第三单元乘法数量关系（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学苏教版

该小学数学讲义通过知识框架图系统构建乘法数量关系体系，整合单价数量总价、速度时间路程两类核心模型，梳理其与通用份数模型的对应关系，呈现正向乘法与逆向除法公式，明确复合单位读写规范，突出模型思想与可逆推理的重难点。 讲义亮点在于“四步解题思维”培养推理意识，易错指引针对单位混淆、公式错用等问题，真题拔高设计行程问题（如客车4小时行驶后货车距离）、购物优惠方案题，分层练习帮助学生掌握模型应用，支持教师实施精准教学提升运算能力与应用意识。

第三单元 乘法数量关系（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是苏教版四年级上册核心数量关系建模单元，是小学阶段解决实际问题的基础核心内容，承接基础乘法计算，实现从单纯计算到数量逻辑建模的进阶。 （2）本单元系统整合两类通用核心乘法数量模型，同时关联乘除法各部分关系，是所有购物、行程、工程类实际问题的解题依据。 （3）为高年级复杂复合应用题、比例问题、归一归总问题奠定核心模型基础，是小学数学数量体系的关键骨架。 2. 核心学习内容 （1）乘法的基础意义、乘法算式各部分名称与内在关系。 （2）价格类数量关系：单价、数量、总价三者完整关系式及逆推关系。 （3）行程类数量关系：速度、时间、路程三者完整关系式及逆推关系。 （4）拓展归一型乘法数量关系，掌握通用份数模型。 （5）区分各类数量的专属单位，规范复合单位读写规则。 （6）掌握乘法数量关系的通用推理逻辑，实现正向、逆向灵活推导。 3. 核心数学思想 （1）模型思想：从生活实景中抽象出固定数量关系式，建立标准化解题模型。 （2）对应思想：明确每一组数量的对应关系，避免数量错配。 （3）可逆思想：掌握乘法正向计算、除法逆向推导的双向逻辑。 二、乘法基础意义与各部分关系 1. 乘法的定义 （1）乘法是求几个相同加数和的简便运算，是加法的简便进阶形式。 （2）当多个相同数量重复累加时，均可转化为乘法计算，简化运算过程。 2. 乘法算式各部分名称 （1）相乘的两个数统称为乘数，也可称作积的因数。 （2）两个乘数相乘得到的结果，叫做积。 3. 乘除法内在关联规律 （1）基础乘法公式：乘数 × 乘数 = 积。 （2）逆推除法公式：一个乘数 = 积 ÷ 另一个乘数。 （3）核心逻辑：乘法与除法互为逆运算，所有乘法数量关系均可逆向用除法求解未知量。 三、核心模型一：单价、数量、总价数量关系 1. 三个核心量的定义 （1）单价 ① 定义：每件、每个、每一份商品的价格，是单一物品的固定价格标准。 ② 常见单位：元/个、元/支、元/本、元/千克、元/盒等复合单位。 （2）数量 ① 定义：购买商品的总份数、总个数、总重量、总数量。 ② 常见单位：个、支、本、千克、盒等基础计数单位。 （3）总价 ① 定义：购买一定数量商品一共花费的总钱数。 ② 常见单位：元、角、分（日常应用以元为主）。 2. 完整三组数量关系式 （1）正向乘法关系：单价 × 数量 = 总价。 （2）逆向除法关系：总价 ÷ 单价 = 数量。 （3）逆向除法关系：总价 ÷ 数量 = 单价。 3. 模型适用场景 （1）所有购物消费类问题，包含零售、批量采购、称重购物等场景。 （2）已知单一价格和购买份数，求总花费；已知总花费和其中一个量，求另一个未知量。 四、核心模型二：速度、时间、路程数量关系 1. 三个核心量的定义 （1）速度 ① 定义：单位时间内行驶、行走、移动的路程，描述运动的快慢程度。 ② 常见单位：千米/时、米/分、米/秒，属于标准复合单位。 ③ 单位读法：例如千米/时读作千米每小时。 （2）时间 ① 定义：物体运动、行走、行驶所用的总时长。 ② 常见单位：时、分、秒。 （3）路程 ① 定义：物体一共移动、行驶、行走的总长度。 ② 常见单位：千米、米。 2. 完整三组数量关系式 （1）正向乘法关系：速度 × 时间 = 路程。 （2）逆向除法关系：路程 ÷ 速度 = 时间。 （3）逆向除法关系：路程 ÷ 时间 = 速度。 3. 模型适用场景 （1）所有行程运动类问题，包含步行、骑车、乘车、行车等移动场景。 （2）已知运动速度和时长，求总路程；已知总路程和其中一个量，求未知量。 五、拓展通用乘法数量关系模型 1. 每份数、份数、总数通用模型 （1）核心定义：两类核心模型均可归属于通用份数乘法模型，是所有乘法数量关系的本质。 （2）正向公式：每份数 × 份数 = 总数。 （3）逆向公式：总数 ÷ 每份数 = 份数。 （4）逆向公式：总数 ÷ 份数 = 每份数。 2. 模型对应替换规律 （1）价格模型对应：单价是每份数、数量是份数、总价是总数。 （2）行程模型对应：速度是每份数、时间是份数、路程是总数。 3. 常见衍生生活模型 （1）工程模型：工作效率 × 工作时间 = 工作总量。 （2）分组模型：每组人数 × 组数 = 总人数。 （3）产量模型：单产量 × 数量 = 总产量。 六、复合单位专项知识点 1. 复合单位定义 （1）由两个基础单位组合而成的单位，用来表示“每一单位对应的量”，适配单价、速度类数量。 2. 书写与读写规范 （1）书写格式：统一用“/”连接两个单位，前面为总量单位，后面为单一单位。 （2）读法规范：从左往右读作“每+后面单位”，不可颠倒顺序、不可口语化读错。 （3）使用原则：单价、速度必须搭配对应复合单位，不可以单用基础单位替代。 3. 单位匹配原则 （1）计算时单位必须对应统一，时间、长度、价格单位不混搭。 （2）复合单位与基础单位一一对应，保证数量关系成立。 七、数量关系通用解题逻辑 1. 四步解题思维 （1）找量：从题目中提取已知量、未知量，区分三类核心数量。 （2）判型：判断属于价格模型、行程模型还是通用份数模型。 （3）选式：根据已知和未知，选择正向乘法或逆向除法关系式。 （4）对应：保证数量一一对应，不跨量、不错配。 2. 核心通用规律 （1）求总数、总路程、总总价，优先用乘法计算。 （2）求单一量、份数、时长，优先用除法逆向计算。 易错指引 1. 概念辨析易错 （1）混淆单价、数量、总价，无法区分单一量和总量。 （2）混淆速度、时间、路程，误判运动快慢和总距离的关系。 2. 公式运用易错 （1）只会正向乘法计算，不会逆向除法推导未知量。 （2）乱用关系式，已知总价求单价时误用乘法计算。 3. 单位书写易错 （1）速度、单价漏写复合单位，只用基础单位，书写不规范。 （2）复合单位读写顺序颠倒，单位混搭不统一。 4. 数量匹配易错 （1）数量不对应，错用无关数量代入公式计算。 （2）无法识别衍生份数模型，只会套用基础两类模型，不会灵活迁移。 5. 逻辑思维易错 （1）不理解乘法数量关系的本质是份数累加，机械背诵公式。 （2）混淆各类模型的通用规律，无法实现一题多模型、灵活转化。 真题拔高 一、填空题 1．已知算式，那么( )……( )。 2．已知两数的( )与其中的一个加数，求另一个( )的运算，叫做减法。乘除法各部分间也有这样的关系：一个因数＝( )。 3．有A、B、C、D四个数，已知A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21，这四个数中最大的数是( )，最小的数是( )。 4．小马虎计算a÷0.8时，误看成a×0.8，结果得2.56，正确的商是( )。 5．小华和小力出同样多的钱买一箱苹果，结果小华拿了8千克，小力拿了12千克。这样，小力就要给小华16元。苹果每千克( )元。 6．若，那么( )∶( )。 7．在一个除法算式里，除数是62，商是15，余数是32，则被除数是( )。 8．丁丁在某一购票APP上按八折的优惠价购买了2张电影票，一共用去了64元，每张电影票的原价是( )元。另一个购物软件上的优惠活动是按原价的75%出售，广告语可以设计为“买( )送一”。 9．已知两个因数的积是49，其中一个因数是，另一个因数是( )。 10．一个数除以14，商是11，当余数最大时，这个数是( )。 二、选择题 11．一辆汽车从A地到B地，前2小时行驶120千米，照这样速度，再行驶3小时到达，A、B两地相距（    ）千米。 A．180 B．300 C．240 D．360 12．关于0的运算，下面描述错误的是（    ）。 A．一个数加上或减去0，还得原数。 B．0乘或除以一个非0的数还得0。 C．0除任何一个非0的数还得0。 D．0除以0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0。 13．根据389×96＝37344，直接选择答案。373.44÷3.89＝（    ）。 A．0.96 B．9.6 C．96 D．960 14．0.83÷0.03，商是27时，余数是（    ）。 A．2 B．0.2 C．0.02 D．0.002 15．年底大促销活动前，商家按进价加25%作为零售价，活动时价格比零售价降低了20%卖出这件大衣商家（    ）。 A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定 三、判断题 16．加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算。( ) 17．在一道除法算式里，商和除数都是5，被除数一定是1。( ) 18．3.8÷1.2的商是3，余数是2。( ) 19．六一班男生人数的等于女生人数的，则男生人数大于女生人数。( ) 20．如果a×0.5＝b÷0.5＝c（a、b、c都不为0），那么a＞c＞b。( ) 四、计算题 21．用竖式计算。（带△的要验算） 20.4÷6＝          △4.68÷1.3＝ 五、解答题 22．一辆客车和一辆货车同时从甲城开往乙城，已知客车平均每小时行驶89千米，货车平均每小时行驶72千米。客车4小时到达乙城，这时货车离乙城还有多远？照这样的速度，货车再行驶1小时能到达乙城吗？ 23．小红用算式“（75＋45）×60”解答了一个实际问题。你觉得可能是什么实际问题？请试着用自己的方式写一写。 24．材料：学校要为40名学生每人购买一套文具，每套包含2支钢笔和4本练习本。商店推出两种优惠方案：方案一“每买5套送1套”，方案二“每套直接优惠3元”。已知每套文具原价15元。 (1)如果选择方案一，学校需要支付多少元？ (2)如果选择方案二，学校需要支付多少元？哪种方案更省钱？请说明理由。 25．阳光小学举行同等距离的无人机竞速比赛，明明的无人机平均每分钟飞行200米，共用时5分钟，强强的无人机共用时4分钟，平均每分钟飞行多少米？ 26．书店售卖精装课外书，每本定价15元，现推出两种促销活动：方案A：每满200元减30元；方案B：买5本送1本，学校图书室要采购80本这种课外书，算一算选用哪种方案更省钱？两种方案相差多少元？ 27．夏天天气炎热，西西一家去水上乐园玩。水上乐园的泳衣原价每件33元，东东的妈妈原本准备了买2件原价泳衣的钱，现在因泳衣降价促销，这些钱正好能买3件。现在每件泳衣多少钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 乘法数量关系（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是苏教版四年级上册核心数量关系建模单元，是小学阶段解决实际问题的基础核心内容，承接基础乘法计算，实现从单纯计算到数量逻辑建模的进阶。 （2）本单元系统整合两类通用核心乘法数量模型，同时关联乘除法各部分关系，是所有购物、行程、工程类实际问题的解题依据。 （3）为高年级复杂复合应用题、比例问题、归一归总问题奠定核心模型基础，是小学数学数量体系的关键骨架。 2. 核心学习内容 （1）乘法的基础意义、乘法算式各部分名称与内在关系。 （2）价格类数量关系：单价、数量、总价三者完整关系式及逆推关系。 （3）行程类数量关系：速度、时间、路程三者完整关系式及逆推关系。 （4）拓展归一型乘法数量关系，掌握通用份数模型。 （5）区分各类数量的专属单位，规范复合单位读写规则。 （6）掌握乘法数量关系的通用推理逻辑，实现正向、逆向灵活推导。 3. 核心数学思想 （1）模型思想：从生活实景中抽象出固定数量关系式，建立标准化解题模型。 （2）对应思想：明确每一组数量的对应关系，避免数量错配。 （3）可逆思想：掌握乘法正向计算、除法逆向推导的双向逻辑。 二、乘法基础意义与各部分关系 1. 乘法的定义 （1）乘法是求几个相同加数和的简便运算，是加法的简便进阶形式。 （2）当多个相同数量重复累加时，均可转化为乘法计算，简化运算过程。 2. 乘法算式各部分名称 （1）相乘的两个数统称为乘数，也可称作积的因数。 （2）两个乘数相乘得到的结果，叫做积。 3. 乘除法内在关联规律 （1）基础乘法公式：乘数 × 乘数 = 积。 （2）逆推除法公式：一个乘数 = 积 ÷ 另一个乘数。 （3）核心逻辑：乘法与除法互为逆运算，所有乘法数量关系均可逆向用除法求解未知量。 三、核心模型一：单价、数量、总价数量关系 1. 三个核心量的定义 （1）单价 ① 定义：每件、每个、每一份商品的价格，是单一物品的固定价格标准。 ② 常见单位：元/个、元/支、元/本、元/千克、元/盒等复合单位。 （2）数量 ① 定义：购买商品的总份数、总个数、总重量、总数量。 ② 常见单位：个、支、本、千克、盒等基础计数单位。 （3）总价 ① 定义：购买一定数量商品一共花费的总钱数。 ② 常见单位：元、角、分（日常应用以元为主）。 2. 完整三组数量关系式 （1）正向乘法关系：单价 × 数量 = 总价。 （2）逆向除法关系：总价 ÷ 单价 = 数量。 （3）逆向除法关系：总价 ÷ 数量 = 单价。 3. 模型适用场景 （1）所有购物消费类问题，包含零售、批量采购、称重购物等场景。 （2）已知单一价格和购买份数，求总花费；已知总花费和其中一个量，求另一个未知量。 四、核心模型二：速度、时间、路程数量关系 1. 三个核心量的定义 （1）速度 ① 定义：单位时间内行驶、行走、移动的路程，描述运动的快慢程度。 ② 常见单位：千米/时、米/分、米/秒，属于标准复合单位。 ③ 单位读法：例如千米/时读作千米每小时。 （2）时间 ① 定义：物体运动、行走、行驶所用的总时长。 ② 常见单位：时、分、秒。 （3）路程 ① 定义：物体一共移动、行驶、行走的总长度。 ② 常见单位：千米、米。 2. 完整三组数量关系式 （1）正向乘法关系：速度 × 时间 = 路程。 （2）逆向除法关系：路程 ÷ 速度 = 时间。 （3）逆向除法关系：路程 ÷ 时间 = 速度。 3. 模型适用场景 （1）所有行程运动类问题，包含步行、骑车、乘车、行车等移动场景。 （2）已知运动速度和时长，求总路程；已知总路程和其中一个量，求未知量。 五、拓展通用乘法数量关系模型 1. 每份数、份数、总数通用模型 （1）核心定义：两类核心模型均可归属于通用份数乘法模型，是所有乘法数量关系的本质。 （2）正向公式：每份数 × 份数 = 总数。 （3）逆向公式：总数 ÷ 每份数 = 份数。 （4）逆向公式：总数 ÷ 份数 = 每份数。 2. 模型对应替换规律 （1）价格模型对应：单价是每份数、数量是份数、总价是总数。 （2）行程模型对应：速度是每份数、时间是份数、路程是总数。 3. 常见衍生生活模型 （1）工程模型：工作效率 × 工作时间 = 工作总量。 （2）分组模型：每组人数 × 组数 = 总人数。 （3）产量模型：单产量 × 数量 = 总产量。 六、复合单位专项知识点 1. 复合单位定义 （1）由两个基础单位组合而成的单位，用来表示“每一单位对应的量”，适配单价、速度类数量。 2. 书写与读写规范 （1）书写格式：统一用“/”连接两个单位，前面为总量单位，后面为单一单位。 （2）读法规范：从左往右读作“每+后面单位”，不可颠倒顺序、不可口语化读错。 （3）使用原则：单价、速度必须搭配对应复合单位，不可以单用基础单位替代。 3. 单位匹配原则 （1）计算时单位必须对应统一，时间、长度、价格单位不混搭。 （2）复合单位与基础单位一一对应，保证数量关系成立。 七、数量关系通用解题逻辑 1. 四步解题思维 （1）找量：从题目中提取已知量、未知量，区分三类核心数量。 （2）判型：判断属于价格模型、行程模型还是通用份数模型。 （3）选式：根据已知和未知，选择正向乘法或逆向除法关系式。 （4）对应：保证数量一一对应，不跨量、不错配。 2. 核心通用规律 （1）求总数、总路程、总总价，优先用乘法计算。 （2）求单一量、份数、时长，优先用除法逆向计算。 易错指引 1. 概念辨析易错 （1）混淆单价、数量、总价，无法区分单一量和总量。 （2）混淆速度、时间、路程，误判运动快慢和总距离的关系。 2. 公式运用易错 （1）只会正向乘法计算，不会逆向除法推导未知量。 （2）乱用关系式，已知总价求单价时误用乘法计算。 3. 单位书写易错 （1）速度、单价漏写复合单位，只用基础单位，书写不规范。 （2）复合单位读写顺序颠倒，单位混搭不统一。 4. 数量匹配易错 （1）数量不对应，错用无关数量代入公式计算。 （2）无法识别衍生份数模型，只会套用基础两类模型，不会灵活迁移。 5. 逻辑思维易错 （1）不理解乘法数量关系的本质是份数累加，机械背诵公式。 （2）混淆各类模型的通用规律，无法实现一题多模型、灵活转化。 真题拔高 一、填空题 1．已知算式，那么( )……( )。 【答案】 65 5 【分析】根据商×除数＋余数＝被除数，观察已知算式 65×8＋5＝525，符合该数量关系，其中525是被除数，8是除数，65是商，5是余数，据此即可解答。 【详解】由分析得： 已知算式65×8＋5＝525，那么525÷8＝65……5。 2．已知两数的( )与其中的一个加数，求另一个( )的运算，叫做减法。乘除法各部分间也有这样的关系：一个因数＝( )。 【答案】 和 加数 积另一个因数 【分析】减法是加法的逆运算，依据加法算式：加数＋加数＝和推导减法关系式；乘法算式：因数×因数＝积，推出求一个因数的计算方法。 【详解】加减法各部分关系法则：加数＋加数＝和；已知和与其中一个加数，求另一个加数用减法，另一个加数＝和－一个加数； 乘除法各部分关系法则：因数×因数＝积；一个因数＝积另一个因数。 所以已知两数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。乘除法各部分间也有这样的关系：一个因数＝积另一个因数。 3．有A、B、C、D四个数，已知A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21，这四个数中最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 D A 【分析】设A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21＝1，分别求出A、B、C、D的值，再进行比较，即可解答。 【详解】设A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21＝1 A×21＝1 A＝1÷21 A≈0.048 B÷0.8＝1 B＝1×0.8 B＝0.8 C×0.8＝1 C＝1÷0.8 C＝1.25 D÷21＝1 D＝1×21 D＝21 21＞1.25＞0.8＞0.048 即D＞C＞B＞A，最大是D，最小是A。 所以有A、B、C、D四个数，已知A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21，这四个数中最大的数是D，最小的数是A。 4．小马虎计算a÷0.8时，误看成a×0.8，结果得2.56，正确的商是( )。 【答案】4 【分析】根据积÷一个因数＝另一个因数，即用2.56除以0.8即可求出另一个因数，也就是被除数，再根据被除数÷除数＝商，据此计算即可。 【详解】2.56÷0.8＝3.2 3.2÷0.8＝4 所以小马虎计算a÷0.8时，误看成a×0.8，结果得2.56，正确的商是4。 5．小华和小力出同样多的钱买一箱苹果，结果小华拿了8千克，小力拿了12千克。这样，小力就要给小华16元。苹果每千克( )元。 【答案】8 【分析】小华和小力出了同样多的钱，说明两人应拿到同样重量的苹果，即两人一共买了8＋12＝20（千克）苹果，所以平均每人应拿20÷2＝10（千克）苹果。据题意可知，实际上小华拿了8千克，小力拿了12千克，即小力多拿了12－10＝2（千克）苹果。这多拿的2千克，对应的就是小力给小华的16元。根据“总价＝单价×数量”，用16元除以2千克，即可求出苹果每千克多少元。 【详解】一箱的苹果总数为：8＋12＝20（千克） 一箱苹果平均分成两份，每份的数量为：20÷2＝10（千克） 据题意可知，小力多拿的数量为：12－10＝2（千克） 苹果的单价为：16÷2＝8（元） 即苹果每千克8元。 【点睛】抓住“出同样多的钱，即应得同样多的量”这一核心逻辑，先算“平均应拿的重量”，再找“实际多拿的重量”，最后用“补的钱÷多拿的重量”得到单价。 6．若，那么( )∶( )。 【答案】 8 9 【分析】假设，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出和，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出和的比，化简即可。 【详解】假设。 ∶＝（×6）∶（×6）＝8∶9 若，那么8∶9。 7．在一个除法算式里，除数是62，商是15，余数是32，则被除数是( )。 【答案】962 【分析】根据除法算式各部分的关系：被除数＝除数×商＋余数。已知除数是62，商是15，余数是32，代入公式计算即可。 【详解】62×15＋32 ＝930＋32 ＝962 所以被除数是962。 8．丁丁在某一购票APP上按八折的优惠价购买了2张电影票，一共用去了64元，每张电影票的原价是( )元。另一个购物软件上的优惠活动是按原价的75%出售，广告语可以设计为“买( )送一”。 【答案】 40 三 【分析】（1）已知按八折的优惠价购买了2张电影票，一共用去了64元，先根据“单价＝总价÷数量”求出每张电影票的现价； 打八折，即现价是原价的80%，把每张电影票的原价看作单位“1”，单位“1”未知，用现价除以80%，求出每张电影票的原价。 （2）已知每张电影票按原价的75%出售，把75%化成最简分数，相当于付3张电影票的钱现在可以买到4张，也就是“买三送一”。 【详解】（1）64÷2＝32（元） 32÷80% ＝32÷0.8 ＝40（元） 每张电影票的原价是40元。 （2）75%＝ 4＝3＋1，相当于付3张电影票的钱现在可以买到4张。 所以，广告语可以设计为“买三送一”。 9．已知两个因数的积是49，其中一个因数是，另一个因数是( )。 【答案】63 【分析】根据“因数×因数＝积”，已知两个因数的积是49，其中一个因数是，求另一个因数，用积除以已知因数，列式为49÷；再根据除法的计算法则（除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数），求出另一个因数的值。 【详解】49÷ ＝49× ＝63 另一个因数是63。 10．一个数除以14，商是11，当余数最大时，这个数是( )。 【答案】167 【分析】根据余数要比除数小可判断余数再大也会比除数14小，所以余数为13时最大，再根据公式：被除数＝除数×商＋余数可求出这个数。 【详解】 一个数除以14，商是11，当余数最大时，这个数是（167）。 二、选择题 11．一辆汽车从A地到B地，前2小时行驶120千米，照这样速度，再行驶3小时到达，A、B两地相距（    ）千米。 A．180 B．300 C．240 D．360 【答案】B 【分析】先利用前2小时行驶的路程除以时间求出汽车的速度，再求出从A地到B地行驶的总时间（即前2小时与再行驶的3小时之和），最后根据数量关系“路程＝速度时间”求出A、B两地的距离。 【详解】汽车行驶的速度：120÷2＝60（千米/时） 汽车行驶的总时间：2＋3＝5（小时） A、B两地的距离：60×5＝300（千米） 12．关于0的运算，下面描述错误的是（    ）。 A．一个数加上或减去0，还得原数。 B．0乘或除以一个非0的数还得0。 C．0除任何一个非0的数还得0。 D．0除以0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0。 【答案】C 【分析】本题是四年级下册四则运算中关于的运算性质知识。解题关键在于掌握在加、减、乘、除运算中的特殊规则，特别是不能作除数，以及严格区分“除”与“除以”的数学含义。需逐项验证描述是否符合数学定义。 【详解】逐项分析如下： A．根据加法和减法的运算性质，一个数加上或减去，大小不变，结果仍得原数。此选项正确； B．根据乘法和除法的运算性质，乘任何数都得；除以任何非的数都得。选项中描述“乘或除以一个非的数还得”符合运算规则。此选项正确； C．在数学用语中，“除”和“除以”含义不同。“除以”表示，而“除“表示。选项中“除任何一个非的数”表示非的数除以，即除数是。根据除法定义，不能作除数，该算式无意义，不能得到商。此选项错误； D．作除数无意义，因为任何数同相乘都得，无法通过乘法逆运算确定唯一的商。此选项正确。 综上所述，描述错误的是 C 项。 13．根据389×96＝37344，直接选择答案。373.44÷3.89＝（    ）。 A．0.96 B．9.6 C．96 D．960 【答案】C 【分析】根据389×96＝37344，以及根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”解答。 把373.44÷3.89＝（  ）想成：3.89×（  ）＝373.44，积373.44是两位小数，已知其中一个因数3.89是两位小数，那么另一个因数一定是整数即96。 【详解】根据389×96＝37344，可知： 373.44÷3.89＝96 故答案为：C 14．0.83÷0.03，商是27时，余数是（    ）。 A．2 B．0.2 C．0.02 D．0.002 【答案】C 【分析】0.83÷0.03，商是27，计算余数，根据余数＝被除数－商×除数，直接列式计算即可。 【详解】0.83－27×0.03 ＝0.83－0.81 ＝0.02 0.83÷0.03，商是27时，余数是0.02。 故答案为：C 15．年底大促销活动前，商家按进价加25%作为零售价，活动时价格比零售价降低了20%卖出这件大衣商家（    ）。 A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定 【答案】C 【分析】设这件大衣的进价是1，先把这件商品的进价看作单位“1”，零售价是进价的（1＋25%）；再把零售价看作单位“1”，降低了20%，现价是售价的（1－20%）；单位“1”已知，用乘法求出现价，再与进价相比较，得出结论。 【详解】设这件商品的进价是1。 现价：1×（1＋25%）×（1－20%） ＝1×1.25×0.8 ＝1.25×0.8 ＝1 现价＝进价，商家不赚不亏。 故答案为：C 三、判断题 16．加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算。( ) 【答案】 × 【分析】根据四则运算的定义，减法是已知和与一个加数求另一个加数的运算，除法是已知积与一个因数求另一个因数的运算。 【详解】根据四则运算的意义： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法，由关系式加数＋加数＝和可得和－一个加数＝另一个加数，所以减法是加法的逆运算； 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法，在除数不为0的情况下，由关系式因数因数＝积可得积一个因数＝另一个因数，所以除法是乘法的逆运算。 综上所述，题干表述错误。 故答案为：× 17．在一道除法算式里，商和除数都是5，被除数一定是1。( ) 【答案】 × 【分析】在除法算式中，被除数等于除数乘商。已知商和除数都是5，代入计算即可。 【详解】5×5＝25 在一道除法算式里，商和除数都是5，被除数一定是25。原题说法错误。 故答案为：× 18．3.8÷1.2的商是3，余数是2。( ) 【答案】× 【分析】已知3.8÷1.2的商是3，根据“余数＝被除数－商×除数”求出余数，据此判断。 【详解】3.8－3×1.2 ＝3.8－3.6 ＝0.2 3.8÷1.2的商是3，余数是0.2。原题说法错误。 故答案为：× 19．六一班男生人数的等于女生人数的，则男生人数大于女生人数。( ) 【答案】√ 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设男生人数×＝女生人数×＝12（人），根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出男女生的人数，比较即可。 【详解】假设男生人数×＝女生人数×＝12（人） 男生人数：12÷＝12×＝30（人） 女生人数：12÷＝12×＝28（人） 30＞28，男生人数大于女生人数，说法正确。 故答案为：√ 20．如果a×0.5＝b÷0.5＝c（a、b、c都不为0），那么a＞c＞b。( ) 【答案】√ 【分析】采用赋值法进行分析，假设a×0.5＝b÷0.5＝c＝1，根据积÷因数＝另一个因数，商×除数＝被除数，分别计算出a和b，比较即可。 【详解】假设a×0.5＝b÷0.5＝c＝1 a＝1÷0.5＝2 b＝1×0.5＝0.5 2＞1＞0.5，因此a＞c＞b，原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．用竖式计算。（带△的要验算） 20.4÷6＝          △4.68÷1.3＝ 【答案】3.4；3.6 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0，再继续除。小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 根据商×除数＝被除数，进行验算。 【详解】20.4÷6＝3.4            △4.68÷1.3＝3.6 验算： 五、解答题 22．一辆客车和一辆货车同时从甲城开往乙城，已知客车平均每小时行驶89千米，货车平均每小时行驶72千米。客车4小时到达乙城，这时货车离乙城还有多远？照这样的速度，货车再行驶1小时能到达乙城吗？ 【答案】 68千米 能 【分析】根据路程=时间×速度，客车的速度和行驶时间已知，首先求出甲城到乙城的总路程。然后根据已知货车的速度和行驶时间（与客车相同），求出货车已经行驶的路程。用总路程减去货车已经行驶的路程，即为货车离乙城的距离。最后比较货车离乙城的距离与货车1小时行驶的路程的大小，判断货车再行驶1小时能否到达。 【详解】甲城到乙城的路程：89×4＝356（千米） 货车4小时行驶的路程：72×4＝288（千米） 货车离乙城的距离：356－288＝68（千米） 货车1小时行驶的路程：72×1＝72（千米） 因为 72＞68，所以货车再行驶1小时能到达乙城。 答：这时货车离乙城还有68千米，货车再行驶1小时能到达乙城。 23．小红用算式“（75＋45）×60”解答了一个实际问题。你觉得可能是什么实际问题？请试着用自己的方式写一写。 【答案】学校购买60套校服，每件上衣75元，每条裤子45元，一共需要多少元 【分析】算式“（75＋45）×60”中，先算括号里的加法“75＋45”，表示两个数量的和，再算乘法“两个数量的和×60”表示这个和的 60倍是多少。可以从“两种物品单价之和，购买一定数量，求总价”的常见场景入手，例如：学校购买60套校服，每件上衣75元，每条裤子45元，一共需要多少元。首先用每件上衣的单价加上每条裤子的单价，求出一套校服的价格，再用一套校服的价格乘购买的套数，即可求出一共需要多少元。列式为：（75＋45）×60。 【详解】根据生活中的常见场景，例如：学校购买60套校服，每件上衣75元，每条裤子45元，一共需要多少元。 24．材料：学校要为40名学生每人购买一套文具，每套包含2支钢笔和4本练习本。商店推出两种优惠方案：方案一“每买5套送1套”，方案二“每套直接优惠3元”。已知每套文具原价15元。 (1)如果选择方案一，学校需要支付多少元？ (2)如果选择方案二，学校需要支付多少元？哪种方案更省钱？请说明理由。 【答案】(1)510元 (2)480元；方案二更省钱 【分析】（1）需要采购的文具总套数为40套，针对方案一，先判断“每买5套送1套”的优惠规则下，实际需要花钱购买的套数：因为每6套为一组，只需支付5套的费用，所以先计算40套里包含多少个完整的6组，余下不足6组的部分按原价购买，再用实际购买套数乘每套原价得到方案一总费用； （2）针对方案二，因为每套优惠3元，所以先算优惠后每套的价格，再乘总套数40，得到方案二总费用；对比两个方案的总费用，判断哪个更省钱。 【详解】（1）40÷（5＋1） ＝40÷6 ＝6（组）……4（套） 5×6＋4 ＝30＋4 ＝34（套） 34×15＝510（元） 答：学校需要支付510元。 （2）15－3＝12（元） 40×12＝480（元） 480元＜510元 答：学校需要支付480元，方案二更省钱。 25．阳光小学举行同等距离的无人机竞速比赛，明明的无人机平均每分钟飞行200米，共用时5分钟，强强的无人机共用时4分钟，平均每分钟飞行多少米？ 【答案】250米 【分析】已知明明的速度和时间，根据路程＝速度×时间，可求出比赛的距离。因为是同等距离比赛，所以强强的飞行路程与明明相等。再根据速度＝路程÷时间，可求出强强的速度。 【详解】200×5＝1000（米） 1000÷4＝250（米） 答：平均每分钟飞行250米。 26．书店售卖精装课外书，每本定价15元，现推出两种促销活动：方案A：每满200元减30元；方案B：买5本送1本，学校图书室要采购80本这种课外书，算一算选用哪种方案更省钱？两种方案相差多少元？ 【答案】B方案；15元 【分析】方案A：用采购课外书的本数乘每本课外书的单价，求出购买80本书的原价总额，再用购买80本书的原价总额除以200元，求出原价总额中包含多少个200元，再用200元的个数乘30元，求出需要减免的钱数，然后用购买80本书的原价总额减去需要减免的钱数，得出实际付款； 方案B：买5本送1本，就是用买5本的钱，可以得到6本，将（5＋1）本看作一组，用80÷（5＋1）＝13（组）……2（本），求出买的课外书总数里有几组余多少本，每组需要购买5本课外书，一共有13组，所以需要购买课外书的数量为5×13＋2＝67（本），然后用每本课外书的单价乘需要购买的数量，得出实际付款；最后再对比两种方案的实际付款金额，金额少的更省钱，并计算出两种方案的差额，即可解答。 【详解】方案A： 80×15＝1200（元） 1200÷200＝6（个） 1200－6×30 ＝1200－180 ＝1020（元） 方案B： 80÷（5＋1） ＝80÷6 ＝13（组）……2（本） 5×13＋2 ＝65＋2 ＝67（本） 67×15＝1005（元） 1020＞1005，所以方案 B 更省钱，相差金额：1020－1005＝15（元）。 答：选用方案B更省钱，两种方案相差15元。 27．夏天天气炎热，西西一家去水上乐园玩。水上乐园的泳衣原价每件33元，东东的妈妈原本准备了买2件原价泳衣的钱，现在因泳衣降价促销，这些钱正好能买3件。现在每件泳衣多少钱？ 【答案】22元 【分析】本题考查乘除混合运算解决实际问题的能力。解题的关键是抓住“总钱数不变”这一条件。首先根据“单价数量总价”，利用原价和原本计划购买的数量求出妈妈准备的总钱数；然后根据“总价数量单价”，利用总钱数和现在能购买的数量求出现在每件泳衣的价格。 【详解】 （元） 答：现在每件泳衣 22 元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $