暑期提升训练：长方体和正方体应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体的棱长、表面积、体积核心知识，通过生活情境应用题系统训练公式灵活应用与实际面数判断，突出空间观念与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积计算|13题（如无盖鱼缸、教室粉刷）|根据实际情境判断面数（无盖/侧面积/特定面），应用表面积公式|从完整表面积到实际面数变化，体现几何直观与应用意识| |棱长总和应用|4题（如铁丝框架转化）|长方体与正方体棱长总和转化，利用公式(a+b+h)×4和棱长×12|棱长数量关系到不同立体图形转化，培养推理意识| |体积（容积）计算|12题（如排水法求体积、熔铸问题）|直接计算体积/容积，排水法求不规则物体体积，熔铸问题体积不变|从空间大小计算到体积转化，发展空间观念| |综合应用|4题（如最优包装、多步骤计算）|最优包装（拼接最小表面积）、实际问题多步骤建模|知识综合应用，提升数学思维与问题解决能力|

暑期提升训练：长方体和正方体应用题 1．一个玻璃鱼缸的形状是长方体（无盖），长是12分米，宽是8分米，高是6分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 2．一根铁丝恰好可以焊接成一个长14厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 3．小文和妈妈利用周末去姥姥家，妈妈用丝带把准备的礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要30厘米丝带。捆绑这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 4．一个长方体木箱，长20分米，宽6.5分米，高4.2分米，做这个木箱至少要用多少面积的木板？ 5．爸爸准备请王师傅做一个无盖的长方体玻璃鱼缸。长9分米，宽6分米，高5分米。 （1）做这个鱼缸至少准备玻璃多少平方分米？ （2）这个鱼缸一共可装水多少升？ 6．新安县磁涧镇张叔叔将樱桃通过网络平台销售，他发快递时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱。从外面量，长是34厘米，宽是22厘米，高是18厘米，这种泡沫箱的体积是多少立方厘米？外表面积是多少平方厘米？ 7．一个长方体，相交于一个顶点的三条棱的长度分别是5厘米、3厘米、3厘米。求这个长方体的棱长总和？ 8．下图是一个长方体纸盒的展开图，如果不要盖子，做这个纸盒需要多少材料？ 9．一个长方体鱼缸，长是60cm，宽是50cm，蓄水深20cm，现将一个小假山完全放入水中，此时水面上升了2cm。求这个小假山的体积是多少dm3？ 10．做一个灯笼（上、下都是空的），上、下面是边长3.5分米的正方形，高6分米（如图）。至少需要多少平方分米绸布？ 11．施工队要挖一个长80米、宽40米、深1.5米的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？ 12．把两个长18厘米、宽12厘米、高2厘米的长方体礼盒用纸打包到一起，最少需要多少包装纸？（忽略折叠的包装纸损耗） 13．学校要做一个长2.5分米、宽1.2分米、高3分米的投票箱，至少需要多少平方分米的硬纸板？如果只在棱上粘贴胶带纸，一盘长2.8米的胶带纸够用吗？ 14．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长宽高分别是14厘米、7厘米、9厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 15．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，已知教室的长是8米，宽6米，高4米，门窗的面积25平方米除外，如果每平方米需要5元的涂料费。粉刷这间教室花费多少钱？ 16．幸福烘焙房最受欢迎的产品是一款巧克力蛋糕。这款蛋糕是长方体形状的，做它的蛋糕胚需要用到长20厘米、宽15厘米、高8厘米的长方体模具，蛋糕师将蛋糕面糊倒入模具中，再放入烤箱烘烤，烤好的蛋糕胚正好占满这个模具。 (1)烤好的蛋糕胚的体积是多少立方厘米？ (2)接下来裱花师要在烤好的蛋糕胚的表面涂抹一层巧克力奶油，最后再裱花。涂抹巧克力奶油部分的面积是多少平方厘米？（下底面不用涂抹） 17．如图，一个长方体简易墙壁书架，除前面没有木板外，其他面均用木板制作，制作这样一个简易墙壁书架至少需要木板多少平方分米？ 18．一种汽车油箱从里面量，长6分米，宽4分米，高2.5分米。如果这种汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供汽车行驶多少千米？（假设油箱中的油可以用完） 19．小卖部购进一批巧克力共245包，想把它们包装成礼盒再出售。 (1)如果只包装成一种小礼盒，那么哪种包装方式能够全部装完？ (2)这种包装方式需要的礼盒长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，如果要包装这种礼盒，每个礼盒至少要用多少平方厘米包装纸？（不考虑损耗） (3)装好后，用彩带把这个礼盒系上（如图所示），接头处彩带长18厘米。至少需要多少厘米彩带？ 20．明明家有一个长方体鱼缸（无盖），长6分米，宽5分米，高4分米。这个鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买多少平方分米相配套的玻璃？ 21．妙想把3个西红柿完全浸没在一个棱长为15厘米的正方体容器中，水面高度从10厘米上升到11.2厘米。平均每个西红柿的体积是多少立方厘米？ 22．一个长10cm，宽8cm，高6cm的水缸里装满水，小明把一块棱长是4cm的正方体铁块浸入水缸里，溢出的水的体积是多少？ 23．将一块体积为15立方分米的铁块，熔铸成横截面为边长5厘米的正方形的铁条，这根铁条最长是多少米？（损耗忽略不计） 24．小亮在一个长12厘米、宽10厘米、高28厘米的长方体容器中做实验（测量一个土豆的体积）。请根据他的实验过程，计算这个土豆的体积是多少立方厘米？ 25．教室的长是8米，宽是6米，高是3.5米，现在要粉刷教室四周的墙壁，扣除门窗的面积16平方米，要粉刷的面积是多少平方米？如果每2平方米用涂料1千克，粉刷这个教室共需涂料多少千克？ 26．狗牯脑茶叶又叫玉山茶，属于绿茶，因产于遂川县汤湖乡的狗牯脑山而得名，是遂川三宝之一。有一个长方体形状的狗牯脑茶叶铁盒，它的长是10厘米，宽10厘米，高15厘米。 （1）制作这个铁盒至少需要多少平方厘米的铁皮？（制作过程中的损耗忽略不计） （2）这个长方体茶叶盒的体积是多少立方厘米？ 27．如图，笑笑要给好朋友寄巧克力，两盒巧克力包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 28．张大伯准备在院子里靠两面墙搭一个长方体形状的鸡圈。这个鸡圈的长是24分米，宽是6分米，高是12分米。如果给这个鸡圈蒙上一层铁丝网（如下图）至少需要多少平方分米的铁丝网？ 29．用一根铁丝围成一个棱长为8dm的正方体框架。 （1）这个正方体的体积是多少dm3？ （2）如果把这根铁丝改围成一个长14dm、宽6dm的长方体框架，这个长方体框架的高是多少dm？ 30．要做一个无盖的玻璃鱼缸，如用左下图规格的玻璃板做底面，现有右下虚线框内四种规格的玻璃各两块。（单位：dm） (1)可选择( )和( )（填序号）两种规格的玻璃板做鱼缸前后面和左右面。 (2)制作成功的鱼缸的容积是多少？（玻璃厚度忽略不计） 参考答案 1．336平方分米 【分析】要求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，也就是求长方体五个面的面积（缺少上面），由此即可列式解答。 【详解】12×8＋12×6×2＋8×6×2 ＝96＋144＋96 ＝240＋96 ＝336（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要336平方分米的玻璃。 【点睛】此题是长方体表面积的实际应用，关键要弄清是求哪几个面的面积，缺少哪个面，然后列式解答即可。 2．8厘米 【分析】先根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体框架的棱长和，再根据题意可知：长方体框架的棱长和也就是正方体的棱长和，用正方体的棱长和除以12就可以计算出正方体框架的棱长。 【详解】（14＋6＋4）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝8（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是8厘米。 【点睛】此题的解题关键是熟练掌握长方体和正方体的棱长和公式。 3．450厘米 【分析】观察图形可知，丝带的长度包含4条高、4条长、4条宽，再加上打结处的30厘米，即丝带长度＝（长＋宽＋高）×4＋30。已知长为50厘米，宽为25厘米，高为30厘米。把数据代入计算即可。 【详解】（50＋25＋30）×4＋30 ＝105×4＋30 ＝420＋30 ＝450（厘米） 答：捆绑这个礼物一共需要450厘米丝带。 4．482.6平方分米 【分析】已知长方体木箱长20分米，宽6.5分米，高4.2分米，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2中，计算出长方体的表面积即可。 【详解】（20×6.5＋20×4.2＋6.5×4.2）×2 ＝（130＋84＋27.3）×2 ＝241.3×2 ＝482.6（平方分米） 答：做这个木箱至少要用482.6平方分米的木板。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用。 5．（1）204平方分米； （2）270升 【分析】（1）玻璃鱼缸是无盖的，少一个上底面，实际上是求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出做这个鱼缸至少准备玻璃多少平方分米。 （2）根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个鱼缸的容积，再根据1立方分米＝1升，换算单位即可。 【详解】（1）9×6＋9×5×2＋6×5×2 ＝54＋90＋60 ＝204（平方分米） 答：做这个鱼缸至少准备玻璃204平方分米。 （2）9×6×5＝270（立方分米） 270立方分米＝270升 答：这个鱼缸一共可装水270升。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和容积的计算方法，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 6．13464立方厘米；3512平方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】34×22×18＝13464（立方厘米） （34×22＋34×18＋22×18）×2 ＝（748＋612＋396）×2 ＝1756×2 ＝3512（平方厘米） 答：这种泡沫箱的体积是13464立方厘米，外表面积是3512平方厘米。 7．44厘米 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组（长、宽、高），每组4条棱的长度相等，根据公式“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”列式计算即可。 【详解】（5＋3＋3）×4 ＝11×4 ＝44（厘米） 答：这个长方体的棱长总和是44厘米。 8．230平方厘米 【分析】结合长方体的展开图可知：这个长方体纸盒长、宽、高分别是10厘米、5厘米、6厘米，没有盖子，就是没有上面的面，要求得其表面积，列综合算式为：10×6×2＋5×6×2＋10×5＝230（平方厘米） 【详解】10×6×2＋5×6×2＋10×5 ＝120＋60＋50 ＝230（平方厘米） 答：做这个纸盒需要230平方厘米的材料。 【点睛】先确定好长方体的长、宽、高，再确定好具体哪个面的面积不用乘2，就可以列式计算了。 9．6dm3 【分析】由题意可知，当小假山完全放入水中水面上升，此时上升的这部分水的体积就是这个小假山的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入相应数值计算即可解答。 【详解】 （cm3） 6000cm3＝6dm3 答：这个小假山的体积是6dm3。 【点睛】本题主要考查的是长方体体积公式的计算，解答本题的关键是抓住上升部分的水的体积进行解答。 10．84平方分米 【分析】求需要绸布的面积，就是求这个长方体灯笼的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（3.5×6＋3.5×6）×2 ＝（21＋21）×2 ＝42×2 ＝84（平方分米） 答：至少需要84平方分米绸布。 11．4800方 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可，1方＝1立方米。 【详解】80×40×1.5＝4800（立方米）＝4800（方） 答：一共要挖出4800方的土。 12．672平方厘米 【分析】要把两个长方体礼盒打包到一起，且使用的包装纸最少，即拼成的新长方体的表面积最小。将两个长方体最大的面重叠在一起，拼成的长方体面积最小。已知原来长方体的长18厘米、宽12厘米、高2厘米则新的长方体的长、宽、高分别是18厘米、12厘米、2＋2＝4（厘米），根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求得最少需要的包装纸面积。 【详解】2＋2＝4（厘米） 答：最少需要 672平方厘米包装纸。 13．28.2平方分米；够用 【分析】根据题意可知，把投票箱看作一个长2.5分米、宽1.2分米、高3分米的长方体，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，计算求出；根据长方体的棱长总和＝（a＋b＋h）×4，求出这个投票箱的棱长总和，再与2.8米的胶带纸长度比较即可得解。 【详解】（2.5×1.2＋2.5×3＋1.2×3）×2 ＝（3＋7.5＋3.6）×2 ＝14.1×2 ＝28.2（平方分米） （2.5＋1.2＋3）×4 ＝6.7×4 ＝26.8（分米） ＝2.68（米） 2.68米＜2.8米 答：至少需要28.2平方分米的硬纸板，一盘长2.8米的胶带纸够用。 【点睛】本题考查长方体的表面积和棱长总和公式的灵活运用。 14．10厘米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体棱长总和，即正方体棱长总和，正方体棱长总和÷12＝正方体棱长。 【详解】（14＋7＋9）×4÷12 ＝（21＋9）×4÷12 ＝30×4÷12 ＝120÷12 ＝10（厘米） 答：正方体的棱长是10厘米。 15．675元 【分析】先求出粉刷教室的面积，就是求这个长方体教室的5个面的面积和，再减去门窗的面积；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出5个面积的面积和，再减去门窗面积，求出要粉刷的面积，再乘5，即可解答。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2 ＝48＋（32＋24）×2 ＝48＋56×2 ＝48＋112 ＝160（平方米） （160－25）×5 ＝135×5 ＝675（元） 答：粉刷这间教室花费675元。 16．(1)2400立方厘米 (2)860平方厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出蛋糕胚的体积。 （2）涂抹巧克力奶油的部分不包括下底面，即需要计算长方体5个面的面积之和。这5个面分别是上面、前面、后面、左面、右面。可以根据“上面面积＋前后面积＋左右面积”的列式计算。 【详解】（1）20×15×8 ＝300×8 ＝2400（立方厘米） 答：烤好的蛋糕胚的体积是2400立方厘米。 （2）20×15＋（20×8＋15×8）×2 ＝300＋（160＋120）×2 ＝300＋280×2 ＝300＋560 ＝860（平方厘米） 答：涂抹巧克力奶油部分的面积是860平方厘米。 17．55平方分米 【分析】要做这个简易书架，前面没有木板，实际就是求书架的五个面（除了前面）的面积，根据长方体表面积公式解答即可。 【详解】50×30＋50×25×2＋30×25×2 ＝1500＋2500＋1500 ＝5500（平方厘米） 5500平方厘米＝55平方分米 答：制作这样一个简易墙壁书架至少需要木板55平方分米。 【点睛】此题考查了长方体表面积公式的灵活运用，需要结合题意确定要求哪几个面的面积之和。 18．750千米 【分析】根据长方体的体积（容积）公式：S＝a×b×h，先计算出油箱的容积，换算单位后，然后再除以每千米的耗油量，即可求出这箱油最多可以供汽车行驶多少千米。 【详解】6×4×2.5＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60÷0.08＝750（千米） 答：一箱油最多可以供汽车行驶750千米。 【点睛】本题考查长方体的容积，熟记公式是解题的关键。 19．(1)5包装 (2)700平方厘米 (3)104厘米 【分析】（1）要正好全部装完，说明巧克力包装除以每盒包数没有剩余；分别计算三种包装的结果，进而解答。 （2）求每个礼盒至少要包装纸的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （3）需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处彩带的长度，据此解答。 【详解】（1）每盒2包时： 245÷2＝122（盒）……1（包），剩余1包，不能全部装完。 每盒3包时： 245÷3＝81（盒）……2（包），剩余2包，不能全部装完。 每盒5包时： 245÷5＝49（盒），没有剩余，可以全部装完。 答：每盒装5包的包装方式能够全部装完。 （2）（15×8＋15×10＋8×10）×2 ＝（120＋150＋80）×2 ＝（270＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 答：每个礼盒至少要用700平方厘米包装纸。 （3）15×2＋8×2＋10×4＋18 ＝30＋16＋40＋18 ＝46＋40＋18 ＝86＋18 ＝104（厘米） 答：至少需要104厘米彩带。 20．50平方分米 【分析】无盖长方体鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买鱼缸的下面和右面的玻璃面积之和；根据“长×宽＋宽×高”，代入数据计算求解。 【详解】6×5＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方分米） 答：至少需要购买50平方分米相配套的玻璃。 21．90立方厘米 【分析】根据题意，西红柿完全浸没在水中，所以 3 个西红柿的体积之和等于容器内水面上升部分水的体积。水面上升部分是一个长方体，其底面积等于正方体容器的底面积，即平方厘米，高等于水面上升的高度，即厘米。先利用长方体的体积等于底面积乘高计算出3个西红柿的总体积，再用总体积除以3求出平均每个西红柿的体积。 【详解】（平方厘米） （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：平均每个西红柿的体积是90立方厘米。 22．64cm3 【详解】4×4×4＝64（cm3） 答：溢出的水的体积是64cm3。 23．6米 【分析】熔铸成横截面为边长5厘米的正方形的铁条的体积与原来铁块的体积相等，用铁块的体积除以铁条横截面的面积，所得结果即为这根铁条的长度，据此解答。 【详解】15立方分米＝0.015立方米 5厘米＝0.05米 0.015÷（0.05×0.05） ＝0.015÷0.0025 ＝6（米） 答：这根铁条最长是6米。 【点睛】解答本题的关键是明确铁块的体积等于熔铸成的铁条的体积，注意单位的统一。 24．180立方厘米 【分析】水面上升的体积就是土豆的体积，用10.5厘米减去9厘米计算出上升的水的高度，再用底面积×上升的水的高度即可计算出土豆的体积。 【详解】12×10×（10.5－9） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 答：这个土豆的体积是180立方厘米。 25．82平方米，41千克 【分析】教室是长方体，但是要粉刷的教室四周的墙壁，所以只有2个长×高和2个宽×高的面需要计算，再减去门窗的面积就得到了粉刷面积．每2平方米用涂料1千克，用粉刷面积除以2看有几个2就需要涂料多少千克． 【详解】需要粉刷的面积是：(8×3.5+6×3.5)×2-16 =（28+21）×2-16 =49×2-16 =98-16 =82(平方米) 需要涂料：82÷2×1=41(千克） 答：要粉刷的面积是82平方米，粉刷这个教室共需涂料41千克． 26．（1）800平方厘米 （2）1500立方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此代入数据求出铁皮面积和茶叶盒体积。 【详解】（1）铁皮面积：2×（10×10＋10×15＋10×15） ＝2×（100＋150＋150） ＝2×400 ＝800（平方厘米） 答：制作这个铁盒至少需要800平方厘米的铁皮。 （2）10×10×15 ＝100×15 ＝1500（立方厘米） 答：这个长方体茶叶盒的体积是1500立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。 27．236平方厘米 【分析】如图，将包装盒上下两个面拼起来，拼起来的长方体长和宽等于原来的长和宽，拼起来的高＝原来的高×2，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求出包装纸的面积。 【详解】3×2＝6（厘米） （8×5＋8×6＋5×6）×2 ＝（40＋48＋30）×2 ＝118×2 ＝236（平方厘米） 答：至少需要236平方厘米的包装纸。 28．504平方分米 【分析】从图中可知，长方体鸡圈靠墙的面是长方体的左面和后面，给这个鸡圈蒙上一层铁丝网，则长方体的下面（在地面上）、左面和后面都不用蒙铁丝网，即蒙上铁丝网的是长方体的上面、前面和右面，根据“长×宽＋长×高＋宽×高”，代入数据计算，求出至少需要铁丝网的面积。 【详解】24×6＋24×12＋6×12 ＝144＋288＋72 ＝504（平方分米） 答：至少需要504平方分米的铁丝网。 29．（1）512dm3；（2）4dm 【分析】（1）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式求解即可； （2）正方体的棱长和＝棱长×12，长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，根据正方体的棱长和公式即可求出铁丝的总长度，然后根据长方体的棱长和公式即可求出长方体框架的高。 【详解】（1）8×8×8＝512（dm3） 答：这个正方体的体积是512dm3。 （2）8×12＝96（dm） 96÷4＝24（dm） 24－14－6＝4（dm） 答：这个长方体框架的高是4dm。 【点睛】本题考查了正方体的体积公式、正方体的棱长和公式以及长方体的棱长和公式。 30．(1) ① ③ (2)84 【分析】（1）相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。由图可知，底面的长是7dm，宽是4dm，即长方体的长是7dm，宽是4dm。只有①号有一条边的长度是7dm，因此先选两块①号。①号长方形的宽是3dm，只有③有一条边的长度是3dm，且③的另一条边的长度是4dm，所以再选两块③号。由此可知，长方体的长是7dm，宽是4dm，高是3dm。 （2）根据公式“长方体的体积＝长×宽×高”计算。 【详解】（1）根据分析，选①和③各两块。 （2）7×4×3＝84（） 答：制作成功的鱼缸的容积是84。 学科网（北京）股份有限公司 $