第四章 投影与视图【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了投影（中心投影、平行投影）和三视图（定义、画法、还原）核心知识，通过对比表格、特征总结等方式建立知识网络，如投影部分明确两类投影的光源、光线及特点差异，三视图部分强调“长对正、高平齐、宽相等”法则与常见几何体视图特征。 其亮点在于结合生活情境设计分层练习，如路灯影子问题培养几何直观与空间观念，旗杆高度计算通过比例推理发展运算能力与推理意识，三视图还原活动强化模型意识。这种设计让学生从数学角度观察现实问题，教师可利用练习题与解析精准复习，提升学生知识应用与空间想象能力。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 章末复习 第四章 投影与视图 第四章 投影与视图 全章综合练习题 适用教材：北师大版数学九年级上册 涵盖小节：4.1投影（中心投影、平行投影）、4.2三视图（认识三视图、由三视图还原几何体） 答题时长：60分钟 满分：100分 全章核心知识点汇总 一、投影（4.1） 1. 中心投影：由点光源（路灯、台灯、手电筒）发散光线形成的投影。 核心特点：光线不平行，物体离光源越近影子越长，离光源越远影子越短，影子方向随光源位置改变，可利用相似三角形计算高度、影长。 2. 平行投影：由平行光线（太阳光、月光）形成的投影。 核心特点：光线互相平行，同一时刻、同一地点，竖直物体的高度与影长成正比；所有物体影子朝向一致，影子长短仅与物体高度、光线角度有关，与物体位置远近无关。 3. 两类投影本质区别：光线来源不同，中心投影为点光源发散光线，平行投影为平行光线。 二、三视图（4.2） 1. 三视图定义：主视图（正面观察）、左视图（左面观察）、俯视图（上面观察）。 2. 绘图黄金法则：长对正、高平齐、宽相等。 可见轮廓画实线，被遮挡不可见轮廓画虚线。 3. 常见几何体三视图特征 正方体：三视图均为正方形；球体：三视图均为圆形；竖放圆柱：主、左视图为矩形，俯视图为圆；竖放圆锥：主、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心点的圆；长方体：三视图均为矩形。 4. 三视图还原几何体技巧：俯视图定底面布局，主视图定高度层数，左视图定前后结构，三视图结合方可唯一确定几何体形状。 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列现象属于中心投影的是（ ） A. 阳光下的树影 B. 月光下的人影 C. 路灯下的影子 D. 正午楼房影子 2. 平行投影的核心特征是（ ） A. 光线发散 B. 光线互相平行 C. 影子大小可变 D. 影子方向不固定 3. 同一时刻阳光下，甲、乙两根竖直竹竿，甲更高，则（ ） A. 甲影子更长 B. 乙影子更长 C. 影长相等 D. 无法判断 4. 绘制三视图时，几何体内部看不见的轮廓线应画（ ） A. 实线 B. 虚线 C. 不绘制 D. 粗线 5. 三视图均为全等圆形的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 6. 主视图、左视图为矩形，俯视图为圆的几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 7. 仅凭借两个视图，能否唯一确定几何体形状（ ） A. 能 B. 不能 C. 不一定 D. 多数情况可以 8. 人夜晚远离路灯行走，影子变化规律是（ ） A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 长度不变 D. 先短后长 二、填空题（每题4分，共28分） 9. 太阳光形成的投影是________投影，台灯形成的投影是________投影。 10. 三视图绘制的三大原则是长对正、________、________。 11. 竖直放置的圆锥，俯视图是________。 12. 同一时刻平行投影下，物体高度与影长成________关系。 13. 还原组合几何体时，________视图可以确定底层小正方体的分布。 14. 中心投影的光线由________发散而来。 15. 长方体的三视图均为________。 三、解答题（每题20分，共40分） 16. 投影计算题：某天同一时刻，测得高1.5m的标杆影长1.2m，校园旗杆影长18m，旗杆垂直地面，求旗杆的高度。 17. 三视图应用题：已知一个几何体主视图、左视图均为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆。请写出几何体名称，并说明该几何体的三视图绘制要点。 全章参考答案与详细解析 一、选择题解析 1. C 解析：路灯为点光源，属于中心投影；阳光、月光均为平行光，属于平行投影。 2. B 解析：光线互相平行是平行投影的本质定义。 3. A 解析：同一时刻平行投影下，物体越高，影长越长，高度与影长成正比。 4. B 解析：三视图规范：可见轮廓实线，不可见遮挡轮廓虚线。 5. C 解析：球体任意方向观察均为等大圆形，三视图完全相同。 6. B 解析：竖放圆柱正、侧视为矩形，俯视为圆形，符合题干特征。 7. B 解析：两个视图无法锁定唯一几何体，必须三视图结合判断。 8. A 解析：中心投影中，物体远离点光源，光线倾斜角度变大，影子逐渐变长。 二、填空题答案 9. 平行；中心 10. 高平齐；宽相等 11. 带圆心实心点的圆 12. 正比例 13. 俯视 14. 同一点（点光源） 15. 矩形 三、解答题解析 16. 解：平行投影中同一时刻物体高度与影长成正比。 设旗杆高度为x m，列比例式：$$\frac{1.5}{1.2}=\frac{x}{18}$$ 解得：$$x=22.5$$ 答：旗杆高度为22.5m。 17. 答：该几何体为圆锥。 绘制要点：① 主视图、左视图为全等的等腰三角形，严格遵循高平齐；② 俯视图为圆形，圆心必须绘制实心点，代表圆锥顶点的投影；③ 三视图整体满足长对正、宽相等的原则，线条规整，无多余线条。 投影与视图 学习思路 概念 分类 应用 学习方法 具体到抽象 从一般到特殊 几何直观 空间观念 学习内容 平行投影 (平行光线) 中心投影 (点光源) 主视图 左视图 俯视图 投影 视图 知识点1 投影与中心投影 (1)投影：物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。 影子所在的平面称为投影面。 形成投影的三大条件：光(光源)；物体(在光源与投影面之间)；投影面。 知识点1 投影与中心投影 (2)中心投影：手电筒、路灯和台灯的光可以看成是从一个点发出的，这样的光所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 中心投影的性质： 同一时刻，点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上。 根据同一点光源下的两个不同物体及它们的影子，可以确定点光源所在的位置。 知识点1 投影与中心投影 中心投影的特征： ①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越短，离点光源越远，物体的影子越长。 ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体的影子越短，但不会比物体本身短。 知识点2 平行投影 特征： 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成正比，所有物体的投影在同一方向。 = (3)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 知识点2 平行投影 平行投影作图： ①连接物体顶端与影子顶端。 ②过另一物体的顶端作刚才连线的平行线，即可得出物体的影子。 辨别平行投影与中心投影的方法： 分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线： ①若两直线平行，则为平行投影； ②若两直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置。 知识点2 平行投影 平行投影 中心投影 区别 光源 光线   投影 联系 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向。 = 影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向。 太阳等。 光线是平行的。 点光源(灯泡等)。 光线是从一点发出的，不是平行的。 (1)都是物体在光线下形成的投影； (2)若光线一定，投影随着物体位置的变化而变化； (3)影子的长度与物体的高度(长度)有关。 两棵小树在同一盏路灯下的影子如图所示。 (1)确定路灯灯泡所在的位置，并在适当的位置画出灯杆。 (2)在图中画出表示婷婷影长的线段。 解：(1)如图，两条光线的交点O即路灯灯泡所在的位置，灯杆为OD。 (2)如图，线段EF表示婷婷的影长。 例1 知识点1 投影与中心投影 O D F E 两棵小树在同一盏路灯下的影子如图所示。 (3)若左边的树AB的高度是3米，影长是4米，树AB离灯杆的距离是2米，求灯杆的高度。 解：由题意，知△ABC∽△ODC， 所以=，即=， 解得OD=4.5 米， 所以灯杆的高度为4.5 米。 例1 知识点1 投影与中心投影 O D F E 如图，婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M，设她的影长为y，她与点E之间的距离为x，那么下列图象中，能表示y与x之间函数关系的是哪一个?请从函数的变化趋势方面说明理由。 解：能表示y与x之间函数关系的是④。 理由：婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M， 她的影长y开始逐渐减小，后来逐渐增大。 例2 知识点1 投影与中心投影 如图，一块面积为60 cm²的三角形硬纸板(记为△ABC )平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A₁B₁C₁，若OB:BB₁=2:3，则△A₁B₁C₁的面积是( )。 A.90 cm² B.135 cm² C.150 cm² D.375 cm² 例3 D 知识点1 投影与中心投影 如图所示，甲楼AB高16 米。当地12时物高与影长的比是1:。 (1)如图1，当地12时甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为 米。 (2)当地14时物高与影长的比是1:2。如图2，此时甲楼的影子有一部分落在了乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长。 解：如图， 作EF⊥AB于点F。 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=16 米。 ∵物高与影长的比是1:2， ∴=，即=， 解得AF=8米， ∴DE=FB=AB-AF=(16-8)米，∴落在乙楼上的影子DE的长为(16-8)米。 例4 16 知识点2 平行投影 F 在“测量物体的高度”活动中，在同一时刻，测得一根长为1 m的竹竿落在水平地面上的影长为0.8 m。小明测得一棵树落在水平地面上的影长为2.4 m，落在坡面上的影长为3.2 m(如图)。身高1.6 m的小明站在坡面上，当影子都落在坡面上时，小芳测得小明的影长为2 m。你能计算出树的高度吗? 解：如图，线段AB为树的高，落在水平地面上的影长BC=2.4 m，落在坡面上的影长CD=3.2 m，连接AD，过点C分别作EC∥AD交AB于点E，CF∥AB交AD于点F， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE=FC。 由平行投影的性质，得=，=， ∴BE=3 m，AE=FC=2.56 m， ∴AB=AE+BE=5.56 m，∴树的高度为5.56 m。 例5 知识点2 平行投影 知识点3 三种视图 (1)视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。 (2)三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫作主视图， 从左面得到的视图叫作左视图， 从上面得到的视图叫作俯视图。 知识点3 三种视图 三种视图的画法 ： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； ③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。 注意：在画视图时，看得见的部分的轮廓线要画成实线，看不见的部分的轮廓线要画成虚线。 知识点3 三种视图 由三种视图确定几何体形状的常用方法 ： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面的形状以及确定几何体的长、宽、高。 根据实线和虚线想象几何体看得见的和看不见的轮廓线。 ②熟记一些简单几何体的三种视图会对想象复杂几何体的形状有帮助。 ③利用由三种视图画几何体与由几何体画三种视图的互逆过程， 反复练习，不断总结方法，熟能生巧。 如图，圆柱中挖去一个小圆柱，剩余几何体的主视图和俯视图正确的是( )。 例6 B 知识点3 三种视图 考点1 中心投影与平行投影 1. 灯光与物体的影子的位置最合理的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 19 2. 下列关于投影的说法正确的是( ) C A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D. 若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 返回 考试考法 20 3. 一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能 是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 21 4.学习了投影和相似的相关知识后，瑶 瑶想测量操场边路灯的高度 ，如图， 灯泡处的灯光照在水平放置的单杠 上，在地面上留下影子 ，经测量得 知，单杠，影子 ，单杠高 .已知，， ，点 ，，，， 在同一水平直线上. 考试考法 22 （1）请在图中画出点 的位置；（保留画图痕迹） 【解】点 的位置如图所示. 考试考法 23 （2）请求出路灯的高度 . 由题意得 ， ， . 考试考法 24 . . . ， ， ，即 . ，即路灯的高度为 . 返回 考试考法 考点2 几何体的三视图 5. [2025安徽] “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水 平放置的“阳马”的主视图为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 26 6. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石 墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是( ) A A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 返回 考试考法 27 7.请你画出如图所示几何体的三视图. 【解】如图所示. 返回 考试考法 28 考点3 由三视图还原几何体 8. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 29 9. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小 正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体 的主视图是( ) B （第9题） A. B. C. D. 返回 考试考法 30 （第10题） 10.如图是一个长方体的三视图，若用 表示 面积，且 ， ，则 ________. 返回 考试考法 31 11. （1）如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合 几何体是由哪两种几何体组成的； 【解】这个组合几何体是由圆柱与长方体组成的. 考试考法 32 （2）根据两种视图中的尺寸（单位： ），计算这个组合 几何体的体积.（结果保留 ） 由题意得这个组合几何体的体积圆柱体积长方体体积 返回 考试考法 33 思想1 方程思想 12.如图，某广告墙旁有两根直立的木杆和 ，某一时 刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在广告墙 上. 考试考法 34 （1）请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子 ； 【解】如图所示，， 即 为所作. 考试考法 35 （2）若 ， ，到 的距离 的长为 ，求此时木杆 的影长. 设此时木杆的影长为 ， 由题意，得，解得 . 故此时木杆的影长是 . 返回 考试考法 36 思想2 数形结合思想 13.一个几何体如图所示. （1）画出该几何体的三视图； 考试考法 37 【解】该几何体的三视图如图. 考试考法 38 （2）求出该几何体的表面积和体积. 该几何体的表面积为 ,该几何 体的体积为 返回 考试考法 39 $