2026-2027学年初升高数学提前课+课时十三+基本不等式（三）+课后练习

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础应用到综合建模，适配初升高衔接教学，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式直接应用|选择1-5、填空9-11，考查“和定积最大”“积定和最小”等基础结论| |提升层|条件转化与变形技巧|选择6-8、填空12，需构造“1”的代换或变量代换（如x+3y=5xy）| |综合层|实际问题数学建模|解答13-16，结合利润计算、促销决策，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

课时十三　基本不等式（三） 课后练习 一、选择题 1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A. B.≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8 2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2 3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　) A. B. C.5 D.6 4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　) A.1 B.3 C.6 D.12 5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　) A.＋<1 B．＋≥1 C.＋<2 D．＋≥2 6．若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B． C. D． 7．已知x≥，则有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 9.函数y=(x>-1)的图象的最低点坐标是　　　　　.  10.设a>1,b>0,若a+b=2,则的最小值为　　　　　.  11．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 12．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 三、解答题 13.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值. 14.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和. (1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少? 15．已知a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值． 16.某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2026年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)将2026年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数； (2)该厂家2026年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 课时十三　基本不等式（三） 课后练习（答案） 一、选择题 1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A. B.≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8 解析:4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,故,选项A,C不成立; ≥1,选项B不成立; a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立. 答案:D 2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2 解析:由基本不等式,得4xy≤4·=1,当且仅当x=y=时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t>1. 因此实数t的取值范围是t>1. 答案:A 3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　) A. B. C.5 D.6 解析:由x+3y=5xy可得=1,所以3x+4y=(3x+4y)+2=5,当且仅当x=1,y=时,取等号. 故3x+4y的最小值是5. 答案:C 4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　) A.1 B.3 C.6 D.12 解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=, ∴2x+y=2x+≥2=3. 当且仅当,即x=1时,取等号. 答案:B 5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　) A.＋<1 B．＋≥1 C.＋<2 D．＋≥2 解析：　因为ab≤≤＝4，所以＋≥2≥2＝1， 当且a＝b＝2时等号成立． 答案:B 6．若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B． C. D． 解析：选C　因为0<x<，所以1－4x2>0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立。 答案:C. 7．已知x≥，则有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 解析：　＝＝， 因为x≥，所以x－2>0， 所以≥·2 ＝1. 当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． 故原式有最小值为1. 答案:D 8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：　不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. 答案:B 二、填空题 9.函数y=(x>-1)的图象的最低点坐标是　　　　　.  解析:由题意得,y==(x+1)+≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2). 答案:(0,2) 10.设a>1,b>0,若a+b=2,则的最小值为　　　　　.  解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0, 则[(a-1)+b]=3+≥3+2=3+2, 当且仅当,且a+b=2,即a=3-,b=-1时取得最小值3+2. 答案:3+2 11．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以ab≤＝1，所以①恒成立； ＋≤2 ＝2，所以②不恒成立； a2＋b2≥＝2，所以③恒成立； 当a＝b＝1时，a3＋b3＝2＜3，所以④不恒成立； ＋＝(a＋b)＝≥2，所以⑤恒成立． 答案：①③⑤ 12．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号， 所以有＝≤＝， 即的最大值为，故a≥. 答案： 三、解答题 13.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值. 解:∵x+y=(x+y)=a+b+≥a+b+2=()2,∴()2=18. 又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2. 14.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和. (1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少? 解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为×150%+×50%, 所以年销售收入为 ·Q=(32Q+3)+x. 所以年利润 W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x≥0). (2)令x+1=t(t≥1),则W==50-. 因为t≥1,所以≥2=8,即W≤42,当且仅当,即t=8时,W有最大值42,此时x=7. 故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元. 15．已知a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值． 解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)． 因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)， 所以a2＋b2的最小值为1. (2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因为a，b为正实数，所以ab＝1. 16.某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2026年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)将2026年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数； (2)该厂家2026年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m ＝4＋8－m ＝－＋29(m≥0)． (2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2026年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元． 学科网（北京）股份有限公司 $