第10讲 方程（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第10讲 方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.方程 2.列方程 3.解方程与方程的解 4.一元一次方程 5.等式的性质 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、判断是否是一元一次方程解 七、等式的性质 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.方程 1. 方程的定义 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系， 列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 2. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 知识点2.列方程 1. 列方程的一般步骤 2. 确定实际问题中相等关系的方法 (1)根据周长、面积、体积公式列方程； (2)根据题目中的不变量确定相等关系； (3)根据关键词确定相等关系. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少) ”表示，倍数关系通常用“是……的几倍”表示 知识点3.解方程与方程的解 1. 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 2. 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 知识点4.一元一次方程 1. 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.② ① ③ 2. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b=0 的形式. 其中x 是未知数，a，b 是已知数，且a ≠ 0 . 我们把ax＋b= 0 叫作一元一次方程的标准形式. 知识点5.等式的性质 1. 两个基本事实 (1)对称性：若a=b，则b=a； (2)传递性：若a=b，b=c，则a=c.等量代换. 2. 等式的性质 等式的性质 文字表示 用字母表示 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等 如果a=b， 那么ac=bc；如果a=b，c ≠ 0，那么= 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)是方程，未知数是x (2)是方程，未知数是y (3)不是方程 (4)是方程，未知数是a (5)是方程，未知数是m (6)是方程，未知数是x、y 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 【详解】（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 题型二、列方程 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据“的7倍减去6等于8”的数量关系，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列方程 【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，能够正确理解运算顺序，注意代数式的正确书写． 关键描述语是：的倍减去等于 【详解】解：根据：的倍减去等于得方程． 故选：C． 5．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 【答案】 宽为 【知识点】列方程 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列方程 【分析】（1）根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重，便可以列出方程； （2）根据题意，可得数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克，结合所设，便可以得到方程； （3）根据列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了，可以列出相应的方程． 【详解】（1）解：根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重， 可得方程； （2）解：根据数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克， 可得到方程：； （3）解：根据数量关系：技术改造前运行时间-技术改造后运行时间=， 可得到方程：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，可以根据数量关系列出方程解答． 题型三、判断是否是方程的解 7．（22-23七年级上·广东汕头·期末）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解决本题的关键是知道方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值． 根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，，左边右边，符合题意； B、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； C、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； D、将代入原方程，，左边右边，不符合题意． 故选A． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否为下列方程的解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解的定义，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （2）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （3）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （4）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断． 【详解】（1）解：将代入，等号左边，右边， ∵左边右边 ∴不是的解； （2）解：将代入，等号左边，等号右边， ∵左边右边 ∴是的解； （3）解：将代入，等号左边，右边， ∵左边右边 ∴不是的解； （4）解：将代入，等号左边，等号右边， ∵左边右边 ∴是的解． 题型四、已知方程的解，求参数 10．（25-26七年级上·全国·期末）已知是方程的解，则的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的定义及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程，转化为关于未知数的一元一次方程进行求解．先将代入方程，得到关于的一元一次方程；再通过移项、系数化为1求出的值，最后对照选项确定答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得； 移项，得； 系数化为1，得； 对照选项，的值为，对应选项B； 故选：B． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明在解方程时，不小心将方程中一个常数污染了导致看不清楚，被污染的方程是：，怎么办？小明想了想，然后翻开书后的答案一看，此方程的解为，很快小明补好了这个常数，这个常数为 ． 【答案】1 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 设这个常数为，将代入方程中求解关于的方程即可． 【详解】解：设这个常数为 ，将代入方程中得：， 解得： ， 故答案为：1． 12．（2024七年级·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】． 【知识点】相反数的定义、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义等知识，，掌握相关知识是解题的关键．首先求出方程的解为，根据相反数的定义得到方程的解为，代入求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解是， 把代入方程，得：， 解得：． 题型五、判断是否是一元一次方程 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程的概念列出式子即可得出且即可得出答案． 【详解】解：若方程是关于的一元一次方程， 则，且， ∴， 故选：D． 14．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由原方程，得， 解得或， ， ， 解得． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 2 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义. （1）根据一次项系数不等于即可得到的值. （2）根据未知数的次数等于即可解决. 【详解】解：（1）由题意可得： 故答案为： （2）由题意可得： 故答案为：2. 题型六、判断是否是一元一次方程解 16．（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 17．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可以列出一个符合要求的一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是5，则， 某个未知数的系数是，则可列方程， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 题型七、等式的性质 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握并灵活运用等式的两个基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则或，变形错误，符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，则，变形正确，不符合题意； 故选：B． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则 ；( ) （3）已知，则 ；( ) （4）已知，则 ．( ) 【答案】 等式的基本性质1 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，①等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式，②等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为)所得结果仍是等式． 【详解】解：，根据等式的基本性质1，方程两边同减去1，得； ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去，得； ，根据等式的性质，方程两边同乘以，得； ，根据等式的性质，方程两边同除以，得． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1解答即可； （2）根据等式的基本性质2解答即可； （3）根据等式的基本性质1和2解答即可； （4）根据等式的基本性质1和2解答即可． 【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：． （2）解：，等式两边同时除以得：． （3）解：，先两边同时减去得， 再同时乘以得：． （4）解：，先两边同时减去1得， 再同时除以得：． 22．（2025七年级上·北京·专题练习）判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案； （2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案． 【详解】（1）解：正确． 等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1； （2）解：正确． 等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2； （3）解：正确． 等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2； （4）解：正确． 由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2． 强化训练 一、单选题 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax＋b＝0（a，b为常数，且a≠0）．由定义即可判断． 【详解】解：A．3x＋y＝5是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．3x＋2＝4x−7是一元一次方程，故本选项符合题意； C．不是整式方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，牢记一元一次方程的定义及基本形式是解题的关键． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值．将代入中得，将整体代入中即可得出答案． 【详解】解：将代入，得： ，即， ∴． 故选：D． 5．若是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据次数为，系数不等于，即可求出. 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得： 故选：B ． 6．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（    ）千米． A．50 B．38 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值． 根据题意，总时间由水平道路和山坡的时间组成，去程和回程时间之和为8小时，列出方程求解，再求全程即可． 【详解】∵总时间去程水平时间去程上山时间回程下山时间回程水平时间， ∴， 化简得：， 即， ∴， ∴全程千米． 故选D． 7．已知，且，下列各式：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； 故选B． 8．有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义即可得解． 【详解】解：是一元一次方程， ， ． 故答案为：． 10．如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 11．已知，用含x的代数式表示y： ，用含y的代数式表示x： ． 【答案】 【分析】先把x当常数，求解函数值，再把当常数，求解自变量 从而可得答案. 【详解】解： ， ， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是函数自变量与因变量之间的关系，掌握用含有一个变量的代数式表示另外一个变量是解题的关键. 12．若m是方程 的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键．根据方程的解的定义，将代入方程得到关于m的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入计算． 【详解】解：因为m 是方程 的解， 所以 ， 所以 ， 所以． 故答案为：． 13．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 【答案】18或32或50或128 【分析】根据一元一次方程的定义得到m+2≠0，；然后求出符合题意的m的值即可． 【详解】解：∵方程（m+2）xn2+1+6=0是关于x的一元一次方程， ∴m+2≠0，n2+1=1， ∴m≠-2，n=0， ∴方程为 ∴ ∵此方程的解为正整数，且m为整数， ∴m=-3或-4或-5或-8， ∴2m2=18或32或50或128． 故答案为：18或32或50或128． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确结合正整数的定义分析是解题关键． 14．一列方程及方程的解如下排列： 的解是x＝2 的解是x＝3 的解是x＝4…… 根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ． 【答案】 【分析】根据一列方程的形式可知：方程的解是等式左边两个式子分母的商，所以方程第一个分数的分母为解的2倍且分子就是x，第二个分数的分母就是2，而分子是x减去解的数值与1的差，根据此规律可知，当解是x=n时，方程应该是，据此就可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：当解是x=n时，方程应该是， 当n=2022时，方程为，化简整理得. 故答案是：． 【点睛】本题考查的是探究规律、分析总结规律的能力，能够根据题意找出式子的规律是解答本题的关键． 三、解答题 15．判断是不是方程的解． 【答案】见解析 【分析】将代入方程两边判断求解即可． 【详解】将代入方程的左边，得方程左边， 将代入方程的右边，得方程右边， ∵左边＝右边， ∴是方程的解． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 16．已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于m的方程，求得m的值，然后代入代数式即可求解，熟练掌握方程的解的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵是的解， ∴将代入方程得，， ∴． 17．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 18．若方程是关于的一元一次方程． (1)的值为_______． (2)判断是不是方程的解，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)不是．理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于，一次项系数不等于是关键． （1）根据一元一次方程的定义，的二次项系数是，且一次项系数不等于，据此即可求得的值； （2）把的值代入求得方程，然后解方程进行判断即可． 【详解】（1）根据题意得：且， 解得：； 由得．由得 综上所述，的值为2． （2）不是．理由如下： 由（1）可知，方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边，所以不是方程的解． 19．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 20．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 21．小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析， 【分析】（1）观察方程，可得出规律； （2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可； （3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） （2）正确． 验证如下： 把代入到方程中，左边， 右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为． （3）（为正整数，且）． 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 22．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.方程 2.列方程 3.解方程与方程的解 4.一元一次方程 5.等式的性质 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、判断是否是一元一次方程解 七、等式的性质 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.方程 1. 方程的定义 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系， 列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 2. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 知识点2.列方程 1. 列方程的一般步骤 2. 确定实际问题中相等关系的方法 (1)根据周长、面积、体积公式列方程； (2)根据题目中的不变量确定相等关系； (3)根据关键词确定相等关系. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少) ”表示，倍数关系通常用“是……的几倍”表示 知识点3.解方程与方程的解 1. 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 2. 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 知识点4.一元一次方程 1. 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.② ① ③ 2. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b=0 的形式. 其中x 是未知数，a，b 是已知数，且a ≠ 0 . 我们把ax＋b= 0 叫作一元一次方程的标准形式. 知识点5.等式的性质 1. 两个基本事实 (1)对称性：若a=b，则b=a； (2)传递性：若a=b，b=c，则a=c.等量代换. 2. 等式的性质 等式的性质 文字表示 用字母表示 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等 如果a=b， 那么ac=bc；如果a=b，c ≠ 0，那么= 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型二、列方程 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据“的7倍减去6等于8”的数量关系，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 题型三、判断是否是方程的解 7．（22-23七年级上·广东汕头·期末）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否为下列方程的解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四、已知方程的解，求参数 10．（25-26七年级上·全国·期末）已知是方程的解，则的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明在解方程时，不小心将方程中一个常数污染了导致看不清楚，被污染的方程是：，怎么办？小明想了想，然后翻开书后的答案一看，此方程的解为，很快小明补好了这个常数，这个常数为 ． 12．（2024七年级·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 题型五、判断是否是一元一次方程 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 14．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． （2）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 题型六、判断是否是一元一次方程解 16．（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是 ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 题型七、等式的性质 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则 ；( ) （3）已知，则 ；( ) （4）已知，则 ．( ) 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（2025七年级上·北京·专题练习）判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 强化训练 一、单选题 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 4．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 5．若是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．2 6．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（    ）千米． A．50 B．38 C． D．32 7．已知，且，下列各式：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 二、填空题 9．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 10．如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 11．已知，用含x的代数式表示y： ，用含y的代数式表示x： ． 12．若m是方程 的解，则代数式 ． 13．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 14．一列方程及方程的解如下排列： 的解是x＝2 的解是x＝3 的解是x＝4…… 根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ． 三、解答题 15．判断是不是方程的解． 16．已知是关于的方程的解，求的值． 17．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 18．若方程是关于的一元一次方程． (1)的值为_______． (2)判断是不是方程的解，并说明理由． 19．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 20．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 21．小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 22．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $