4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习为高一数学新授课同步训练，分层覆盖基础运算到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化无理数指数幂运算性质的理解与应用，培养运算能力和推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|无理数指数幂基本概念与运算性质|单选题（4题）直接考查定义辨析与简单运算，夯实基础| |中档|运算性质综合应用与辨析|多选题（2题）辨析根式与分数指数幂互化，填空题（2题）结合奇函数、实际应用（酒精浓度问题），提升知识迁移能力| |提升|指数幂综合运算与问题解决|解答题（2题）需规范步骤进行复杂求值与条件等式转化，培养逻辑推理与数学表达能力|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：． 故选：． 2.已知正数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查指数幂的运算法则、基本不等式等基础知识，是基础题． 结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“”的妙用即可求解． 【解答】 解：正数，满足， 由题意，， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为． 故选：． 3.已知，则，满足的关系式是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为， 所以，， 即，， 所以， 即，所以， 即． 故选C． 4.已知，则的值是 (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查有理数指数幂的化简求值，属于基础题． 由，将该等式等号两端平方，即可求得的值． 【解答】 解：， ， ． ． 故选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查指数幂的化简求值，属于基础题． 利用指数幂的运算可判断各选项是否正确． 【解答】 解：对于， ，故A正确； 对于，，故B错误； 对于，，故C正确； 对于，，故D正确． 故选：． 6.已知，且，则下列正确的有(    ) A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查由基本不等式求最值或取值范围，指数幂的化简求值与证明，属于基础题． 利用基本不等式和二次函数的性质逐个判断各个选项即可． 【解答】 解：对于： ，且，  ， ， 当且仅当，即，时， 等号成立，故A正确； 对于：  ， 当且仅当，即，时， 等号成立，故B正确； 对于： ， 当且仅当 ，即时，等号成立， 故的最小值是，故C错误； 对于：由  ， 得  ， 所以  ，故D错误． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查奇函数定义及性质的应用，属于基础题． 由已知结合奇函数的定义及性质即可求解． 【解答】 解：因为是定义在上的奇函数， 所以， 当时，， 所以，，， 则 ． 故答案为：． 8.从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后加满水，再倒出升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒          次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于． 【答案】  【解析】由题意得，第次操作后溶液的浓度为． 令，验证可得． 所以至少应倒次后才能使酒精的浓度低于． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 求值：； 若，求． 【答案】解：原式    由，得， 故， 又， 故． 10.本小题分 计算： 已知，求的值． 【答案】解：原式； ， ， ．  【解析】本题考查指数式求值，考查指数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用指数性质、运算法则直接求解． 利用指数性质、运算法则直接求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(     ) A. B. C. D. 2.已知正数，满足，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 3.已知，则，满足的关系式是(     ) A. B. C. D. 4.已知，则的值是 (     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列根式与分数指数幂的互化正确的是(     ) A. B. C. D. 6.已知，且，则下列正确的有(     ) A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则            ． 8.从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后加满水，再倒出升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒           次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 求值：； (2) 若，求． 10.本小题分 计算： 已知，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(     ) A. B. C. D. 2.已知正数，满足，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 3.已知，则，满足的关系式是(     ) A. B. C. D. 4.已知，则的值是 (     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列根式与分数指数幂的互化正确的是(     ) A. B. C. D. 6.已知，且，则下列正确的有(     ) A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则            ． 8.从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后加满水，再倒出升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒           次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 求值：； (2) 若，求． 10.本小题分 计算： 已知，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $