4.2 整式的加法与减法 预习讲义-2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义聚焦整式的加减运算，系统梳理合并同类项（含定义、判定条件及合并方法）、去（添）括号法则（符号规则与系数处理）、整式加减运算法则（去括号后合并同类项步骤），知识点层层递进，构建从概念到运算的完整学习支架。 该资料以“知识点-考点-应用”为主线，通过同类项辨析培养抽象能力，整式比较大小提升推理意识，实际应用题（如面积计算）强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固查漏，有效落实数学核心素养。

第四章 整式的加减 02讲 整式的加法与减法 目录 【知识点1. （合并）同类项 1】 【知识点2. 去（添）括号法则 4】 【知识点3. 整式加减的运算法则 7】 【考点1. 同类项的辨析 10】 【考点2. 合并同类项 12】 【考点3. 同类项求参问题 14】 【考点4. 去括号、添括号 17】 【考点5. 整式的加减运算 19】 【考点6. 整式比较大小 22】 【考点7. 整式加减中的化简求值 26】 【考点8. 整式加减中的无关型问题 29】 【考点9. 整式加减中的实际应用 32】 【课后作业 36】 知识清单：（合并）同类项 1、同类项 1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。几个常数项也是同类项。 例：5abc2与3abc2 3abc与3abc。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 2）合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项； 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 3）同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。 如多项式，按字母a升幂排列可写成； 按字母a降幂排列可写成； 按字母b升幂排列可写成； 按字母b降幂排列可写成； 上述多项式都是同一个多项式，只是项的顺序不同。 巩固基础 1．下列代数式中，是同类项的是（） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念，根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，几个常数项是同类项），逐一判断选项即可． 【详解】解：根据同类项的定义判断： ∵选项A中，和所含字母不相同， ∴不是同类项； ∵选项B中，含字母，是常数项，所含字母不相同， ∴不是同类项； ∵选项C中，和中，相同字母的指数分别为和，指数不相同， ∴不是同类项； ∵选项D中，和所含字母都是，且的指数都是，符合同类项定义， ∴是同类项． 2．下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．4xy与 C．3x与2y D．与 【答案】D 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同 A选项中，的指数分别为2和1，的指数分别为1和2，相同字母指数不同，∴不是同类项 B选项中，的指数分别为1和2，的指数分别为1和2，相同字母指数不同，∴不是同类项 C选项中，所含字母不同，∴不是同类项 D选项中，所含字母均为、，且的指数都是1，的指数都是2，符合同类项定义，∴是同类项 故选：D． 3．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误； B、，∴B计算错误； C、，∴C计算错误； D、，∴D计算正确． 4．合并同类一次项：____________． 【答案】 【详解】解：． 5．已知，，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． 先化简代数式，再代入A和B的表达式求值． 【详解】解：， 代入，， ， 故答案为：． 6．若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：与是同类项， ，， ． 知识清单：去（添）括号法则 1、去（添）括号法则 1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 2）括号前是“－”，去括号后，括号内的符号全部要变号。 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 巩固基础 1．下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项去括号得，，变形正确，不符合题意； B选项去括号得，，变形正确，不符合题意； C选项去括号得，，变形错误，符合题意； D选项去括号得，，变形正确，不符合题意． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，解题关键是掌握合并同类项． 合并同类项和去括号法则，对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：， 故A错误； ， 故B正确； 中没有同类项，不能合并， 故C错误； ， 故D错误； 故选：B． 3．若将多项式化为（　　）的形式，则括号中应该填（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项符号都不改变；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项符号都改变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的规则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号． 根据规则逐一判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 5．去括号：________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，括号前是负号，去括号时括号内各项要变号，进而求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．化简：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 7．在等号右边的括号内填上适当的项， （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )． 【答案】 【分析】此题主要考查了添括号法则，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．直接利用添括号法则得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 8．不改变式子的值，将括号前的符号变成与其相反的符号： （1）______________； （2）______________． 【答案】 【分析】本题考查添括号的方法，根据括号前的符号变成与其相反的符号则括号里面每一项都变号求解即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 知识清单：整式加减的运算法则 1、整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，具体步骤为： ① 将同类项找出，并放一起； ② 合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。 （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 巩固基础 1．计算：； 【答案】 【分析】先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简． （1）通过合并同类项进行化简； （2）先去括号，然后合并同类项进行化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1)b (2) 【分析】此题考查了整式的加减法，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是关键． （1）利用合并同类项法则进行解答即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．已知，求 (1) (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题； （1）先根据，去括号合并同类项化简， （2）代入，求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵     ∴当时，原式． 5．已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算方法是解题的关键． （1）将代数式代入计算即可； （2）根据取值与无关，推出合并同类项以后含的式子的系数为0即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 6．如图，有一块长方形的空地，长为米，宽为米，中间有一块正方形的花园． (1)用代数式表示阴影面积是多少平方米？ (2)当，时，计算阴影面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：阴影面积是平方米； （2）解：当，时，（平方米）． 直击考点 【考点1：同类项的辨析】 例1.下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项，注意：所有的常数项都是同类项是解题的关键． 根据同类项的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与，所含字母不同，不是同类项； B、与，所含字母不同，不是同类项； C、与，所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项； D、与是同类项， 故选：D． 例2.下列单项式中，能与合并成一项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同类项的定义．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，据此判断即可． 【详解】解：A、与是同类项，此选项符合题意； B、与字母a的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 变式1.下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求解即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，故二者不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，故二者是同类项，符合题意； C、与所含字母不相同，故二者不是同类项，不符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不都相同，故二者不是同类项，不符合题意； 故选：B． 变式2.下列各组中的两项是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义，逐一分析每个选项中两项的字母及相同字母的指数是否相同． 【详解】解：A、中的指数是的指数是中的指数是的指数是2，相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母都是和，且的指数都是1，的指数都是2，是同类项； C、中的指数是中的指数是1，相同字母的指数不同，不是同类项； D、含字母含字母，所含字母不同，不是同类项． 故选：B． 变式3.写出代数式的一个同类项______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 根据同类项的概念求解即可，答案不唯一． 【详解】解∶∵代数式的字母部分为， ∴代数式的同类项的字母部分为， ∴是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点2：合并同类项】 例1.计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 例2.计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 变式1.下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； C、，计算错误，故C错误，不符合题意； D、，符合合并同类项法则，计算正确，故D正确，符合题意． 变式2.根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为的算式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题为开放性问题，答案不唯一，可以从合并同类项、幂的运算等角度构造算式． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3.合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算， （1）首先去括号，然后合并同类项即可； （2）合并同类项，即可获得答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 变式4.合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【考点3：同类项求参问题】 例1.若和是同类项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，两个单项式的相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解和，再求其和. 【详解】解：∵两个单项式是同类项， ∴相同字母的指数相等， 即的指数：，的指数：， 解得，， ∴. 故选：D． 例2.已知，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查同类项的定义，代入求值，掌握同类项的定义求解参数是关键． 根据多项式相等的条件，左边两项需为同类项才能合并，从而与右边项相等，通过比较指数求解． 【详解】解：由等式 可得，左边两项必须是同类项， ∴的指数相等，即，的指数相等，即， 代入计算得． 故答案为：3． 例3.如果单项式与单项式可以合并为一个单项式，请你求出、与的值． 【答案】m为任意实数， 【详解】本题考查同类项的定义，代数式求值，同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 根据题意可得单项式与单项式为同类项，从而得到m为任意实数，，即可求解． 解：∵单项式与单项式可以合并为一个单项式， ∴单项式与单项式为同类项， ∴m为任意实数，， ∴m为任意实数，． 变式1.若单项式与是同类项，则的值是（　　） A． B． C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相同，从而列出方程求解m和n的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴ ， ∴． 故选C． 变式2.若单项式与的和仍是单项式，则的值是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 单项式与的和仍是单项式，说明它们是同类项，根据同类项的定义求出的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故选：D． 变式3.若多项式合并同类项后为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项法则和多项式恒等于零的条件，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：多项式合并同类项后为0， 即： 根据零多项式的定义，多项式恒为0，则其各项系数为0 . 故选：． 变式4.若单项式与单项式的和仍是单项式，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义可知，，进而代入计算即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， 故答案为：． 变式5.若和可以合并，则a的值等于_______． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项的应用，掌握同类项的定义是解题的关键； 由题可知，和是同类项，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】若和可以合并，则，解得． 故答案为：3． 变式6.如果两个关于、的单项式与是同类项（其中）． (1)求的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义列方程求解即可． （2）根据合并同类项的法则把系数相加可得，即，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵两个关于、的单项式与是同类项 ∴ ∴； （2）解：∵两个单项式的和为零， ∴， ∴，即， ∴． 【考点4：去括号、添括号】 例1.下列各式去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则．根据去括号规则：括号前是负号时，去掉括号后括号内各项变号；括号前是正数或数字时，需乘以括号内各项． 【详解】解：A．应变为，但选项为，错误； B．应变为，与选项一致，正确； C．应变为，但选项为，错误； D．应变为，但选项为，错误． 故选：B． 例2.计算：（____）． 【答案】 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1.下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减运算中的去括号，括号前为“”时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为“”时，去括号后括号内各项符号改变，据此逐项判断即可求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 变式2.代数式去括号，得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算式去括号法则，掌握去括号法则是解题的关键． 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，据此解答即可． 【详解】解： ， ． 故选：A． 变式3.在括号内填上适当的项：（______）． 【答案】 【分析】本题主要考查添括号，熟练掌握添括号的法则是解题的关键．根据添括号的法则进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 变式4.添括号：（_________）． 【答案】 【分析】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键．根据添括号法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点5：整式的加减运算】 例1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算；解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）直接合并同类项得出答案； （2）直接去括号进而合并同类项得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2.化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减运算．注意计算的准确性即可． （1）利用整式的加减混合运算法则即可求解； （2）利用整式的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 变式1.化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减．利用乘法分配律与合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 变式2.化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3.化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再合并同类项，即可作答． （2）先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4.化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． 变式5.化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算： （1）合并同类项即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【考点6：整式比较大小】 例1.已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据整式的加减计算法计算出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，正确计算是解题的关键． 例2.已知：， (1)求； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）利用整式的加减计算法则求出的结果，进而判断出的符号，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1.已知，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．、可能相等 D．、大小不能确定 【答案】A 【分析】求出，问题得解． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解答本题的关键． 变式2.比较大小：________________________．（填不等号） 【答案】 > > 【分析】此题考查整式的加减混合运算，掌握运算方法，理解题意列式计算是解决问题的关键． 根据作差法分别运算即可； 【详解】解：，故； ，故； ，故； 故答案为：． 变式3.已知：，，（为常数且均不为0），比较的大小______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，利用作差法列出算式，再判断正负即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，为常数且均不为0， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式4.若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．试比较代数式与的值之间的大小关系． 【答案】 【分析】本题主要考查的是比较代数式的大小，掌握作差法比较两个代数式大小是解题的关键． 依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项，最后与0比较大小即可． 【详解】解： ． 不论为何值，都有， 变式5.“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)设，，请比较A与B的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当 时，；当时， 【分析】本题考查比较代数式的大小，整式的加减运算，熟练掌握作差法是解题的关键： （1）利用作差法比较大小即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∴； 故答案为：； （2）， ∴当时，；当 时，；当时，． 【考点7：整式加减中的化简求值】 例1.已知，，化简求值：． 【答案】，2 【分析】先根据去括号，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值求出结果即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 例2.先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号、合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 变式1.先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式的求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解题关键． 先对原式去括号、合并同类项，再将给定的、的值代入化简后的式子，计算最终结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 变式2.先化简，再求值：．其中，，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 变式3.先化简再求值：，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，注意计算的准确性即可； 【详解】解：原式 ， 将，整体代入得： 原式 变式4.先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键．直接去括号进而合并同类项，再利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， 把代入， 原式． 变式5.化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项后，把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ． 【考点8：整式加减中的无关型问题】 例1.若多项式（m是常数）中不含xy项，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵多项式（m是常数）中不含xy项， ∴， 解得：； 故选A． 例2.若关于x的多项式不含二次项，则m的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关项问题．先合并同类项，然后根据多项式中不含二次项，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵多项式中不含二次项， ∴， 解得：． 故答案为： 例3.已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键．先对多项式进行合并同类项，然后再根据不含二次项可求解a、b的值，进而代入求解即可． 【详解】解： ， ∵不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． 变式1.化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：又∵琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项， ∴琳琳的计算过程为：， ∴， ， ∴正确的化简结果为， 故选：D． 变式2.若关于x、y的多项式中不含项，则_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先把多项式合并同类项，然后令含的项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解： ∵关于x、y的多项式中不含项， ∴， 解得． 故答案为：2． 变式3.若关于x，y的多项式合并后不含三次项，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先把多项式合并，然后令3次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：多项式不含三次项， ， 解得， 故答案为：． 变式4.若多项式合并同类项后不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先合并同类项，再根据结果不含项得到含项的系数为，解之即可求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴． 变式5.七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的无关问题， 先整理，再根据题意得，，求出答案，然后求出代数式的值即可. 【详解】解：原式， 由题意可知，, 解得, ∴. 【考点9：整式加减的实际应用】 例1.如图是魔术师在小颖面前表演的经过，小颖任意写了一个数字m，那么魔术师猜中的运算结果应为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 例2.某轮船先顺水航行，再逆水航行．若该轮船在静水中速度为，水流速度为，则轮船航行的总路程为________． 【答案】 【分析】题目主要考查列代数式，整式的加减运算，理解题意是解题关键． 根据顺水速度和逆水速度的计算公式，分别求出顺水航行和逆水航行的距离，再求和得到总路程． 【详解】解：顺水速度为 ，航行 的路程为 ； 逆水速度为，航行的路程为； 总路程为 ． 故答案为： ． 例3.如图所示的图形由一个正方形和两个长方形组成． (1)求该图形的面积（用含的式子表示）； (2)若，求该图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）根据长方形的面积公式列代数式即可； （2）把代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：该图形的面积为：； （2）解：当时，该图形的面积为． 变式1.如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减应用，解题的关键是用含a，b，c的式子表示大长方形的长和宽，明确整式混合运算的计算方法是解题的关键．设图1中阴影部分周长为，图2中阴影部分周长为，根据图形，表示出，，再计算即可． 【详解】解：设图1中阴影部分周长为，图2中阴影部分周长为， 大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的周长为， ∴， ， ∴． 即图1与图2中的阴影部分周长的差为． 故选：B． 变式2.一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字大5，将十位上的数字和个位上的数字相加得到一个新的数，则原来的两位数与新的数的差为______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式加减的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出十位上的数字为，再分别表示出原来的两位数和新的数，再列式化简，进而得出答案． 【详解】解：∵个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字大5， ∴十位上的数字为， ∴原来的两位数为， ∵将十位上的数字和个位上的数字相加得到一个新的数， ∴新的数为， ∴， 即原来的两位数与新的数的差为， 故答案为：． 变式3.如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减，根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解：根据题意，知B，C间的距离为： 故答案为： 变式4.对于一个三位数（，，均为正整数），若满足百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，即，那么就称这个数为“智慧数”． 例如：因为，所以451是“智慧数”． (1)除了451，请任意写出一个“智慧数”：_____． (2)张亮说：任意一个“智慧数”都能被11整除，请判断张亮的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)132（答案不唯一） (2)张亮说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减的应用，理解“智慧数”的定义是解此题的关键． （1）根据“智慧数”的定义求解即可； （2）表示出，由此判断即可． 【详解】（1）解：， 是“智慧数”， 故答案为：132（答案不唯一）； （2）解：张亮说法正确，理由如下： 任意一个“智慧数”， 任意一个“智慧数”都能被11整除， 张亮说法正确． 变式5.阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题思路，把看作一个整体，再进行合并同类项，即可作答． （2）先去括号再合并同类项得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴． 课后作业 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号规则：括号前有系数时需将系数乘以括号内每一项，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 【答案】C 【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或即可作答． 【详解】解：依题意，设两位数，则， 则都为正整数，，， ∵d是某个整数的平方， ∴可设， ∴， ∴是9的倍数， 又∵c是某整数，，， ∴是正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上，d的值为9或36． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 5．（2026·安徽滁州·一模）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数．则一定是（    ） A．2的倍数 B．5的倍数 C．11的倍数 D．37的倍数 【答案】D 【分析】本题考查列代数式、合并同类项和倍数的判断，根据数的表示方法把原式转化为代数式，化简后分解因式即可判断． 【详解】解：根据题意，可得：，， 则 是不为的正整数， 一定是的倍数． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据“Z”字形框中四个数字的位置关系，用含、的代数式，建立等量关系式列出方程解答；注意框出的数字必须在月历范围内且位置符合形状要求． 【详解】解：由题意可知，，整理得， A．当，时，，符合题意，且（周日），位置符合，故A可能； B．当，时，，符合题意，且（周三），位置符合，故B可能； C．当，时，，符合题意，且（周一），位置符合，故C可能； D．当，时，，不符合题意，故D不可能． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，用含k，b的式子表示出，用含t，b的式子表示出，再根据用含k，t的式子表示出b，进而即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， ， 故选A． 8．（25-26九年级下·重庆江津·月考）已知整式，其中为自然数，，，…，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有3个．③当时，满足条件的所有整式有18个，其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题目给定条件，对三个说法分别分类讨论，用枚举法逐一求解，即可判断正误． 【详解】解：①当，，为奇数时， ，且为正整数， 的可能取值为， 当时，不存在满足条件的正整数，故， 此时可取，对应的整式为和， 求和得， 故①错误； ②当，为偶数时，分类讨论： 时，，为偶数，符合条件，共1个； 时，，符合条件的正偶数，得整式，共1个； 时，，为偶数，得，整式，共1个； 时，需要至少3个不同正整数满足，且为偶数，不存在符合条件的整式； 总共有个，故②正确； ③当时，分类讨论： 时，共1个； 时，满足的正整数共4个； 时，满足的正整数组共6个； 时，满足的正整数组共4个； 时，满足条件的正整数组共1个； 时，无符合条件的整式； 总个数为，故③错误； 综上，正确的说法只有1个，正确个数为1． 9．（2026·河南周口·模拟预测）已知与的和是一个单项式，则__________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是一个单项式， ∴与是同类项， ∴，， 将，代入得 ． 10．（2026·天津·一模）计算的结果等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是整式的加减法，去括号时，括号前面是负号，括号里面的符号要变号，掌握去括号的规则是解决本题的关键． 【详解】． 11．（25-26九年级下·重庆·月考）若，为实数，且同时满足，，则为________． 【答案】 【分析】通过消元得到绝对值方程，分情况去掉绝对值符号求得，的值，再代入计算即可． 【详解】解：由，得，代入， 得， 即， 当时，，不成立； 当时，，则， 解得 ， 代入 ，得， 故． 12．（2026·上海黄浦·二模）已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设， ，那么这个平面图形的面积是______（用，的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：平面图形的面积矩形的面积半圆的面积 13．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的值为____． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含有的式子，利用整体代入的思想方法求解即可． 【详解】解： ， ． 15．（2026·宁夏银川·二模）若，则代数式的值为_____________． 【答案】2026 【详解】解：， ． 16．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 17．（25-26七年级下·湖北鄂州·月考）M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若恰是3的立方，则M可能为____．（写出一个即可） 【答案】41（答案不唯一） 【分析】设两位数，则，并且a、b为正整数，且，，那么得到 ，由是3的立方，得，然后由此得到，接着就可以解决问题． 【详解】设两位数，则， 由a、b为正整数，且，， ∴， ∵是3的立方， ∴，解得， ∴满足条件的两位数有41、52、63、74、85、96共6个． 故答案为：41（答案不唯一）． 18．（25-26七年级下·四川成都·期中）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记．例如：，则39是一个“近似完全平方数”，且．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为；若两位数k是“近似完全平方数”且满足，则k的最大值为________． 【答案】 12或97 【分析】第一问根据“近似完全平方数”定义，从小到大对两位数逐一验证，即可得到最小的“近似完全平方数”；第二问，结合定义得到与的关系式，根据是两位数确定的最大可能取值，验证得到符合条件的最大。 【详解】解：第一问，求最小的“近似完全平方数”： 为正整数，从小到大验证两位数： 当时，不存在正整数使得，不符合定义； 当时，不存在正整数使得，不符合定义； 当时，取，满足，符合定义，故最小的“近似完全平方数”为； 第二问，由题意，原式应为，根据定义：，，代入得： 整理得： 因为是两位数，所以，解得： 要使最大，则需最大，取，代入得： 又因为，得 联立，解得正整数解为或，符合正整数要求，故符合条件； 故答案为：12，97 19．（25-26七年级下·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 20．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】将原式化简后代入求值即可． 【详解】解： 将代入得：． 21．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先化简，再把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22．（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】去括号，合并同类项化简，然后转化为求代数式的值求解即可； 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 23．（25-26七年级上·福建宁德·月考）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)21 【详解】（1）解与是同类项， 且 且； （2）解：原式， 将，代入得， 原式． 24．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 25．（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，利用非负性求出x，y的值，然后代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 26．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 27．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 28．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 29．（2026·湖北宜昌·模拟预测）把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． (1)2026在第______行，第_____列； (2)第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） (3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)254，2 (2) (3)有道理，理由见解析 【分析】（1）从图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，从而可进一步得出答案； （2）由题意可知第n行第8列是，然后可以进一步推出答案； （3）按照程序写出代数式，再化简即可得出答案. 【详解】（1）解：由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数， ∵， ∴2026在第254行，第2列； （2）解：第n行第3列的数是：； （3）解：根据计算程序，可得：， 所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行， 所以嘉嘉说得有道理． 30．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： (1)若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； (2)小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 【答案】(1)或32 (2)见解析 【分析】（1）分两种情况讨论：当n是偶数时，；当n是奇数时，； （2）经过三步考拉兹运算后得到，由此证明即可． 【详解】（1）解：当为偶数时：， ， 当为奇数时：， ， 或32； （2）解：为任意正整数， 为奇数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为， ∴ 经过三步考拉兹运算后得到． ∵ 为正整数， ∴ 是形如（为正整数）的数．根据题设，形如的数均符合考拉兹猜想，故一定也符合考拉兹猜想． 31．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4） 【分析】理解新方法是解题关键． 【详解】解：（1）； （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有个手指，右手有个手指；虚线下方双手共有个手指．则算法为：（用含a，b的代数式表示）； （3）由题意得虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，则在虚线下方共有个手指，但因为a，b为之间整数，所以算法为：； （4）若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，下方则有左右手分别有个手指，，但因为a为6～10之间整数，b为16～20之间整数，则算法为：． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 02讲 整式的加法与减法 目录 【知识点1. （合并）同类项 1】 【知识点2. 去（添）括号法则 2】 【知识点3. 整式加减的运算法则 4】 【考点1. 同类项的辨析 6】 【考点2. 合并同类项 6】 【考点3. 同类项求参问题 7】 【考点4. 去括号、添括号 8】 【考点5. 整式的加减运算 8】 【考点6. 整式比较大小 10】 【考点7. 整式加减中的化简求值 11】 【考点8. 整式加减中的无关型问题 12】 【考点9. 整式加减中的实际应用 13】 【课后作业 15】 知识清单：（合并）同类项 1、同类项 1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。几个常数项也是同类项。 例：5abc2与3abc2 3abc与3abc。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 2）合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项； 3）同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。 如多项式，按字母a升幂排列可写成； 按字母a降幂排列可写成； 按字母b升幂排列可写成； 按字母b降幂排列可写成； 上述多项式都是同一个多项式，只是项的顺序不同。 巩固基础 1．下列代数式中，是同类项的是（） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．4xy与 C．3x与2y D．与 3．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．合并同类一次项：____________． 5．已知，，则________． 6．若与是同类项，则的值为______． 知识清单：去（添）括号法则 1、去（添）括号法则 1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 2）括号前是“－”，去括号后，括号内的符号全部要变号。 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 巩固基础 1．下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若将多项式化为（　　）的形式，则括号中应该填（　　） A． B． C． D． 4．下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 5．去括号：________． 6．化简：_______． 7．在等号右边的括号内填上适当的项， （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )． 8．不改变式子的值，将括号前的符号变成与其相反的符号： （1）______________； （2）______________． 知识清单：整式加减的运算法则 1、整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，具体步骤为： ① 将同类项找出，并放一起； ② 合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。 （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 巩固基础 1．计算：； 2．化简． (1) (2) 3．化简： (1) (2) 4．已知，求 (1) (2)当时，求的值 5．已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 6．如图，有一块长方形的空地，长为米，宽为米，中间有一块正方形的花园． (1)用代数式表示阴影面积是多少平方米？ (2)当，时，计算阴影面积是多少平方米？ 直击考点 【考点1：同类项的辨析】 例1.下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 例2.下列单项式中，能与合并成一项的是（    ） A． B． C． D． 变式1.下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 变式2.下列各组中的两项是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式3.写出代数式的一个同类项______． 【考点2：合并同类项】 例1.计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例2.计算：_____． 变式1.下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2.根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为的算式：___________． 变式3.合并同类项 (1) (2) 变式4.合并同类项： (1)； (2)． 【考点3：同类项求参问题】 例1.若和是同类项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例2.已知，则______． 例3.如果单项式与单项式可以合并为一个单项式，请你求出、与的值． 变式1.若单项式与是同类项，则的值是（　　） A． B． C．1 D．2024 变式2.若单项式与的和仍是单项式，则的值是（    ） A． B． C．6 D．9 变式3.若多项式合并同类项后为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C． D． 变式4.若单项式与单项式的和仍是单项式，则的值为______． 变式5.若和可以合并，则a的值等于_______． 变式6.如果两个关于、的单项式与是同类项（其中）． (1)求的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【考点4：去括号、添括号】 例1.下列各式去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 例2.计算：（____）． 变式1.下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2.代数式去括号，得（    ） A． B． C． D． 变式3.在括号内填上适当的项：（______）． 变式4.添括号：（_________）． 【考点5：整式的加减运算】 例1.计算： (1)； (2)． 例2.化简： (1) (2) 变式1.化简：． 变式2.化简： (1)； (2)． 变式3.化简： (1)． (2)． 变式4.化简： (1)； (2)． 变式5.化简． (1)； (2)． 【考点6：整式比较大小】 例1.已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 例2.已知：， (1)求； (2)比较与的大小，并说明理由． 变式1.已知，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．、可能相等 D．、大小不能确定 变式2.比较大小：________________________．（填不等号） 变式3.已知：，，（为常数且均不为0），比较的大小______．（用“”连接） 变式4.若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．试比较代数式与的值之间的大小关系． 变式5.“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)设，，请比较A与B的大小． 【考点7：整式加减中的化简求值】 例1.已知，，化简求值：． 例2.先化简，再求值：，其中，． 变式1.先化简，再求值． ，其中，． 变式2.先化简，再求值：．其中，，． 变式3.先化简再求值：，其中 ，． 变式4.先化简，再求值：，其中x、y满足． 变式5.化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【考点8：整式加减中的无关型问题】 例1.若多项式（m是常数）中不含xy项，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 例2.若关于x的多项式不含二次项，则m的值为_______． 例3.已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 变式1.化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 变式2.若关于x、y的多项式中不含项，则_______． 变式3.若关于x，y的多项式合并后不含三次项，则的值为________． 变式4.若多项式合并同类项后不含项，求的值． 变式5.七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 【考点9：整式加减的实际应用】 例1.如图是魔术师在小颖面前表演的经过，小颖任意写了一个数字m，那么魔术师猜中的运算结果应为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 例2.某轮船先顺水航行，再逆水航行．若该轮船在静水中速度为，水流速度为，则轮船航行的总路程为________． 例3.如图所示的图形由一个正方形和两个长方形组成． (1)求该图形的面积（用含的式子表示）； (2)若，求该图形的面积． 变式1.如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（    ）． A． B． C． D． 变式2.一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字大5，将十位上的数字和个位上的数字相加得到一个新的数，则原来的两位数与新的数的差为______． 变式3.如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于__________． 变式4.对于一个三位数（，，均为正整数），若满足百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，即，那么就称这个数为“智慧数”． 例如：因为，所以451是“智慧数”． (1)除了451，请任意写出一个“智慧数”：_____． (2)张亮说：任意一个“智慧数”都能被11整除，请判断张亮的说法是否正确，并说明理由． 变式5.阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 课后作业 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 5．（2026·安徽滁州·一模）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数．则一定是（    ） A．2的倍数 B．5的倍数 C．11的倍数 D．37的倍数 6．（2026·河北石家庄·一模）如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·重庆江津·月考）已知整式，其中为自然数，，，…，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有3个．③当时，满足条件的所有整式有18个，其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026·河南周口·模拟预测）已知与的和是一个单项式，则__________． 10．（2026·天津·一模）计算的结果等于__________． 11．（25-26九年级下·重庆·月考）若，为实数，且同时满足，，则为________． 12．（2026·上海黄浦·二模）已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设， ，那么这个平面图形的面积是______（用，的代数式表示）． 13．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的值为____． 15．（2026·宁夏银川·二模）若，则代数式的值为_____________． 16．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 17．（25-26七年级下·湖北鄂州·月考）M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若恰是3的立方，则M可能为____．（写出一个即可） 18．（25-26七年级下·四川成都·期中）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记．例如：，则39是一个“近似完全平方数”，且．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为；若两位数k是“近似完全平方数”且满足，则k的最大值为________． 19．（25-26七年级下·北京昌平·期中）计算：． 20．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中，． 22．（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 23．（25-26七年级上·福建宁德·月考）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 24．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 25．（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 26．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 27．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 28．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 29．（2026·湖北宜昌·模拟预测）把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． (1)2026在第______行，第_____列； (2)第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） (3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 30．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： (1)若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； (2)小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 31．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $