精品解析：黑龙江省大庆市让胡路区大庆第一中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年初三下学期期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案. 【详解】从左面看，小正方体有两层， 第一层有两个小正方形，上层左面有一个小正方形， 故选D. 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2. 如果都不为零，且，那么下列比例中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例的内项之积等于外项之积，熟练掌握比例的性质是解题的关键； 根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：∵都不为零，且， ∴， 故选：B． 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 4. 如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 6. 在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得，进而得，计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴． 7. 在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 8. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 9. 如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出点的纵坐标，找到规律，再求和即可． 【详解】解：过分别作x轴的垂线，垂足分别为 其斜边的中点在反比例函数上 ∴，即 ∴ 设，则，此时，带入 解得：， 同理 …… 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相关知识、找到规律是解题的关键． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质与系数的关系，需结合图象和对称轴分析系数符号、函数最值及点的位置关系． 【详解】解：由抛物线开口向下，得； 对称轴为，即，得； 根据图象，当时，因对称轴为直线， ∴时． ①由，，，得，故①错误； ②对称轴为，抛物线开口向下，故时函数取最大值，对任意实数，有，化简得，故②正确； ③由图象，当时，，根据对称性，当时，，代入得，即，故③正确； ④∵和为图象上两点， ∴，． ， 整理化简得， ∵，不等式两边除以，不等号方向改变，得到， 解得：，故④正确； 综上，②③④正确，正确的个数为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 12. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识点，解题的关键是根据摸到红球的频率稳定值确定其概率，再结合概率公式列出方程求解白球的数量． 设口袋中白球的个数为x，根据红球的频率稳定在附近，可知摸到红球的概率为；利用概率公式"红球个数除以总球数等于红球概率"列出方程，求解得出白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为x个． ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为． 根据概率公式可得： 等式两边同乘得： 展开得： 移项化简得： 解得． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，且相似比为，点在的边上，则点在上的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】与 位似，且位于点同侧，根据位似图形的性质，点的横纵坐标分别乘，即可得点的坐标． 【详解】解：与位似，点为位似中心，且相似比为，点， 点． 14. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， ． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，正确添加辅助线是解题的关键． 取格点H，连接，可根据勾股定理逆定理证明，由勾股定理得，显然，那么，由勾股定理得，再由正切定义即可求解． 【详解】解：取格点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 18. 如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，若，则边的长_______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先，延长 与 交于点 ，构造出直角三角形 ，利用已知角度求出边长关系，接着，在 上取点 使得 ，通过角度推导证明 ，最后，利用相似三角形的对应边成比例，结合已知线段长度，逐步计算出 、 的长，进而求得目标边 的长度． 【详解】解：分别延长 ， 交于点 ， 在 上取一点 使 ， 又 在 和 中， ． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形与等腰三角形的性质，三角形外角定理，以及相似三角形的判定与对应边成比例，本题的解题关键在于通过构造辅助线来构建相似三角形模型． 三、解答题（8小题，共计66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，. 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】原式. 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1）实数的取值范围是 （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 22. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； （2）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （3）现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）50；； （2）720 （3）概率为 【解析】 【分析】（1）因为D组人数为10且对应扇形占比，所以用D组人数除以对应占比得到总抽取人数；再用总人数减去A组C组D组的人数得到B组人数为人，再补全直方图即可；用C组人数除以总人数再乘，即可得对应圆心角度数； （2）因为样本中不低于80分的是C组和D组，所以先计算样本中C、D组人数和占总抽取人数的比，再乘全校总人数1200； （3）用列表列出所有等可能的结果，再统计出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：由题可知，总人数为（人）； ∴B组的人数为（人）， 补全直方图略； C组占比为， ∴C组对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：成绩不低于80分对应C组和D组，总人数为（人）， 全校1200名学生中，估计人数为：（人）； 【小问3详解】 解：记C组：男生，女生；D组：两名男生，，女生， 列表如下： 由表可知，共有6种等可能的结果，其中“一男一女”的结果有3种， ∴． 23. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，， 在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面距离的长； （2）求建筑物的高度（结果保留整数）； （参考数据： ，，，） 【答案】（1） （2）建筑物的高度约为 【解析】 【分析】（1）利用中的正弦求解即可； （2）过点作于点，先判断四边形四边形是矩形，求出，证明，得到，，最后在中，利用求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得： ， ∴ ； 【小问2详解】 解：过点作于点，根据题意， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 在 中，， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 在中，， ∴， ∴， 解得， 答：建筑物的高度约为 ． 24. 长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． （1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】（1）段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为 （2）草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【小问1详解】 解：设段所对应的反比例函数关系式为． 把代入，得， ． 当时，， 解得，即， 段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为． 把代入， 得 解得， 直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， （小时）． 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q，使的值最小，此时最小值为_______． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为 （2）不等式解集为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入反比例函数求，再代入点横坐标求，将A、B代入一次函数列方程组求a、b； （2）观察图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方对应的x取值范围； （3）先求M、C坐标，作关于轴的对称点，连接对称点与，线段长度即为最小值，用勾股定理计算长度． 【小问1详解】 解：把代入， ，得， 反比例函数解析式为． 将代入，． ． 把代入， 两式相减：，， 代入得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由图像可知，直线在双曲线下方的范围： 或， 不等式解集为或． 【小问3详解】 解：直线：， 令， ． 令，.得 ． 作关于轴对称点，连接交y轴于点Q,再连接. 由轴对称性质：， 两点之间线段最短，长为最小值． ， 即最小值为． 26. 已知：中，，F、G为、边上的点，且，． （1）求证：； （2），，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵中，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明． （2）设，，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：设，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，即， 解得∶． 即． 27. 如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）2； （3）点M的坐标为或， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为， 过点P作于F，交于E，设点，则，可得，然后利用三角形的面积公式结合二次函数的最值求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， 如图，过点P作于F，交于E， 设点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积的最大值为， ∴点； 【小问3详解】 解：由题意得， ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三下学期期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为( ) A. B. C. D. 2. 如果都不为零，且，那么下列比例中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 15 8. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ） A. B. 20 C. D. 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 12. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，且相似比为，点在的边上，则点在上的对应点的坐标为________． 14. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 18. 如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，若，则边的长_______． 三、解答题（8小题，共计66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 计算：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 22. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； （2）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （3）现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 23. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，， 在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面距离的长； （2）求建筑物的高度（结果保留整数）； （参考数据： ，，，） 24. 长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． （1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q，使的值最小，此时最小值为_______． 26. 已知：中，，F、G为、边上的点，且，． （1）求证：； （2），，，，求的长． 27. 如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $