2.2基本不等式（三）课后作业---- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦基本不等式应用，分层设计清晰，从基础应用到综合实践再到能力提升，构建“概念理解-运算强化-模型应用”的巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练题|基本不等式直接应用与变形|含选择、填空、解答题，如求最值、恒成立问题，巩固运算能力| |综合训练题|综合应用与实际问题|设多选题辨析结论，温室面积应用题构建模型，培养推理与模型意识| |能力提升题|复杂情境与恒成立问题|涉及参数与最值综合，如条件等式下的最值求法，发展创新与理性思维|

2.2基本不等式（三） 学习目标 1．熟练掌握基本不等式及变形的应用； 2．会用基本不等式解决实际问题中的最大(小)值问题. 课后作业 一、基础训练题 1．某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为（ ） A． B． C． D． 2．已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 4．函数的最小值是___________. 5．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 6．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值； (3)已知x＞－1，求y＝的最小值； (4) 已知－4<x<1，求y＝的最大值． 二、综合训练题 7.（多选题）若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 8．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 3、 能力提升题 9．若， ，则的最小值为__________． 10．，，且，不等式恒成立，则的范围为_______. 参考答案 1、【答案】C 【解析】由题意，汽车全程运输成本，当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以当汽车的行驶速度为时，全程运输成本最小. 2、【答案】3 【解析】∵x，y>0，∴＋＝1≥2 ，得xy≤3， 当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3. 3、【答案】 【解析】因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， 所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥. 4、【答案】4 【解析】令，则，当且仅当，即时，. 所以函数的最小值是4. 5、【答案】5＋2 【解析】由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2. 6、【解析】(1)∵x<，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1. (2)∵0<x<，∴1－2x>0，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝. (3)∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝＝＝x＋1＋＋1≥2＋1， 当且仅当x＋1＝时，即x＝－1时，函数y的最小值为2＋1. (4) y＝＝，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0. 故y＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立． 7、【答案】ABD 【解析】因均为正数，且，则有， 当且仅当时取“=”，即的最大值为，A正确； ， 当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确； 显然，在上单调递减，无最小值，C不正确； ，当且仅当时取“=”， 即的最小值为，D正确. 8、【解析】设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为 m(2<x<200)． 依题意得种植面积：S＝(x－2)＝800－－4x＋8＝808－≤808－2＝648， 当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立． 即当矩形温室的一边长为20 m，另一边长为40 m时种植面积最大，最大种植面积是648 m2. 9、【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以 当且仅当，等号成立. 10、【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $