精品解析：山东省德州市庆云县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

八年级数学试题 2026年7月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，外角和，三角形内角和，任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意； B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意； C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意； D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意； 故选：B． 3. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线的性质，可得，，且，可推出，由此计算出的数值．将的数值与的长度相加，即可得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴的周长为． 4. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 它的图象与轴交于点 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，图象与坐标轴交点求法，象限分布规律，逐个判断选项即可． 【详解】解：A. ∵一次函数中，，∴随的增大而增大，故A错误； B.令，则，解得，∴它的图象与轴交于点，故B错误； C.当时，，即，故C错误； D．∵，，∴它的图象经过第一、二、三象限，故D正确．故选：D． 5. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如表，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ） 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 6 15 10 4 A. 6h，6h B. 6h，15h C. 6.5h，6h D. 6.5h，15h 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用中位数和众数的概念求解可得． 【详解】解：这组数据的中位数为第18个数据，即中位数为6h；6出现次数最多，众数为6h． 故选：A． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 6. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：，  ，  ，   选择“是”的分支进行运算， 输出值为：     ． 7. 如图，的对角线相交于点，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点，连接，．则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当时，则， ∴四边形不一定是菱形、矩形，故A、B不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C符合题意；D不符合题意． 8. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数图象的理解和分析，解题的关键是根据图象分析出需要的条件．根据给出的函数图象分别判断出甲、乙两人的路程，行驶的时间和速度即可求解． 【详解】解：A、甲、乙两人练习的长跑路程是，选项正确，不符合题意； B、根据图象可知，甲、乙两人同时达到终点，选项正确，不符合题意； C、根据图象可知：前分钟甲的速度为：（米/分）， 乙的速度为：（米/分）， 前分钟，甲比乙每分钟快（米），选项正确，不符合题意； D、分钟后，甲在前，乙在后，选项错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出，，然后通过勾股定理求得，连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点，当点与重合，即三点共线时由最小值，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：由， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∴当点与重合，即三点共线时由最小值， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 10. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①联立，求出的值即可得到答案； ②由定义可知点在直线上，求出，再将点代入即可求出的值； ③将一次函数的“关联点”代入求出k的值即可； ④由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：①联立， 解得：， 一次函数的“关联点”为，故①正确； ②∵一次函数的“关联点”为， ∴点在直线上， ， ， 一次函数的“关联点”为， ， 解得：，故②错误； ③∵一次函数的“关联点”为， ∴把代入得：， 解得：，故③正确； ④直线上没有“关联点”， 直线与直线平行， ， ， 当时，， 当时，，解得， ，， ， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， 解得：或， 或，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 随着国民经济的飞速发展，中国物流行业保持较快增长速度，物流体系不断完善，行业运行日益成熟和规范．某单位需要运输一批货物，有甲、乙两家物流公司可供选择，该单位收集了10位客户对两家物流公司“服务质量的评价”得分（满分10分），绘制了如图所示的折线统计图，则“服务质量的评价”更为稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查的是从折线统计图中获取信息，方差或极差的含义，根据折线统计图可得甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从而可得答案. 【详解】解：由题意可得： 甲：7，8，6，8，7，5，8，6，8，7；乙：4，8，10，6，9，5，7，5，9，6． 甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定． ∴甲的稳定性更好． 13. 如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长度，进而即可求出这棵树折断前高度． 【详解】解：根据题意得，， 在中，， ， 这棵树折断前高为， 故答案为：18 14. 已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． 15. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P．从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形的面积为y，请结合图象分析：当时，y的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可求出点P移动一周的路程为16，求出2026除以16的商和余数，则可确定当时点P的位置，再根据三角形的面积公式计算对应的面积即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴正方形的周长为，， ∴点P移动一周的路程为16； ∵，， ∴当时，点P运动到上，且与点C的距离为， ∴此时． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题为二次根式的混合计算，按照先算乘除，再算加减的运算顺序，结合二次根式乘除法则，绝对值的性质，零指数幂的性质化简，最后合并同类二次根式即可得到结果． （1）先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减，进行计算，即可； （2）先去绝对值，，再根据二次根式的加减，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 八年级 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：七年级打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 18. 一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． （1）求这个一次函数的解析式； （2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； （3）当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）图象见解析，4； （3） 【解析】 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； 【小问3详解】 解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是． 19. 2026春晚舞台上，机器人表演节目成为一大亮点，《武》惊艳亮相．这不仅是一场精彩的科技表演，更是中国科研能力的集中展现．某科研团队研发时发现此型号机器人的剩余电量与表演时长分钟之间存在一次函数关系，相关数据记录如下表． 表演时长分钟 剩余电量 （1）求y与x的函数关系式； （2）若机器人剩余电量为时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟？ 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）设出一次函数的一般式，从表格中选取两组对应数据代入，组成二元一次方程组，求解方程组得到和的值，进而确定函数关系式． （2）将剩余电量代入（1）中求得的函数关系式，解关于的一元一次方程，得到的值即为最长表演时长． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得，， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：该机器人在充满电后最长表演时长为分钟． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 21. 综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_________． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 （3）如图4，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为_________． 【数学思想】 （4）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是_________（填序号）． ①数形结合思想 ②分类讨论思想 ③函数思想 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）① 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算方法，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）运用勾股定理可得，设边上的高为，，运用网格与勾股定理可得，由此列式即可求解； （2）设，则，在中，，在中，，由此列式即可求解； （3）如图所示，连接，运用勾股定理可得，根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； （4）根据题意，解析过程进行分析即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ∴， 如图所示，分别取格点，连接， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）如图所示，连接， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ∴， ∵数轴上点表示的数是， ∴点表示的数为， 故答案为：； （4）根据以上解析过程可得，运用的数学思想是“数形结合”， 故答案为：①． 22. 如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． （1）求直线和的函数表达式； （2）当x取何值时，? （3）求的面积． 【答案】（1）：；： （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先求出点坐标，然后结合图形，可知时，； （3）先求出点，利用即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵直线：与y轴交于点， ∴， ∴直线的表达式为：； ∵直线：经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得， ∵直线与相交于点D， ∴点， 结合图像可知时，； 【小问3详解】 解：将代入直线：，得到，解得， ∵直线与轴交于点； ∴点， ∵， ∴， ∴的面积． 23. 在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． （1）如图1，当点N在上时，求证：； （2）如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图1，过点M作于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）3． 【解析】 【分析】（1）过点M作于点P，于点Q，证明四边形是正方形，进而证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点M作于点V，交于点T，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图2，过点M作于点V，交于点T， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 2026年7月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 4. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 它的图象与轴交于点 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 5. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如表，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ） 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 6 15 10 4 A. 6h，6h B. 6h，15h C. 6.5h，6h D. 6.5h，15h 6. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，的对角线相交于点，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点，连接，．则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 8. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 化简：________． 12. 随着国民经济的飞速发展，中国物流行业保持较快增长速度，物流体系不断完善，行业运行日益成熟和规范．某单位需要运输一批货物，有甲、乙两家物流公司可供选择，该单位收集了10位客户对两家物流公司“服务质量的评价”得分（满分10分），绘制了如图所示的折线统计图，则“服务质量的评价”更为稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 13. 如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高__________． 14. 已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 15. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P．从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形的面积为y，请结合图象分析：当时，y的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 17. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 八年级 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 18. 一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． （1）求这个一次函数的解析式； （2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； （3）当时，自变量的取值范围是 ． 19. 2026春晚舞台上，机器人表演节目成为一大亮点，《武》惊艳亮相．这不仅是一场精彩的科技表演，更是中国科研能力的集中展现．某科研团队研发时发现此型号机器人的剩余电量与表演时长分钟之间存在一次函数关系，相关数据记录如下表． 表演时长分钟 剩余电量 （1）求y与x的函数关系式； （2）若机器人剩余电量为时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟？ 20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_________． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 （3）如图4，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为_________． 【数学思想】 （4）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是_________（填序号）． ①数形结合思想 ②分类讨论思想 ③函数思想 22. 如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． （1）求直线和的函数表达式； （2）当x取何值时，? （3）求的面积． 23. 在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． （1）如图1，当点N在上时，求证：； （2）如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $