边长为的正方形卡片有张，长为，宽为的矩形卡片有张，用这张卡片刚好拼接成一个大长方形，其中模，模，，为正整数，设这个大长方形的面积为，若模，请直接写出满足条件的，的取值组合． 【答案】（1） （2） （3） （4），；，；，；，；， 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）设，则，根据能被5整除，8除以5余3，结合新定义可得答案； （3）先化简R得，设，，k、m为非负整数，求得，根据新定义求得模即可求解； （4）先根据题意得到拼接的大长方形的面积，设，，k、m、t、n为非负整数，且，，求得，根据新定义，只需能被3整除，进而可求得m、n的取值组合． 【小问1详解】 解：∵， ∴模； 【小问2详解】 解：∵模，为正整数， ∴设，为非负整数，则， ∵能被5整除，8除以5余3， ∴模，即模； 【小问3详解】 解：， ∵模，模， ∴设，，k、m为非负整数， ∴ ， ∵k、m为非负整数， ∴能被7整除， ∴模，则模； 【小问4详解】 解：根据题意，拼接的大长方形的面积， ∵模，模，，为正整数， ∴设，，k、m、t、n为非负整数，且，， ∴ ， ∵模， ∴能被3整除， ∵能被3整除， ∴能被3整除， 又m、n为非负整数，且，， ∴，；，；，；，；，． 25. 如图，已知长方形中，，，，分别是边和对角线上的两个动点，其中点从点出发沿方向运动，速度为每秒；同时，点从点出发沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为． （1）小明发现当点在的角平分线上时，点恰好处在线段的垂直平分线上．你同意他的想法吗？请通过计算说明理由； （2）如图，当点运动到中点时，沿将翻折，使点落在点处，延长交于点，求此时的长度； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）解：同意，理由如下： 过点作于点， 四边形是长方形 点在的角平分线上 在中由勾股定理得 在中由勾股定理得 解得 即： 此时 恰好处在线段的垂直平分线上，小明的发现是正确的． （2） （3）秒或秒 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可证明，则，可求得和，在中由勾股定理得，可求得，此时，，所以，则题目可证； （2）可证明，设则，，，在中由勾股定理得求解即可； （3）是以为腰的等腰三角形，分两种情况，求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：连接，由题意得， 由折叠得， ，， ∵四边形是长方形， ， ， 在和中 设则，，， 在中由勾股定理得， 解得， ； 【小问3详解】 解：当时，则， 当时，过点作于， ， 四边形是长方形， ， 由 ， 在中由勾股定理得 解得 综上当秒或秒时是以为腰的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 某大学生创业团队积极支持家乡建设，为乡村剪纸工作室设计了一批窗花图案，下列作品中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于三角形的命题不是真命题的是（ ） A. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D. 一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式组的解集为，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 7. 如图，沿方向平移后，得到，已知，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则等于（ ） A.              B. C.              D. 10. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则的解集是（ ） A. B. C. D. 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式的值为，则实数的值是______． 12. 小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 13. 一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 14. 某种商品的进价为元，销售时标价为元，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，则最多可以打________折． 15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，是的中点，连接，若，，则的长为________． 16. 如图，在中，，，点，为上两点，，为外一点，且，．以下结论：①；②；③若，则；④周长的最小值为．正确的有________．（请填写序号） 三、作图题（本大题共2小题，共8分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，在网格中画出； （2）的面积为________． 18. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 四、解答题（本大题共7小题，共64分） 19. 按要求解题 （1）解不等式组：，并写出它的整数解； （2）因式分解：； （3）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某学校计划采购一批某款平板学习机，学习机标价统一为元，现从甲、乙两家销售商了解到不同优惠方案，采购多台均可享受折扣． 素材一 甲销售商优惠规则：第一台按原价元收费，剩余每台优惠； 乙销售商优惠规则：所有平板每台统一优惠． 素材二 该学校计划采购平板学习机台（为正整数）． 素材三 根据预算限制，采购平板数量不超过台． 请完成下列任务： 任务一 （1）分别写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； 任务二 （2）求出采购多少台时，两家销售商花费相同，并分析采购数量不同时，选择哪家销售商更划算； 任务三 （3）若学校计划采购台平板，请判断去乙销售商采购是否更便宜，并说明理由． 21. 如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点，垂足是点．若，求的周长． 22. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作，且，连接，，．证明： （1）； （2）四边形是平行四边形． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，其中购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．求购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 24. 在整数除法体系中，一个正整数除以一个正整数的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以一个正整数所得的余数记作“模”，例如：记作“模”；记作“模”；记作“模”． （1）模________； （2）若模，为正整数，则模________； （3）已知分式，模，模，，（）为正整数，则模________； （4）如图所示，有两种卡片，其中边长为的正方形卡片有张，长为，宽为的矩形卡片有张，用这张卡片刚好拼接成一个大长方形，其中模，模，，为正整数，设这个大长方形的面积为，若模，请直接写出满足条件的，的取值组合． 25. 如图，已知长方形中，，，，分别是边和对角线上的两个动点，其中点从点出发沿方向运动，速度为每秒；同时，点从点出发沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为． （1）小明发现当点在的角平分线上时，点恰好处在线段的垂直平分线上．你同意他的想法吗？请通过计算说明理由； （2）如图，当点运动到中点时，沿将翻折，使点落在点处，延长交于点，求此时的长度； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $