第2节菱形的性质与判定讲义数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册2

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，从平行四边形从属关系切入，系统梳理菱形定义、四条边相等和对角线垂直等特殊性质，以及定义法、边判定、对角线判定三种方法，构建特殊与一般的知识支架。 以生活伸缩围栏实例培养数学眼光，通过观察猜想推理验证发展数学思维，规范几何符号语言强化数学语言表达。经典例题结合中考真题，分层训练助力课中教学实施与课后查漏补缺，提升学生推理能力与应用意识。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册2 《第1章特殊的平行四边形第2节菱形的性质与判定》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解菱形的定义，明确菱形与普通平行四边形的从属关系，熟记菱形的性质定理与三种判定定理，掌握菱形的面积计算方法。 2.经历观察、猜想、推理、验证的自主探究过程，能独立完成菱形性质与判定的简单证明，熟练运用定理进行线段、角度、图形面积的基础计算。 3.体会特殊与一般、转化推理的数学思想，区分菱形性质与判定的适用场景，初步解决简单的菱形几何应用题，为后续综合几何学习铺垫基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.菱形的独有性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角、双重对称性）； 2.菱形三种判定方法（定义法、边判定、对角线判定）的内容及几何符号语言书写。 （二） 难点 1.区分平行四边形与菱形的性质差异，规避性质混淆错误； 2.根据题干条件灵活选择菱形的判定方法，规范几何证明步骤； 3.利用菱形对角线垂直的性质，结合直角三角形知识进行综合计算。 ) 三．知识梳理 （一）菱形的定义（基础认知） 生活中常常见到一种伸缩围栏，它由一些小的平行四边形构成，这些平行四边形的邻边都相等。 如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus). 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.定义的核心理解 （1）菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 （2）菱形区别于一般平行四边形的特殊条件：一组邻边相等，这是判断菱形的基础依据。 （3）从图形构成来看，菱形的四条边都具备相等的潜在特征，由平行四边形对边相等+一组邻边相等，可推导出菱形四条边均相等。 【思考】：正方形是菱形吗？ 【答案】：正方形是特殊的菱形，邻边相等且四个角为直角。 （二）菱形的性质探究（核心重点） 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质? 如图，在▱ABCD中，AB=BC，对角线AC，BD相交于点O 由平行四边形的性质定理1，可得AB=DC,AD=BC. 所以 AB=BC=CD=DA. 由平行四边形的性质定理2，可得A0=CO. 所以 BD⊥AC. 于是，我们得到菱形的性质定理:菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 【讨论】菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形.菱形是轴对称图形吗?如果是，由轴对称性你能得到哪些结论? 【解析】菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。 由菱形的轴对称性，可以得到以下结论： （1） 对角线平分内角：每条对角线平分一组对角。 （2）对角线互相垂直：两条对角线互相垂直。 （3） 对角线互相平分：两条对角线互相平分（这也是中心对称的性质，轴对称性进一步强化了这一点）。 （4）对边相等且平行：菱形的四条边都相等，对边平行（这是平行四边形的基本性质，轴对称性保证了边与角的对称关系）。 （5）对角相等：菱形的对角相等，邻角互补。 （6）对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。 【归纳】菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质外，还具有以下特殊性质。 （1）边的性质：菱形的四条边都相等；对边相互平行。 几何符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AB‖CD，AD‖BC。 （2）角的性质：菱形的对角相等，邻角互补，与平行四边形角的性质一致。 （3）对角线性质：菱形的对角线互相平分且垂直；每一条对角线平分一组对角。 菱形邻边相等，对角线平分平行四边形，可拆分出等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”，可证对角线互相垂直且平分顶角。 几何符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 （4）对称性：菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；也是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线。 （5）面积公式： ①常规公式：面积 = 底×高 ②对角线公式：面积 = 两条对角线长度乘积的一半，即S=ab（a、b分别为两条对角线的长）。 （三）菱形的判定方法探究（核心重点） 如图，在四边形ABCD中，由AB=DC，AD=BC，可得四边形 ABCD是平行四边形，因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以▱ABCD是菱形. 如图在▱ABCD中，AC⊥BD，垂足为O.由BO=DO，ACBD,可得AB=AD.所以▱ABCD是菱形 于是，我们得到菱形的判定定理: 四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【讨论】 1.如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗? 【解析】不一定。菱形的判定条件是：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，或者四条边都相等的四边形是菱形。反例：一个普通的四边形（非平行四边形），只要两条对角线互相垂直，就满足“对角线垂直”这个条件，但它不是平行四边形，更不是菱形。比如，画一个“风筝形状”但对边不平行的四边形，对角线垂直，但不是菱形。 2.如果一个平行四边形是轴对称图形，那么它一定是菱形吗? 【解析】不一定，它也可能是矩形（正方形是特殊的矩形和菱形）。平行四边形是中心对称图形，若它还是轴对称图形，说明它有至少一条对称轴。平行四边形的对称轴只能是对边中点连线，或对角线所在直线：若对称轴是对角线 → 邻边相等 → 是菱形；若对称轴是对边中点连线 → 邻角为直角 → 是矩形（包括正方形）。所以，轴对称的平行四边形可能是菱形，也可能是矩形（或正方形），因此“一定是菱形”不成立。 【结论】： （1）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形； （2）是轴对称图形的平行四边形不一定是菱形 【归纳】菱形的判定方法 1.菱形的定义判定：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，定义是最基础的判定方法，可直接用于判定菱形。 2.菱形的判定定理 （1）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形。 （2）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。 几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。 3.判定方法总结 （1）定义法：平行四边形+一组邻边相等 （2）定理法1：平行四边形+对角线互相垂直 （3）定理法2：四边形+四条边都相等 四．经典例题 例1.（2025贵阳云岩区九年级期末）菱形具有而一般平行四边形不具备的性质是（ ） A.对边互相平行 B.对角相等 C.四条边相等 D.对角线互相平分 【答案】：C 【解析】：平行四边形性质包含对边平行、对角相等、对角线互相平分，菱形特殊性质为四条边相等、对角线互相垂直平分一组对角。 例2.如图,在菱形ABCD中,∠B=40°,点E在BC上,若AE=AC,则∠CAE=(　　) A.40°　　 B.50°　　 C.55°　　 D.65° 【答案】A　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=（180°-∠B）=70°,∵AC=AE, ∴∠AEC=∠ACE=70°,∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=40°,故选A. 例3.（2025贵阳南明区九年级期中）下列条件可以判定平行四边形为菱形的是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 【答案】：B 【解析】：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线相等判定为矩形。 例4.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】：D 【解析】：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；∴最后到达的是丁故选：D． 例5.如图在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=16,BD=12,则菱形ABCD的周长(　) A.40　　 B.80　　 C.48　　 D.96 【答案】A　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,BO=OD=BD=6,AO=OC=AC=8,AC⊥BD, ∴AB==10,故菱形ABCD的周长为4×10=40.故选A. 例6.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，∴， ∴四边形ABEC是平行四边形，故①正确；∵平移△ABC到△BDE的位置，∴AB=BD=CE，BC=DE，∵AB=BC，∴AB=BD=CE=BC=DE，∴四边形BDEC是菱形，故②正确；∵四边形BDEC是菱形，∴，∵，，故③正确；∵四边形BDEC是菱形，∴DC平分∠BDE， 故④正确；∴正确的有4个．故选D． 例7.（2025贵阳观山湖区期中）对角线互相垂直平分的四边形是______。 【答案】：菱形 【解析】：对角线互相平分说明是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形。 例8.在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝_________. 【答案】4 【解析】∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB， ，，∴DF∥BC，，，， ，，，即， ，故C正确．故选：C． 例9.如图在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由． 解：(1)连结AC，∵BD也是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC (2)点F是线段BC的中点．理由：在菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，∴∠EAC＝∠BAC，∴AF是△ABC的角平分线，∵△ABC是等边三角形，∴AF是△ABC的BC边上的中线，∴点F是线段BC的中点 例10.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求△BMD的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠BNO，∵对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，∴BM＝DM，BO＝DO， 在△MDO和△NBO中，，∴△MDO≌△NBO（ASA），∴MD＝BN，∵AD∥BC， ∴四边形BMDN是平行四边形，∵BM＝DM，∴四边形BMDN是菱形； （2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，由勾股定理得：AB2+AM2＝BM2，∵AB＝4，AD＝8，∴42+AM2＝（8﹣AM）2，解得：AM＝3，∴DM＝5，∴△BMD的面积=×DM×AB=×5×4=10 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南明区期末）下列说法正确的是（ ） A.对角线垂直的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】：B 【解析】：四边相等的四边形直接判定菱形；A缺少平行四边形前提，D缺少平行四边形前提，C判定为矩形。 2.（2026花溪区二模）菱形对称轴条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】：B 【解析】：对称轴为两条对角线所在直线，一共2条。 3.（2026南明区三模）菱形面积为24，一条对角线长6，则另一条对角线长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】：C 【解析】：×6×x=24，解得x=8。 4.（2025花溪区期末）菱形对角线一定具有的关系是（ ） A.相等 B.互相垂直 C.相等且垂直 D.无特殊关系 【答案】：B 【解析】：菱形对角线互相垂直平分。 5.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD 【答案】B 【解析】要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC， 故选B． 6．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　） A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【解析】 过点A作于E，于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又 ∴四边形ABCD是菱形．故选C． 7.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（ ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【解析】连接AC，交BD于点O，∵菱形ABCD中∠ABC=60°，AB=3，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC∴AO=×3=，∴BO=，∴BD=2BO=2×=，故选B 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（　　） A．18 B．18 C．36 D．36 【答案】B 【解析】如图，过点AE⊥BC于点E，在菱形ABCD中，BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝3，∴AE＝BE＝3，∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝6×3＝18．故选：B． （二）填空题 9.（2025南明区期中）在平行四边形中添加条件________，可使其成为菱形。 【答案】：AB=AD（答案不唯一） 【解析】：一组邻边相等的平行四边形为菱形。 10.（2025花溪区期末）菱形对角线长为2，2，菱形面积为________。 【答案】：2 【解析】：面积=×2×2=2。 11.如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号) 【答案】 【解析】如图，连接CD、EF分别交AB于点M、N，∵四边形ACOD是菱形，∠CAD=60°，∴∠AMC=90°，∠CAM=30°，∴CM=AC=8，∴AM=，∴AO=16，AB=48，同理可得：BN=，∴CE=MN=. 12.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为________. 【答案】：9＋ 【解析】：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD.∵∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°.∴∠ADB＝∠CDB＝30°.∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD.在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，∴OD＝＝2 .∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°.在Rt△DOE中，OE＝OD＝，∴DE＝＝3.∴四边形AOED的周长为4＋2＋＋3＝9＋. 13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为________. 【答案】：10 【解析】：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8.∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，点A′与点C重合，∴O′C＝OA＝2，O′B′＝OB＝8，∠CO′B′＝90°，∴AO′＝AC＋O′C＝6，∴AB′＝＝＝10. 14．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_________. 【答案】：25° 【解析】：如图：∵ABCD是菱形∴AD＝AB，BO＝OD，∴∠BAD＝2∠CAD＝50°∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝65°∵DH⊥AB，BO＝DO∴HO＝DO∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25° 15．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为_________． 【答案】 【解析】∵四边形菱形且对角线交于原点O，∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴，∴． 16．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    【答案】75° 【解析】连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°． （三）解答题 17.（2025云岩区期末）已知四边形ABCD，AB‖CD，AB=CD，AB=BC。 (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠BCD=120o，BC=4，求对角线BD长度。 解：(1)AB‖CD,AB=CD，四边形是平行四边形，又AB=BC，邻边相等，平行四边形为菱形。 (2)BC=CD=4，∠BCD=120o，△BCD中，∠CDB=30o，可求得BD=4。 18.如图四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形； （2）∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52． 19．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点， ∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）； （2）连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2． 20.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC． （1）求证：AE＝EC； （2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时 ，点F在线段BC的什么位置？并说明理由． 解：(1)证明：如图，连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴线段BD所在直线是线段AC的垂直平分线．∵E是线段BD上一点，∴AE＝EC. (2)：点F在线段BC的中点处．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝30°＝∠EAC.∴AF是△ABC的角平分线，∴BF＝CF.即点F在线段BC的中点处． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025贵阳花溪区九年级期末）下列命题为真命题的是（ ） A.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C.对角线垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形 【答案】：B 【解析】：对角线互相平分判定平行四边形，对角线垂直，平行四边形为菱形。 2.（2026贵阳观山湖区三模）菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，下列结论不一定成立的是（ ） A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.AO=CO 【答案】：C 【解析】：菱形对角线不一定相等，对角线相等是矩形性质。 3.（2025贵阳云岩区期中）菱形边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（ ） A.12 B.24 C.30 D.48 【答案】：B 【解析】：对角线一半为3，另一条对角线一半为4，对角线长8，面积×6×8=24。 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，∴OF＝， ∴根据菱形的对称性得EF＝2OF＝．故选：C． 5．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】延长FP交AD于点G，如图所示：在菱形ABCD中，AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，∵PF⊥BC，∴PF⊥AD，∴∠AGP＝90°，∵PE⊥AB，∴∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠AGP，又∵∠EAP＝∠GAP，AP＝AP，∴△EAP≌△GAP（AAS），∴GP＝EP，∵菱形ABCD的周长为24，∴BC＝6，∵菱形ABCD面积为24，∴FG＝24÷6＝4，∴PE+PF＝GF＝4，故选：B． 6．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2＝25，∵AC+BD＝14，∴OA+OB＝7，∴（OA+OB）2＝72＝49，即OA2+2AO•OB+OB2＝49， ∴2OA•OB＝49﹣25＝24，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2OA•OB＝24．故选：C． 7．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠DAB＝45°，∴∠BCD＝∠BAD＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，CD＝DE，∵PF⊥CD，∴△DPF是等腰直角三角形，∴PF＝DF，PD＝PF，设PF＝DF＝x，则PD＝x，∵△PDF的周长为8，∴x+x+x＝8，解得：x＝8﹣4，∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF＝x，∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，∴BC＝CD＝DE＝8，∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，故选：D． 8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　） A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 【答案】C 【解析】添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（5，3） D．（4，3） 【答案】B 【解析】∵菱形ABCD的顶点A在y轴上，B（﹣3，0），C（2，0），∴AB＝AD＝BC，OB＝3，OC＝2，∴AB＝AD＝BC＝OB+OC＝5，∴AD＝AB＝CD＝5，∴OA＝＝＝4， ∴点D的坐标为（5，4）．故选：B． 10．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　） A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【答案】C 【解析】1∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴四边形AMCN是菱形．故选：C． （二）填空题 11.（2025南明区期末）已知平行四边形对角线互相垂直，则这个四边形是________。 【答案】：菱形 【解析】：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 12.（2026观山湖区二模）菱形ABCD，∠ABC=120o，对角线AC=6，则边长为_____。 【答案】：6 【解析】：∠ABO=60o，AO=3→在Rt△ABO中，AB=6。 13.（2025云岩区期中）菱形面积为48，两条对角线之比3:4，则对角线长分别为______。 【答案】：6，8 【解析】：设对角线3x,4x，×3x×4x=48，解得x=2，对角线为6、8。 14.（2026花溪区三模）在四边形ABCD中，AB‖CD，AB=CD，添加条件________，使四边形为菱形。 【答案】：AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】：先判定平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形。 15.（2026观山湖区一模）若顺次连接四边形各边中点得到菱形，则原四边形满足条件为________。 【答案】：对角线相等 【解析】：由三角形中位线，中点四边形边长等于原四边形对角线长度的一半，原四边形对角线相等，中点四边形四边相等，为菱形。 16．将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于__. 【答案】8100 【解析】：根据题意知，将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2025个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，如图，由题意知，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝∠EOF，由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC＝∠DAO，∴OE∥AD，∴OE是△ACD的中位线．∴OE＝AD＝1，∴一个阴影菱形的周长为：1×4＝4，∴2025个阴影菱形的周长和为：4×2025＝8100， 17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______. 【答案】2.5 【解析】：∵菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，∴菱形ABCD的面积＝×2×5＝5， ∴S△ABC＝，∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形PEAF是平行四边形，∴S△PEF＝S△APE＝S平行四边形AEPF， ∴阴影部分的面积＝S△ABC＝， 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为_______. 【答案】（0，﹣1） 【解析】：∵A（2，3），∴OD＝2，AD＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3， 在Rt△ODC中，OC＝＝＝1，∴C（0，﹣1）． 19.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2， ∠A＝120°，则EF的长为________． 【答案】：2 【解析】：如图，连接BD，AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，BO＝OD， ∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABO＝90°－60°＝30°，∴AO＝AB＝×2＝1， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，BO＝，∴OD＝，∴BD＝2 .易知EF⊥AC，EF平分AO. ∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得点E，F分别为AB，AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD＝×2 ＝. 20.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__________cm. 【答案】：10 －10 【解析】：如图，连接BD，AC，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10 cm， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°.∴△ABD，△BCD都是等边三角形．①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值为10 cm；②若以边PB为底，∠PCB为顶角，则以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，那么弧BD上的所有点(除点B外)都满足题意．当点P为弧BD与AC的交点时，AP最小，最小值为(10 －10)cm；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，则以点B为圆心，BC长为半径作圆，那么弧AC上的点D满足题意，此时PA＝10 cm.综上所述，PA的最小值为(10 －10)cm. （三）解答题 21.如图在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由． 解：(1)连结AC，∵BD也是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC (2)点F是线段BC的中点．理由：在菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，∴∠EAC＝∠BAC，∴AF是△ABC的角平分线，∵△ABC是等边三角形，∴AF是△ABC的BC边上的中线，∴点F是线段BC的中点 22.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD. （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD.∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，FC=BC.∴AE=CF.在△AEB与△CFD中，， ∴△AEB≌△CFD（SAS）. （2）∵四边形EBFD是菱形，∴BE=DE.∴∠EBD=∠EDB.∵AE=DE，∴BE=AE.∴∠A=∠ABE. ∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°. 23.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； （ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD=BC，分别以点B，D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于点M，画射线AM交BC于点E，连接BD，DE． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若CE＝1，求BD的长． 解:（1）证明：如图，设AE交BD于点F，连接BM、DM，∵AB＝AD，BM＝DM，∴AM垂直平分BD，∴BE＝DE，∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∴AB＝AD＝BE＝DE，∴四边形ABED是菱形． （2）∵BE＝AD＝CD=BC，∴CE＝BE＝AD＝CD＝1，∴BC＝CE+BE＝2，∵AD∥CE，AD＝CE，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD∥AE，∵AE⊥BD，∴∠BDC＝∠BFE＝90°，∴BD． 25.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB; (2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长. 解：(1)证明：∵△ABC绕A点旋转得到△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB.又AB＝AC，∴AE＝AD，∴△AEC≌△ADB. (2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，又由旋转知AB＝AD， ∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△BAD是等腰直角三角形.∴BD2＝AB2＋AD2＝22＋22＝8，∴BD＝2.∵四边形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2. 26．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD． （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质： 性质1：　 　；性质2：　 　． （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形． 解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；故答案为：对角线互相垂直，是轴对称图形； （2）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BO＝DO，同理：BC＝DC，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠ODC，在△ABO和△CDO中，，∴△AOB≌△CDO（ASA），∴AB＝CD， ∴AB＝CD＝BC＝AD，∴四边形ABCD为菱形． 27．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． 解：理解发现∶ （1）如图①，由定义可知，∵为四边形的分角点，＝，∴，故答案为∶； （2）分角点在四边形的对角线上，理由如下∶如图①，，，∴∴点，，共线， ∴分角点在四边形的对角线上； （3）如图1，菱形有无数个分角点，理由如下∶∵四边形是菱形，∴．∴．∴∴．即．∴点是四边形的分角点，∵为BD上任意一点，∴菱形有无数个分角点， 尝试思考： （1）如图2（2）如图3，找出点A关于BD的对称点E，作射线CE，交BD于点T，则点T就是求作的图形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册2 《第1章特殊的平行四边形第2节菱形的性质与判定》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解菱形的定义，明确菱形与普通平行四边形的从属关系，熟记菱形的性质定理与三种判定定理，掌握菱形的面积计算方法。 2.经历观察、猜想、推理、验证的自主探究过程，能独立完成菱形性质与判定的简单证明，熟练运用定理进行线段、角度、图形面积的基础计算。 3.体会特殊与一般、转化推理的数学思想，区分菱形性质与判定的适用场景，初步解决简单的菱形几何应用题，为后续综合几何学习铺垫基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.菱形的独有性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角、双重对称性）； 2.菱形三种判定方法（定义法、边判定、对角线判定）的内容及几何符号语言书写。 （二） 难点 1.区分平行四边形与菱形的性质差异，规避性质混淆错误； 2.根据题干条件灵活选择菱形的判定方法，规范几何证明步骤； 3.利用菱形对角线垂直的性质，结合直角三角形知识进行综合计算。 ) 三．知识梳理 （一）菱形的定义（基础认知） 生活中常常见到一种伸缩围栏，它由一些小的平行四边形构成，这些平行四边形的邻边都相等。 如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus). 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.定义的核心理解 （1）菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 （2）菱形区别于一般平行四边形的特殊条件：一组邻边相等，这是判断菱形的基础依据。 （3）从图形构成来看，菱形的四条边都具备相等的潜在特征，由平行四边形对边相等+一组邻边相等，可推导出菱形四条边均相等。 【思考】：正方形是菱形吗？ （二）菱形的性质探究（核心重点） 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质? 如图，在▱ABCD中，AB=BC，对角线AC，BD相交于点O 由平行四边形的性质定理1，可得AB=DC,AD=BC. 所以 AB=BC=CD=DA. 由平行四边形的性质定理2，可得A0=CO. 所以 BD⊥AC. 于是，我们得到菱形的性质定理:菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 【讨论】菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形.菱形是轴对称图形吗?如果是，由轴对称性你能得到哪些结论? 【归纳】菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质外，还具有以下特殊性质。 （1）边的性质：菱形的四条边都相等；对边相互平行。 几何符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AB‖CD，AD‖BC。 （2）角的性质：菱形的对角相等，邻角互补，与平行四边形角的性质一致。 （3）对角线性质：菱形的对角线互相平分且垂直；每一条对角线平分一组对角。 菱形邻边相等，对角线平分平行四边形，可拆分出等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”，可证对角线互相垂直且平分顶角。 几何符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 （4）对称性：菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；也是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线。 （5）面积公式： ①常规公式：面积 = 底×高 ②对角线公式：面积 = 两条对角线长度乘积的一半，即S=ab（a、b分别为两条对角线的长）。 （三）菱形的判定方法探究（核心重点） 如图，在四边形ABCD中，由AB=DC，AD=BC，可得四边形 ABCD是平行四边形，因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以▱ABCD是菱形. 如图在▱ABCD中，AC⊥BD，垂足为O.由BO=DO，ACBD,可得AB=AD.所以▱ABCD是菱形 于是，我们得到菱形的判定定理: 四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【讨论】 1.如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗? 2.如果一个平行四边形是轴对称图形，那么它一定是菱形吗? 【归纳】菱形的判定方法 1.菱形的定义判定：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，定义是最基础的判定方法，可直接用于判定菱形。 2.菱形的判定定理 （1）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形。 （2）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。 几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。 3.判定方法总结 （1）定义法：平行四边形+一组邻边相等 （2）定理法1：平行四边形+对角线互相垂直 （3）定理法2：四边形+四条边都相等 四．经典例题 例1.（2025贵阳云岩区九年级期末）菱形具有而一般平行四边形不具备的性质是（ ） A.对边互相平行 B.对角相等 C.四条边相等 D.对角线互相平分 例2.如图,在菱形ABCD中,∠B=40°,点E在BC上,若AE=AC,则∠CAE=(　　) A.40°　　 B.50°　　 C.55°　　 D.65° 例3.（2025贵阳南明区九年级期中）下列条件可以判定平行四边形为菱形的是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 例4.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 例5.如图在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=16,BD=12,则菱形ABCD的周长(　) A.40　　 B.80　　 C.48　　 D.96 例6.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例7.（2025贵阳观山湖区期中）对角线互相垂直平分的四边形是______。 例8.在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝_________. 例9.如图在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由． 例10.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求△BMD的面积． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南明区期末）下列说法正确的是（ ） A.对角线垂直的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.有一组邻边相等的四边形是菱形 2.（2026花溪区二模）菱形对称轴条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2026南明区三模）菱形面积为24，一条对角线长6，则另一条对角线长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 4.（2025花溪区期末）菱形对角线一定具有的关系是（ ） A.相等 B.互相垂直 C.相等且垂直 D.无特殊关系 5.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD 6．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　） A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 7.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（ ） A． B． C．6 D．3 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（　　） A．18 B．18 C．36 D．36 （二）填空题 9.（2025南明区期中）在平行四边形中添加条件________，可使其成为菱形。 10.（2025花溪区期末）菱形对角线长为2，2，菱形面积为________。 11.如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号) 12.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为________. 13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为________. 14．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_________. 15．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为_________． 16．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    （三）解答题 17.（2025云岩区期末）已知四边形ABCD，AB‖CD，AB=CD，AB=BC。 (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠BCD=120o，BC=4，求对角线BD长度。 18.如图四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 19．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积． 20.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC． （1）求证：AE＝EC； （2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时 ，点F在线段BC的什么位置？并说明理由． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025贵阳花溪区九年级期末）下列命题为真命题的是（ ） A.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C.对角线垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形 2.（2026贵阳观山湖区三模）菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，下列结论不一定成立的是（ ） A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.AO=CO 3.（2025贵阳云岩区期中）菱形边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（ ） A.12 B.24 C.30 D.48 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 7．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　） A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（5，3） D．（4，3） 10．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　） A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND （二）填空题 11.（2025南明区期末）已知平行四边形对角线互相垂直，则这个四边形是________。 12.（2026观山湖区二模）菱形ABCD，∠ABC=120o，对角线AC=6，则边长为_____。 13.（2025云岩区期中）菱形面积为48，两条对角线之比3:4，则对角线长分别为______。 14.（2026花溪区三模）在四边形ABCD中，AB‖CD，AB=CD，添加条件________，使四边形为菱形。 15.（2026观山湖区一模）若顺次连接四边形各边中点得到菱形，则原四边形满足条件为________。 16．将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于__. 17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______. 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为_______. 19.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2， ∠A＝120°，则EF的长为________． 20.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__________cm. （三）解答题 21.如图在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由． 22.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD. （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数. 23.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD=BC，分别以点B，D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于点M，画射线AM交BC于点E，连接BD，DE． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若CE＝1，求BD的长． 25.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB; (2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长. 26．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD． （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质： 性质1：　 　；性质2：　 　． （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形． 27．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $