精品解析：湖南长沙市实验中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷

长沙市实验中学2026年上学期初二年级期末考试数学试卷 本试卷共4页，25题 满分：120分 时量：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 102 B. 98 C. 114 D. 106 3. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据，则这组数据的离差平方和为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 1 D. 2 6. 2026年河南省文化旅游发展大会于5月22日在安阳成功举行，大型无人机灯光表演在殷墟博物馆上空惊艳亮相．彩排阶段，工作人员从平地上的点操控无人机起飞，先垂直爬升2米，后水平飞行3米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（ ） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 米 7. “二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（ ） A. 芒种 B. 白露 C. 立冬 D. 惊蛰 8. 下列各点在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（ ） A. 6 B. C. D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出图象经过点的正比例函数表达式：__________． 12. 教练记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加锦标赛，应选择________运动员． 甲 乙 丙 平均数 方差 13. 在一次演讲比赛中，小逸同学的演讲内容获得98分、演讲能力获得92分，若按照“演讲内容”占、“演讲能力”占的方式计算选手的综合成绩，则小逸同学的综合成绩为________分． 14. 一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表，则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是________． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 15. 月洞窗是没有花纹的天然画框，框住竹石花木，一扇窗就是一幅画，是苏州园林框景手法的典型应用．图①是苏州留园的月洞窗，其形状是一个八边形，图②是该窗的示意图，则该八边形的内角和为______． 16. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接． （1）的长为______； （2）长的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，第17，18，19题6分；第20，21题8分；第22，23题9分；第24，25题10分） 17. 计算：． 18. 已知，，求的值． 19. 某学校开展了阳光体育活动，倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为_____，图①中的值为_____，这组数据的众数为_____，中位数为_____； （2）求本次抽测的这组数据的平均数； （3）若该校有名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为多少？ 20. 如图，在中，，，点为垂足，，．求： （1）的面积； （2）斜边的长； （3）斜边上的高的长． 21. 如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． （1）求点C到铁路的距离； （2）当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 22. 如图，在平行四边形中，，相交于点，点，分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，当四边形是矩形时，求的长． 23. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的单价； （2）超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 24. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． （1）如图1，矩形的对角线，交于点，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； （3）如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 25. 在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”：若，则；若，则． 例如：如图，点，则． （1）若点、，则________． 【深入探索】 （2）已知点、，，求的值． 【拓展延伸】 （3）一次函数（、是常数，）的图象经过点，若该一次函数图像上始终存在点，使，为坐标原点，求出此时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市实验中学2026年上学期初二年级期末考试数学试卷 本试卷共4页，25题 满分：120分 时量：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量和，对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么就是的函数．根据函数定义逐项判断即可． 【详解】根据函数定义判断，选项A、B、C都符合定义， 选项D：给定一个值，不是都有唯一确定的值与其对应，∴不能表示是的函数． 2. 某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 102 B. 98 C. 114 D. 106 【答案】A 【解析】 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 3. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，．等式成立，D正确． 5. 一组数据，则这组数据的离差平方和为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键． 先求出这组数据的平均数，再用离差平方和公式求解． 【详解】解：这组数据的平均数为 则这组数据的离差平方和：． 故选：D． 6. 2026年河南省文化旅游发展大会于5月22日在安阳成功举行，大型无人机灯光表演在殷墟博物馆上空惊艳亮相．彩排阶段，工作人员从平地上的点操控无人机起飞，先垂直爬升2米，后水平飞行3米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（ ） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】解：由勾股定理得点与点之间的距离是（米）． 7. “二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（ ） A. 芒种 B. 白露 C. 立冬 D. 惊蛰 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长即可得到正确选项． 【详解】解：由图象可知： A：芒种白昼时长在14至15小时之间，故该选项符合题意； B：白露白昼时长在12至13小时之间，故该选项不符合题意； C：立冬白昼时长在10至11小时之间，故该选项不符合题意； D：惊蛰白昼时长是11小时，故该选项不符合题意 8. 下列各点在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：∵函数图象上的点满足函数解析式， ∴将各选项横坐标代入计算： A、当时，，故A不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意； C、当时，，与点的纵坐标相等，故C符合题意； D、当时，，故D不符合题意． 9. 如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，四边形是菱形，结合，可证明是等边三角形，所以，即图2中正方形的边长为，即可求得答案． 【详解】解：如图1，由题意，可知， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 如图2，四边形是正方形， ，， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出图象经过点的正比例函数表达式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法求解正比例函数解析式，先设出正比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入解析式求解比例系数即可． 【详解】解：设该正比例函数的表达式为， 将点代入解析式得：， 解得， 因此该正比例函数的表达式为． 12. 教练记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加锦标赛，应选择________运动员． 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【解析】 【分析】先根据平均数确定成绩较好的为乙和丙，再根据方差确定乙比丙发挥稳定即可． 【详解】解：∵， ∴成绩较好的为乙和丙． ∵， ∴乙比丙发挥稳定， 故选择乙运动员． 13. 在一次演讲比赛中，小逸同学的演讲内容获得98分、演讲能力获得92分，若按照“演讲内容”占、“演讲能力”占的方式计算选手的综合成绩，则小逸同学的综合成绩为________分． 【答案】95.6 【解析】 【详解】解：小逸同学的综合成绩为（分）． 14. 一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表，则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是________． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【解析】 【分析】根据表格数据的变化特点，推导得到变量间的关系式. 【详解】解：观察表格可知，蜡烛每小时燃烧的高度为厘米，即平均每小时燃烧3厘米，则小时燃烧的高度为厘米， ∵蜡烛原高度为20厘米， ∴剩余高度等于原高度减去燃烧的高度，即. 15. 月洞窗是没有花纹的天然画框，框住竹石花木，一扇窗就是一幅画，是苏州园林框景手法的典型应用．图①是苏州留园的月洞窗，其形状是一个八边形，图②是该窗的示意图，则该八边形的内角和为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：八边形的内角和为. 16. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接． （1）的长为______； （2）长的最小值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）分别令和求出点、的坐标，利用勾股定理即可求出的长； （2）连接，证明四边形是矩形，得出，根据垂线段最短可知当时最短，利用等面积法求出的最小值即可． 【详解】解：（1）对于直线， 当时，，  点的坐标为，  ； 当时，， 解得：，  点的坐标为，  ， 在中，由勾股定理得： ； （2）连接，如图所示.  轴，轴，，  四边形是矩形，  ，  当最小时，最小， 根据垂线段最短可知，当时，最小， 此时利用等面积法可得：，  ， 长的最小值为． 三、解答题（本题共9小题，第17，18，19题6分；第20，21题8分；第22，23题9分；第24，25题10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算和的值，再将代数式因式分解为，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 某学校开展了阳光体育活动，倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为_____，图①中的值为_____，这组数据的众数为_____，中位数为_____； （2）求本次抽测的这组数据的平均数； （3）若该校有名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为多少？ 【答案】（1），，， （2）这组数据的平均数为 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据参与个项目的人数及所占百分比求出总人数，再用减去其他项目的百分比求出的值，根据众数和中位数的定义确定众数与中位数． （2）根据平均数公式计算这组数据的平均数． （3）用总人数乘以参与个项目的人数所占百分比，估计该校参与个项目的人数． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为（人）， ∵项所占百分比为， ∴． 参与个项目的人数最多，为人，故众数为． 将数据从小到大排列，第、个数据分别为和， ， 故中位数为． 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数为； 【小问3详解】 解：（人）． 估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为人． 20. 如图，在中，，，点为垂足，，．求： （1）的面积； （2）斜边的长； （3）斜边上的高的长． 【答案】（1）2.94 （2）3.5 （3）1.68 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积计算即可． （2）根据勾股定理计算即可． （3）根据三角形面积计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 21. 如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． （1）求点C到铁路的距离； （2）当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】（1）点C到铁路的距离为 （2）会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【解析】 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【小问1详解】 解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． 【小问2详解】 解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 22. 如图，在平行四边形中，，相交于点，点，分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，当四边形是矩形时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明； （2）根据矩形的对角线相等，得到，从而得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的单价； （2）超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 （2）购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【解析】 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，列二元一次方程组即可解答； （2）设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w，根据题意列不等式求得的取值范围，再用表示，根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，， 解得， 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元； 【小问2详解】 解：设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w， 根据题意得，， 解得， 由题意得， ，w随m的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为， 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 24. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． （1）如图1，矩形的对角线，交于点，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； （3）如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 【答案】（1）证明：在矩形中， 为直角三角形， 由矩形的性质可知 是等腰三角形 四边形是奇特四边形 （2）的长为或 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可； （3）分情况讨论，分分别为奇特线时，根据中位线的性质结合等边三角形的性质，勾股定理求得的最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中， 为直角三角形 ①当时，如图作交于点， 为等腰三角形 ②当时，如图，作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵共线， ∴共线， 则在上，不是四边形，不符合题意，故此情形不存在； ③当时，如图， 综上所述，的长为或． 【小问3详解】 ∵菱形中，， ∴，， 连接， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， 情形一：当是奇特线时，如图，则是直角三角形，且 ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 延长交于点，连接， 又∵ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 此时 ∴的最小值为 情形二：当为奇特线时， ∵，故不能为直角三角形 当为等腰三角形时，重合，此时也为等腰三角形，不为直角三角形，故此情形不存在， 综上所述，的最小值为． 25. 在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”：若，则；若，则． 例如：如图，点，则． （1）若点、，则________． 【深入探索】 （2）已知点、，，求的值． 【拓展延伸】 （3）一次函数（、是常数，）的图象经过点，若该一次函数图像上始终存在点，使，为坐标原点，求出此时的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】（1）分别计算横纵坐标差的绝对值，比较后得出答案； （2）先计算出横纵坐标差的绝对值，分为和两类讨论，结合，解方程并舍去不符合条件的根即可； （3）先根据直线过点，求得．根据题意分析可得存在点，使，等价于过点A的直线与以原点为中心，边长为的正方形有交点．分为和两类讨论，结合正方形的边界，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵、， ∴横坐标差的绝对值：， 纵坐标差的绝对值：， ∵，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵、， ∴横坐标差的绝对值：， 纵坐标差的绝对值：， ①当时， 两边平方，得， 解得， ∴，即， 解得或（与矛盾，舍去）； ②当时， 同理①可得，此时， ∴，即， 解得或（与矛盾，舍去）； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：将点代入，得， ∴， ∴， ∵一次函数图像上始终存在点P，使， ∴过点A的直线与以原点为中心，边长为的正方形有交点， ①当时，随的增大而增大，如图， 将代入函数，得， 解得：， ∴当时，存在点，使； ②当时，随的增大而减小，如图， 将代入函数，得， 解得：， ∴当时，存在点，使； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $