2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册22《第5章二次函数第2节二次函数的图像（五）y=ax2+bx+c的图像和性质》预习讲义

本讲义聚焦二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像和性质，通过配方法推导顶点式，梳理对称轴x=-b/(2a)、顶点坐标公式，衔接前期顶点式知识，构建从公式推导到系数a/b/c及判别式对图像影响的学习支架，为函数性质应用奠定基础。 资料以推导过程强化数学思维，如配方法步骤培养推理能力，结合“左同右异”口诀助理解系数影响，经典例题与分层练习（含地方期末题）提升数学语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册22 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（五）y=ax2+bx+c的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.掌握将一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0) 通过配方法转化为顶点式 y=a(x-h) 2 +k，理解配方法的原理。 2.推导对称轴公式 x=- 、顶点坐标公式 (－ ， ) ，能利用公式直接求解对称轴与顶点，不需要每次配方。 3.能根据a、b、c的符号，判断抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置；能判断b 2 -4ac的符号，确定抛物线与x轴交点个数。 4.掌握y=ax 2 +bx+c的增减性、最值；会利用公式求解区间最值问题。 5.理解一般式和顶点式之间的互相转化，明白抛物线平移前后a保持不变。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.配方法把一般式化为顶点式； 2.对称轴公式 x=- 、顶点坐标公式； 3.a,b,c,b 2 -4ac对图像的影响。 （二） 难点 1.配方法的运算（提取二次项系数后配方，容易漏乘系数a）； 2.判断a、b符号： “ 左同右异 ” （对称轴在y轴左侧，a、b符号相同；对称轴在y轴右侧，a、b符号相反）； 3.结合图像，利用a,b,c符号进行推理； 4.限定自变量取值范围，求二次函数的最值。 ) 三．知识梳理 （一）用配方法把一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 1.推导过程： y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c （第一步：提取前两项的二次项系数a） =a[x2+x+()2-()2]+c （第二步：配方，加上再减去一次项系数一半的平方） =a(x+)2-()2+c=a(x+)2+ 2.归纳： 对比顶点式 y=a(x-h)2+k，可得： 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点是(－，) 直接画二次函数的图象. （二）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像画法 1.描点法 画二次函数的图象 由配方的结果可知，抛物线的顶点是 (6，3)，对称轴是直线x＝6. 先利用图象的对称性列表： 然后描点画图，得到的图象. 2.平移法 （1） （2） 3.归纳 （1）描点法 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标、对称轴； 步骤2：以顶点为中心，左右对称各取几组对应值，列表； 步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接. （2）平移法 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)； 步骤2：作出y＝ax2的图象； 步骤3：平移y＝ax2的图象，使顶点坐标为(h，k). （三）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质. 1.观察下列二次函数的图象，你有什么发现？ 【解析】抛物线的开口向上，顶点是 (6，3)，对称轴是直线x＝6.当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大.当x＝6时，y取最小值，最小值是3. 抛物线，开口向下，顶点是(－1，3)对称轴是直线x＝－1 当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x＞－1时，y随x的增大而减小.当x＝－1时，y取最大值，最大值是3. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象性质. 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 （三）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的系数a、b、c、对图象的影响. 1.二次项系数a（决定开口方向与开口宽窄） （1）开口方向 a>0：抛物线开口向上，函数有最小值； a<0：抛物线开口向下，函数有最大值。 （2）开口宽窄 |a|越大，抛物线开口越窄（图像越陡）； |a|越小，抛物线开口越宽（图像越平缓）。 平移前后抛物线形状不变，a值保持不变。 2.系数a、b共同决定对称轴位置（口诀：左同右异） 对称轴公式：x=- （1）对称轴在y轴左侧（-<0）：a、b符号相同（同正或同负）； （2）对称轴在y轴右侧（->0）：a、b符号相反； （3）b=0：对称轴为y轴（直线x=0）。 3.常数项c：抛物线与y轴的交点纵坐标 抛物线与y轴交点坐标：(0,c) （1）c>0：抛物线交y轴正半轴； （2）c<0：抛物线交y轴负半轴； （3）c=0：抛物线经过原点(0,0)。 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标是（ ） A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) 【答案】：A 【解析】：对称轴x=-=-=2，代入解析式，y=22-4×2+5=1，顶点坐标(2,1)。 例2.（2026南明区一模·改编）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴，则（ ） A.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 C.a>0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c<0 【答案】：B 【解析】：开口向下，a<0；对称轴在y轴右侧，根据口诀“左同右异”，a、b符号相反，b>0；与y轴交于正半轴，c>0。 例3.（2025花溪区期末）对于二次函数y=-x2+2x-3，下列说法正确的是（ ） A.有最大值‑2 B.有最小值‑2 C.有最大值-3 D.有最小值‑3 【答案】：A 【解析】：a=-1<0，开口向下，函数存在最大值；顶点纵坐标 ==-2，最大值为‑2。 例4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，－1＜x＜3。其中，正确的说法有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ②⑤ D. ③④⑤ 【答案】：C 【解析】：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：－＝1，∴2a＋b＝0，∴②正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当－1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤。 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=2x2-8x+1的对称轴是直线________。 【答案】：x=2 【解析】：对称轴公式x=-=2。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=x2+bx+3经过点(1,0)，则b=________。 【答案】：-4 【解析】：将(1,0)代入解析式，0=1+b+3，解得b=-4。 例7.（2025修文县期末）将二次函数y=x2-6x+5配方成顶点式为________。 【答案】：y=(x-3)2-4 【解析】：y=(x2-6x+9)-9+5=(x-3)2-4。 例8. 如图所示，在同一个坐标系内，二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）和一次函数y2＝dx＋e（d≠0）的图象相交于点A（m，n）和点B（p，q）。当y1＜y2时，用m、p表示x的取值范围是__________。 【答案】m＜x＜p 【解析】：直接观察图象即可。 例9.（2024‑2025南明区期末·改编）已知二次函数y=-x2+2x+3。 (1)求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 解：(1)a=-1<0，开口向下；对称轴x=-=1；将x=1代入解析式，y=-1+2+3=4，顶点(1,4)。 (2)令y=0，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，与x轴交点(3,0)、(-1,0)；令x=0，y=3，与y轴交点(0,3)。 例10．已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）作出函数的图象； （2）当1＜x＜5时，求y的取值范围． 解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则函数顶点坐标是（2，﹣1），函数的对称轴是x=2， 方程x2﹣4x+3=0的根是x1=1，x2=3．则函数与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．则抛物线y=x2﹣4x+3的图象如图所示： ； （2）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则函数顶点坐标是（2，﹣1），当x=5是，y=25﹣20+3=8， 则当1＜x＜5时，y的范围是﹣1＜y＜8． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）二次函数y=-3x2+6x-1的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 【答案】：B 【解析】：a=-3<0，二次函数开口向下。 2.（2026云岩区一模）抛物线y=x2-2x-3的对称轴为（ ） A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2 【答案】：A 【解析】：对称轴x=-=-=1。 3.（2025花溪区期末）二次函数y=2x2-8x+1的最小值是（） A.-7 B.7 C.1 D.-1 【答案】：A 【解析】：顶点纵坐标==-7，a>0，最小值为‑7。 4.（2025乌当区期末）抛物线y=x2+bx+c经过(0,-2)，(2,0)，则b=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】：A 【解析】：代入两点，c=-2，4+2b+c=0，解得b=-1。 5.（2026息烽县一模）下列关于y=-2x2+4x+1的结论错误的是（ ） A.对称轴为直线x=1 B.最大值为3 C.当x>1时，y随x增大而增大 D.顶点(1,3) 【答案】：C 【解析】：a=-2<0，开口向下；当x>1时，y随x增大而减小，C选项错误。 6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5 【答案】：A 【解析】：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A． 7.已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a 值为（　　） A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4 【答案】：D 【解析】：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D． 8.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 【答案】：D 【解析】：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故不正确，不符合题意；C．∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a+b+c， ∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），∴am2+bm≤a+b，∵a＜0，∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）故不正确，不符合题意；D．∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故正确，符合题意；故选：D． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-x2+6x-5顶点坐标：________。 【答案】：(3,4) 【解析】：对称轴x=3，代入解析式，y=-9+18-5=4，顶点(3,4)。 10.（2026修文县一模）抛物线y=2x2-4x配方成顶点式：________。 【答案】：y=2(x-1)2-2 【解析】：y=2(x2-2x+1)-2=2(x-1)2-2。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=x2-4x+2，当x________时，y随x增大而减小。 【答案】：<2 【解析】：开口向上，对称轴x=2；对称轴左侧（x<2），y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=ax2-3x+1，若它经过点(1,2)，则a=________。 【答案】：4 【解析】：代入(1,2)，2=a-3+1，解得a=4。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=x2-6x+8与x轴交点坐标为________。 【答案】：(2,0),(4,0) 【解析】：令y=0，x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4。 14．抛物线y=ax2+bx+c的大致图象如图，则b的取值范围是　 　． 【答案】b＞1 【解析】当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，∴a+c=2﹣b．∴2﹣b﹣b＜0，∴b＞1，故答案为：b＞1． 15．将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x﹣1，则a+b+c=　 　． 【答案】1 【解析】先把平移后抛物线y=x2+4x-1配方：y=(x+2)2-5，题目是原抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到上面函数。逆向求原抛物线：把y=(x+22)-5向右平移2个单位，向上平移5个单位。右移2：y=(x+2-2)2-5；上移5：y=x2-5+5=x2。所以原抛物线：y=x2，即a=1,b=0,c=0。a+b+c=1+0+0=1。 16．如图，抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）经过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，则（a+b）（4a﹣2b+1）的值为　 　． 【答案】-1 【解析】已知抛物线y=ax2+bx+1，①过A(-3,0)，代入得：9a-3b+1=0；②对称轴x=-1，-=-1， 把b=2a代入9a-3b+1=0：9a-3(2a)+1=0，9a-6a+1=0，3a=-1，a=-,b=-计算(a+b)(4a-2b+1)：a+b=-1；4a-2b+1=4×(-)-2×(-)+1=1；(a+b)(4a-2b+1)=(-1)×1=-1。 （三）解答题 17.（2024-2025清镇市期末）已知二次函数y=-2x2+8x-6。 (1)求顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标。 解：(1)对称轴x=-=2；代入x=2，y=-8+16-6=2，顶点(2,2)，对称轴直线x=2。 (2)与y轴交点：令x=0，y=-6，交点(0,-6)；与x轴交点：令y=0，-2x2+8x-6=0，解得x1=1，x2=3，交点(1,0)、(3,0)。 18.（2025息烽县期末）将抛物线y=2x2-4x+1先配方为顶点式，再写出平移过程，使其由y=2x2变换得到。 (1)配方； (2)写出平移步骤。 解：(1)y=2(x2-2x)+1=2(x-1)2-1。 (2)抛物线y=2x^2向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到y=2(x-1)2-1。 19.（2026乌当区一模）抛物线y=x2+bx+c过点P(-1,0)，Q(0,-3)。 (1)求抛物线解析式； (2)写出增减性； (3)当-2≤x≤3时，求y的取值范围。 解：(1)代入两点：1-b+c=0，c=-3，解得b=-2,c=-3，解析式y=x2-2x-3。 (2)配方得y=(x-1)2-4；a=1>0，对称轴x=1；当x<1时，y随x增大而减小；当x>1时，y随x增大而增大。 (3)开口向上，顶点(1,-4)；x=-2时，y=5；x=3时，y=0；y取值范围：-4≤y≤5。 20、已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 　 　． 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，∴C（0，3），∵P为BD的中点，∴P（2，2），∴CP＝＝． 故答案为：． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-3x2+12x-5，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=-2 C.顶点(2,7) D.有最小值7 【答案】：C 【解析】：a=-3<0，开口向下；对称轴x=2；代入x=2，y=7，顶点(2,7)；函数有最大值7，C正确。 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=x2-6x+7由y=x2如何平移得到（ ） A.向右平移3个单位，向下平移2个单位 B.向左平移3个单位，向下平移2个单位 C.向右平移6个单位，向上平移7个单位 D.向左平移6个单位，向下平移7个单位 【答案】：A 【解析】：配方y=(x-3)2-2，由y=x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位。 3.（2026观山湖区一模）已知点P(-4,y1)，Q(1,y2)在抛物线y=2x2-4x-1上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法比较 【答案】：A 【解析】：对称轴x=1，开口向上；P距离对称轴5，Q距离对称轴0；离对称轴越远函数值越大，y1>y2。 4.（2025清镇市期末）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于(2,0)，对称轴为直线x=4，则该抛物线解析式为（ ） A.y=x2-8x+12 B.y=x2-4x+4 C.y=x2-8x+4 D.y=x2-4x+12 【答案】：A 【解析】：由对称性，另一交点(6,0)，交点式y=(x-2)(x-6)=x2-8x+12。 5.（2026开阳县一模）二次函数y=3x2-12x+5，当x<2时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 【答案】：B 【解析】：开口向上，对称轴x=2；x<2在对称轴左侧，y随x增大而减小。 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-x2+4x的最大值为（ ） A.2 B.4 C.-2 D.-4 【答案】：B 【解析】：配方y=-(x-2)2+4，开口向下，最大值为4。 7.（2026修文县二模）将抛物线y=2x2-8x+3先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，新解析式为（ ） A.y=2(x)2-1 B.y=2(x-4)2+7 C.y=2(x-2)2+7 D.y=2x2+7 【答案】：A 【解析】：原抛物线y=2(x-2)2-5；左移2，上移4，y=2x2-5+4=2x2-1。 8.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C 【解析】：∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣3a，∴3a+b＝0，①正确；∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，∴y1＜y2，故②正确；∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵对称轴x＝﹣＝，∴a＝﹣b，∴﹣b﹣b+c＝0，∴3c＝4b， ∴4b﹣3c＝0，故③错误；∵对称轴x＝，∴点（0，c）的对称点为（3，c），∵开口向上，∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；故选：C． 9.如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：B 【解析】：如图所示，过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积， ∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．故选：B． 10.抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1 【答案】：D 【解析】：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1， 令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2），如图：由对称性可知，y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2）， ∴y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，故选：D． （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-2x2+16x-11的顶点坐标为________。 【答案】：(4,21) 【解析】：对称轴x=4，代入解析式，y=-2×16+64-11=21，顶点(4,21)。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=x2-2mx+1有最小值-3，则m=________。 【答案】：±2 【解析】：顶点纵坐标=-3，解得m=±2。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=x2-4x-5与y轴交点坐标为________。 【答案】：(0,-5) 【解析】：令x=0，y=-5。 14、已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是________. 【答案】：(-5 【解析】：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5． 15、对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是______． 【答案】：b≤﹣ 【解析】：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，整理得b≤a2﹣a，∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，∴a2﹣a的最小值为﹣， ∴b≤﹣，故答案为b≤﹣． 16、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　． 【答案】：4 【解析】：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4． 17、若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　 　． 【答案】：1≤n＜10． 【解析】：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10． 18、关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是 　 ②③ 　． 【答案】：②③ 【解析】：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝16+4a，a＜0，∴Δ的值可能大于0，∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝4﹣4a＞0，∴a＜1，∵抛物线经过（0，1），且x＝1时，y＝a﹣1＜0， ∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），∴2≥﹣＞0且﹣+2≥≥0，解得，a≥1，故③正确，故答案为：②③． 19、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　． 【答案】＜t＜1． 【解析】由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故答案为：＜t＜1． 20、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 　 　个． 【答案】3． 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为（1，0），把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：，解得，∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点，∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②正确； ∵am2+bm＝am2+am＝a（m+）2﹣a，（a﹣2b）＝（a﹣2a）＝﹣a，∴am2+bm﹣（a﹣2b）＝a（m+）2，又∵a＜0，m≠﹣，∴a（m+）2＜0，即am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣），故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在x＞﹣时，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞1＞﹣，∴y1＜y2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：3． （三）解答题 21.（2026花溪区三模）抛物线y=x2-2kx+k2-1经过点M(2,3)。 (1)求k的值； (2)写出抛物线的对称轴、顶点坐标及增减性； (3)当-1≤x≤3时，求y的取值范围。 解：(1)把M(2,3)代入解析式：4-4k+k2-1=3，k2-4k=0，解得k=0或k=4。 (2)①当k=0时，解析式y=x2-1；对称轴x=0，顶点(0,-1)；a=1>0，当x<0，y随x增大而减小；当x>0，y随x增大而增大。 ②当k=4时，解析式y=x^2-8x+15；对称轴x=4，顶点(4,-1)；当x<4，y随x增大而减小；当x>4，y随x增大而增大。 (3)以k=0，y=x2-1为例：开口向上，顶点(0,-1)；x=-1时，y=0；x=3时，y=8；y取值范围：-1≤y≤8。 22.（2026观山湖区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=-3；当x=1时，y=0；当x=3时，y=0。 (1)求抛物线解析式； (2)将解析式化为顶点式； (3)当y<-3时，判断x是否存在取值。 解：(1)由x=1,x=3时y=0，设交点式y=a(x-1)(x-3)；代入(0,-3)，-3=a(0-1)(0-3)，解得a=-1；解析式：y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3。 (2)配方：y=-(x2-4x+4)+1=-(x-2)2+1。 (3)y=-(x-2)^2+1，开口向下，最大值为1；当y=-3时，-(x-2)2+1=-3，解得x=0或x=4； 当x<0或x>4时，y<-3，存在对应的x取值。 23．如果二次函数的二次项系数为1，那么某二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为[2，3]，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]? 解：(1)由题意，得函数表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)． (2)①特征数为[4，－1]的函数为y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5.∵将函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3，∴平移后的函数图象的特征数为[2，－3]． ②特征数为[2，3]的函数为y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，特征数为[3，4]的函数为y＝x2＋3x＋4，即y＝(x＋)2＋，∴所求平移为先将图象向左平移个单位，再向下平移个单位．(或先向下平移个单位，再向左平移个单位) 24．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6． （1）求此抛物线的解析式． （2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标． 解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2； （2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2， 把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4， 此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）． 25.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为． (1)请直接写出点的坐标． (2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； (3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）在中，令有解得：，，∵在的左侧，∴，，在中，令时，则，∴，∵，∴顶点：； （2）作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时的周长最小，如图：∵，∴．设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，在中，令时，解得，， ∴，∴当的周长最小，点的坐标为， （3）存在，设，∵，∴， ①当时，如图：∴，解或，∴或 ②当时．如图：∴，解得，∴综上所述，的坐标为：或或． 26．如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由． （3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标． 解：（1）∵抛物线的图象经过点，∴，∴，∴抛物线的解析式为； （2）当时，，所以点，当时，所以点 设点所以 当时，． （3）由（1）知，抛物线的解析式为；∴，抛物线的顶点， ∴，设直线BD的解析式为，∴，∴∴直线BD的解析式为，设点，∵，，根据勾股定理得，，，∵， ∴∴，∴， ∴，如图，作轴于F，∵，设，则，∴以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有， ∴∴或， ∴点M的坐标为，，，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册22 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（五）y=ax2+bx+c的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.掌握将一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0) 通过配方法转化为顶点式 y=a(x-h) 2 +k，理解配方法的原理。 2.推导对称轴公式 x=- 、顶点坐标公式 (－ ， ) ，能利用公式直接求解对称轴与顶点，不需要每次配方。 3.能根据a、b、c的符号，判断抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置；能判断b 2 -4ac的符号，确定抛物线与x轴交点个数。 4.掌握y=ax 2 +bx+c的增减性、最值；会利用公式求解区间最值问题。 5.理解一般式和顶点式之间的互相转化，明白抛物线平移前后a保持不变。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.配方法把一般式化为顶点式； 2.对称轴公式 x=- 、顶点坐标公式； 3.a,b,c,b 2 -4ac对图像的影响。 （二） 难点 1.配方法的运算（提取二次项系数后配方，容易漏乘系数a）； 2.判断a、b符号： “ 左同右异 ” （对称轴在y轴左侧，a、b符号相同；对称轴在y轴右侧，a、b符号相反）； 3.结合图像，利用a,b,c符号进行推理； 4.限定自变量取值范围，求二次函数的最值。 ) 三．知识梳理 （一）用配方法把一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 1.推导过程： y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c （第一步：提取前两项的二次项系数a） =a[x2+x+()2-()2]+c （第二步：配方，加上再减去一次项系数一半的平方） =a(x+)2-()2+c=a(x+)2+ 2.归纳： 对比顶点式 y=a(x-h)2+k，可得： 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点是(－，) 直接画二次函数的图象. （二）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像画法 1.描点法 画二次函数的图象 由配方的结果可知，抛物线的顶点是 (6，3)，对称轴是直线x＝6. 先利用图象的对称性列表： 然后描点画图，得到的图象. 2.平移法 （1） （2） 3.归纳 （1）描点法 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标、对称轴； 步骤2：以顶点为中心，左右对称各取几组对应值，列表； 步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接. （2）平移法 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)； 步骤2：作出y＝ax2的图象； 步骤3：平移y＝ax2的图象，使顶点坐标为(h，k). （三）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质. 1.观察下列二次函数的图象，你有什么发现？ 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象性质. 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 （三）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的系数a、b、c、对图象的影响. 1.二次项系数a（决定开口方向与开口宽窄） （1）开口方向 a>0：抛物线开口向上，函数有最小值； a<0：抛物线开口向下，函数有最大值。 （2）开口宽窄 |a|越大，抛物线开口越窄（图像越陡）； |a|越小，抛物线开口越宽（图像越平缓）。 平移前后抛物线形状不变，a值保持不变。 2.系数a、b共同决定对称轴位置（口诀：左同右异） 对称轴公式：x=- （1）对称轴在y轴左侧（-<0）：a、b符号相同（同正或同负）； （2）对称轴在y轴右侧（->0）：a、b符号相反； （3）b=0：对称轴为y轴（直线x=0）。 3.常数项c：抛物线与y轴的交点纵坐标 抛物线与y轴交点坐标：(0,c) （1）c>0：抛物线交y轴正半轴； （2）c<0：抛物线交y轴负半轴； （3）c=0：抛物线经过原点(0,0)。 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标是（ ） A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) 例2.（2026南明区一模·改编）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴，则（ ） A.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 C.a>0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c<0 例3.（2025花溪区期末）对于二次函数y=-x2+2x-3，下列说法正确的是（ ） A.有最大值‑2 B.有最小值‑2 C.有最大值-3 D.有最小值‑3 例4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，－1＜x＜3。其中，正确的说法有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ②⑤ D. ③④⑤ 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=2x2-8x+1的对称轴是直线________。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=x2+bx+3经过点(1,0)，则b=________。 例7.（2025修文县期末）将二次函数y=x2-6x+5配方成顶点式为________。 例8. 如图所示，在同一个坐标系内，二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）和一次函数y2＝dx＋e（d≠0）的图象相交于点A（m，n）和点B（p，q）。当y1＜y2时，用m、p表示x的取值范围是__________。 例9.（2024‑2025南明区期末·改编）已知二次函数y=-x2+2x+3。 (1)求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 例10．已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）作出函数的图象； （2）当1＜x＜5时，求y的取值范围． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）二次函数y=-3x2+6x-1的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.（2026云岩区一模）抛物线y=x2-2x-3的对称轴为（ ） A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2 3.（2025花溪区期末）二次函数y=2x2-8x+1的最小值是（ ） A.-7 B.7 C.1 D.-1 4.（2025乌当区期末）抛物线y=x2+bx+c经过(0,-2)，(2,0)，则b=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.（2026息烽县一模）下列关于y=-2x2+4x+1的结论错误的是（ ） A.对称轴为直线x=1 B.最大值为3 C.当x>1时，y随x增大而增大 D.顶点(1,3) 6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5 7.已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a 值为（　　） A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4 8.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-x2+6x-5顶点坐标：________。 10.（2026修文县一模）抛物线y=2x2-4x配方成顶点式：________。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=x2-4x+2，当x________时，y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=ax2-3x+1，若它经过点(1,2)，则a=________。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=x2-6x+8与x轴交点坐标为________。 14．抛物线y=ax2+bx+c的大致图象如图，则b的取值范围是　 　． 15．将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x﹣1，则a+b+c=　 　． 16．如图，抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）经过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，则（a+b）（4a﹣2b+1）的值为　 　． （三）解答题 17.（2024-2025清镇市期末）已知二次函数y=-2x2+8x-6。 (1)求顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标。 18.（2025息烽县期末）将抛物线y=2x2-4x+1先配方为顶点式，再写出平移过程，使其由y=2x2变换得到。 (1)配方； (2)写出平移步骤。 19.（2026乌当区一模）抛物线y=x2+bx+c过点P(-1,0)，Q(0,-3)。 (1)求抛物线解析式； (2)写出增减性； (3)当-2≤x≤3时，求y的取值范围。 20、已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 　 　． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-3x2+12x-5，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=-2 C.顶点(2,7) D.有最小值7 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=x2-6x+7由y=x2如何平移得到（ ） A.向右平移3个单位，向下平移2个单位 B.向左平移3个单位，向下平移2个单位 C.向右平移6个单位，向上平移7个单位 D.向左平移6个单位，向下平移7个单位 3.（2026观山湖区一模）已知点P(-4,y1)，Q(1,y2)在抛物线y=2x2-4x-1上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法比较 4.（2025清镇市期末）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于(2,0)，对称轴为直线x=4，则该抛物线解析式为（ ） A.y=x2-8x+12 B.y=x2-4x+4 C.y=x2-8x+4 D.y=x2-4x+12 5.（2026开阳县一模）二次函数y=3x2-12x+5，当x<2时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-x2+4x的最大值为（ ） A.2 B.4 C.-2 D.-4 7.（2026修文县二模）将抛物线y=2x2-8x+3先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，新解析式为（ ） A.y=2(x)2-1 B.y=2(x-4)2+7 C.y=2(x-2)2+7 D.y=2x2+7 8.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10.抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1 （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-2x2+16x-11的顶点坐标为________。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=x2-2mx+1有最小值-3，则m=________。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=x2-4x-5与y轴交点坐标为________。 14、已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是________. 15、对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是______． 16、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　． 17、若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　 　． 18、关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是 　 　． 19、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　． 20、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 　 　个． （三）解答题 21.（2026花溪区三模）抛物线y=x2-2kx+k2-1经过点M(2,3)。 (1)求k的值； (2)写出抛物线的对称轴、顶点坐标及增减性； (3)当-1≤x≤3时，求y的取值范围。 22.（2026观山湖区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=-3；当x=1时，y=0；当x=3时，y=0。 (1)求抛物线解析式； (2)将解析式化为顶点式； (3)当y<-3时，判断x是否存在取值。 23．如果二次函数的二次项系数为1，那么某二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为[2，3]，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]? 24．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6． （1）求此抛物线的解析式． （2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标． 25.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为． (1)请直接写出点的坐标． (2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； (3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由． （3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $