精品解析：陕西西安高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末监测数学试题

西安高级中学2025-2026学年度第二学期下学期期末监测试题 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名､准考证号､座位号填写在本试卷上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.作答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.检测范围：高考范围 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对为奇数和偶数进行分类讨论，整理得到，从而得到，为常数数列，从而推出定值，进而代入即可求出的值． 【详解】当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以， 又，则，即， 所以， 所以， 所以． 2. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 3. 已知复数，函数图象的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出的值，得到的解析式，根据正切函数的对称性求解． 【详解】因为 所以， 故函数， 令，解得， 故函数的对称中心为， 当时，，故函数的对称中心可以为. 故选：D 4. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况. 【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 5. 为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A. 282 B. 228 C. 283 D. 229 【答案】A 【解析】 【分析】使用换元法将问题转化为一元二次函数的最值问题求解即可. 【详解】当甲大棚的投入资金为时，乙大棚的投入资金为， 所以， 由，可得，令，则， 得到， 因为，所以当， 即时，最大，最大值为282，故A正确. 6. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的性质，及二次函数的性质求解即可． 【详解】由是开口向上的二次函数，且对称轴为， 又， 若，且，即， 又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件； 若，且， 所以对称轴为，解得． 综上，． 7. 已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 8. 中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用矩形与几何体对称性确定底面矩形外接圆圆心、中点与上下中点连线底面，构造等腰梯形算出长度；设球心到底面距离、外接球半径，分球心在线段上、延长线上两种情况，结合列方程求解，第一种情况无解，第二种求出与，最终代入球表面积公式算出结果. 【详解】如图，连接，设. 因为四边形为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心，连接. 则平面，分别取的中点. 根据几何体的对称性可知，直线交于点． 连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以. 连接，在与中，易知. 所以梯形为等腰梯形，所以，且． 设，球的半径为，连接， 当在线段上时，由球的性质可知， 易得，则，此时无解． 当在线段的延长线上时，由球的性质可知： ，解得，所以， 所以球O的表面积. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形. 取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 10. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D． 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 选项A：当时，可得，，，故A正确； 选项B：当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B正确； 选项C：设直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去x，化简整理得，设，，则，， 所以， 又点C到直线l的距离， 所以， 当且仅当时，等号成立，三角形面积的最小值为4，故C错误； 选项D：由抛物线的定义得 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 11. 已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（ ） A. B. ， C. 当为奇数时， D. 对于任意正整数， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先明确的定义及取值要求，再依据独立事件概率乘法原理和古典概型公式计算. 【详解】在A选项中，表示：前时，且，， 若则，因此必须，概率， 若，只能是或，均不等于1， 又因为，所以只能走的路径为， 概率为，总概率，A错误， 在B选项中，设第次移动为，各以概率取， 则​，且独立， ，所以， ，故，B正确， 在C选项中，为奇数时，表示：次移动中，次， ​次，总增量为0， 符合条件的路径数为， 每条路径概率为，故：，C正确， 在D选项中，表示前步中从未等于1， 即所有，根据反射原理，符合条件的路径总数为， 总路径数为，故：代入验证均成立，D正确. 三､填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分） 12. 已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 13. 在锐角三角形中，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式及同角的三角函数关系化简求解即可. 【详解】 . 因为锐角三角形中，，所以，. 14. 在等差数列中，公差，前项和为.若，则________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明､证明过程､演算步骤；15题13分，16-17题15分，18-19题17分. 15. 记的内角，，的对边分别为，，.向量，，. （1）求； （2）若，，，用，表示向量，并求的周长. 【答案】（1） （2），的周长为 【解析】 【小问1详解】 由，得， 由正弦定理，得， 代入得，又，故，即. 因为，所以. 【小问2详解】 由，得， 整理得，即. 设，将上式两边平方得 ， 代入，，， 得，化简为，解得（负根舍去），故. 由余弦定理，， 故，的周长为. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 【答案】（1） （2） （3）因为， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 则， 又，且时，故， 欲证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 令，，则， 则在上单调递减，则，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）将问题转化为在上恒成立，令，分、、、四种情况讨论； （3）先求的值域，将问题转化为对任意的，都有，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，即在上恒成立， 则在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令， 若，则在上恒成立，不符合题意； 若，则的对称轴为， 若，则，则， 则在上单调递增，则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 若，即，则在上存在一个零点， 则当时，，在上单调递增， 则，不符合题意； 若，即，则，在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意， 综上，实数的最小值为； 【小问3详解】 略 17. 在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……，号展柜. （1）若，. （i）求5号展柜内放的是新产品的概率； （ii）用表示最右边的新产品所在展柜编号，求的数学期望. （2）若表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：. 【答案】（1）（i）（ii） （2）由题意随机变量的取值为（从取到），且， 则的期望为， 所以 . 【解析】 【分析】(1)(i)通过组合数计算. (ii)分别计算不同编号的可能性，最后得出数学期望. (2)表示出后通过组合数的性质证明不等式. 【小问1详解】 （ⅰ）当，时，5号展柜内放的是新产品的概率为. （ⅱ）最右边的新产品所在展柜编号只可能为4和5， ，， 所以. 【小问2详解】 略 18. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）按照如下方法依次构造点列（其中）：设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线于曲线交与另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点． （i）求证：数列和均为等比数列； （ii）记的面积为，当时，求证：． 【答案】（1） （2）（i）过且斜率为的直线方程为：， 将代入得，即， 则，①， 设直线的方程为， 将代入得，即， 则，可得②， 同理，由，可得③， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 即， 代入，解得（*）， 将②③代入，结合①可得， 代入（*）式子，得到， 由于，，，满足，则， ， 则是以1为首项，4为公比的等比数列， 是以2为首项，4为公比的等比数列． （ii）由（ⅰ）可得，，，， ， ，，， 代入得，化简得， 则是首项为1，公比为2的等比数列，故． ， 其中， ， ， ， 由于， ， 所以 ，综上得证． 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，得出以线段为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到轴的距离等于半径，建立方程化简即可； （2）（i）通过直线与抛物线联立，结合韦达定理得出，再结合题干，来证明等比数列即可；（ii）同（i）推导得出为等比数列以及它们的通项，化简得出的表达式，对于右边可以放缩为等比求和来证明，对于左边可以放缩为裂项求和来证明. 【小问1详解】 设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切，所以， 化简得，所以曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略；（ⅱ）略. 19. 已知函数．设为原点，动点在曲线上． （1）求函数的最小值； （2）求证：直线的斜率大于1； （3）过点作直线的垂线，垂足为，当时，取得最小值；当时，取得最小值．求证：． 【答案】（1）3 （2）依题意，，直线的斜率， 不等式，令函数， 求导得，由（1）得在上单调递增， 而，则存在，使得，， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，则， 所以，即直线的斜率大于1. （3）由垂直于直线于点，得直线方程为， 则点，， 由（2）得， 函数在处取得最小值，因此当时，取得最小值，， 令函数，求导得， 由（1）得在上单调递增，， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 因此当时，取得最小值，，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值. （2）求出函数的斜率，由斜率大于1等价变形并构造函数，利用导数求出最小值并证明大于0即可. （3）求出点的坐标，再求出，再利用导数结合零点存在性定理确定范围即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，于是当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数的最小值是3. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高级中学2025-2026学年度第二学期下学期期末监测试题 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名､准考证号､座位号填写在本试卷上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.作答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.检测范围：高考范围 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，函数图象的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 5. 为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A. 282 B. 228 C. 283 D. 229 6. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 10. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为3 D. 的最小值为 11. 已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（ ） A. B. ， C. 当为奇数时， D. 对于任意正整数， 三､填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分） 12. 已知实数，满足，则的最大值为_____． 13. 在锐角三角形中，，则______________. 14. 在等差数列中，公差，前项和为.若，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明､证明过程､演算步骤；15题13分，16-17题15分，18-19题17分. 15. 记的内角，，的对边分别为，，.向量，，. （1）求； （2）若，，，用，表示向量，并求的周长. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 17. 在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……，号展柜. （1）若，. （i）求5号展柜内放的是新产品的概率； （ii）用表示最右边的新产品所在展柜编号，求的数学期望. （2）若表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：. 18. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）按照如下方法依次构造点列（其中）：设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线于曲线交与另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点． （i）求证：数列和均为等比数列； （ii）记的面积为，当时，求证：． 19. 已知函数．设为原点，动点在曲线上． （1）求函数的最小值； （2）求证：直线的斜率大于1； （3）过点作直线的垂线，垂足为，当时，取得最小值；当时，取得最小值．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $