1.4.2角平分线的性质-课件-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质”，核心涵盖定义、性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）及逆定理，通过折叠操作引入，经证明推导、符号语言归纳与图形标注，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是操作探究与逻辑推理融合，折叠引入培养几何直观（数学眼光），证明过程发展推理能力（数学思维），符号语言及中考生活应用题提升数学表达与应用意识（数学语言）。如例1证内心性质、例3结合垂直平分线，助学生构建知识网络，教师可借分层练习与典例提升教学效率。

苏科版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 1.4.2角平分线的性质 第一章 三角形 苏科版八年级上册1.4.2 角平分线的性质 同步练习题 核心知识点：角平分线的定义：将一个角分成两个相等角的射线。角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。此性质可直接用于证明垂线段相等，无需证明三角形全等，是几何计算与证明的高频考点，重点区分“角平分线上的点”与“点到两边的垂直距离”两个关键条件。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线上任意一点到角两边的（）相等。 A. 线段长 B. 距离 C. 斜边长 D. 路径长 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 下列能直接用角平分线性质定理得出结论的是（） A. 点在角内，任意两条线段相等 B. 点在角平分线上，且垂直角两边，垂线段相等 C. 角平分线可平分对边 D. 角平分线上的线段都相等 4. 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，下列式子正确的是（） A. DE=DF B. AD=DE C. DE=BC D. AD=DF 5. 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离（） A. 都相等 B. 都不相等 C. 两两相等 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 角平分线上的点到角________的距离相等。 7. 若OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，则PA________PB。 8. 角平分线性质使用的前提：点在角平分线上、线段与角两边________。 9. 三角形角平分线交点叫做三角形的________，到三边距离相等。 10. 已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，则∠AOC=________°。 三、解答题（共60分） 11.（12分）已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB。求证：PM=PN。 12.（14分）如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=4cm，求CD的长度。 13.（16分）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，AC=6cm，求AE的长。 14.（18分）已知：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，求证：DE=DG。 参考答案及解析 选择题：1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 解析：1. 角平分线核心性质为点到角两边距离相等；2. 依据性质定理，垂线段PN与PM相等，长度为5；3. 定理使用必须满足三点：点在平分线上、垂直两边、距离相等；4. AD为角平分线，DE、DF为两边垂线段，故DE=DF；5. 三角形内心性质，三条角平分线交点到三边距离相等。 填空题：6. 两边 7. = 8. 垂直 9. 内心 10. 30 解答题：11. 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POM=∠PON，又PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，OP=OP，可证△OPM≌△OPN（AAS），得PM=PN。 12. 解：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，由角平分线性质得CD=BD=4cm。 13. 解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，可证△ACD≌△AED，∴AE=AC=6cm。 14. 证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF；∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC，∴DF=DG，等量代换得DE=DG。 操作引入 在一张薄纸上画∠AOB，折叠画出角平分线． B A O 新知探究 角平分线上的任意一点P到角两边的距离有什么关系？如何证明？ B A O C D P ● 证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °. ∵OP是∠AOB的角平分线 ∴∠COP＝∠DOP 在△COP和△DOP中， ∴ △PCO ≌△PDO(AAS). ∴PC＝PD. 新知归纳 角平分线上的点到角两边的距离相等． 角平分线的性质定理： 任意一点 新知归纳 符号语言： O A B P C D P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD （角平分线上的点 到角两边的距离相等）. ● 用途： 证明线段相等. 注意：一定要表明是两条垂线段. 讨论交流 如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？ O B A C D Q ● 证明：连接OQ． ∵QC⊥OA，QD⊥OB， ∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°． 在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中， ∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)． ∴ ∠COQ∠DOQ． ∴ 点Q在∠AOB 的平分线上． 新知归纳 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线性质定理的逆定理： 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 新知归纳 ∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB， ∴点Q在∠AOB的平分线上 . （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）. 符号语言： 用途： 确定点在角平分线上，即可以判定角平分线. O A B Q C D 注意：一定要表明是两条垂线段. （第1题） 1.如图，平分，在上取一点，过点 作于点，若，则点到 的距离 为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 返回 中考考法 9 典例分析 例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C AD是∠BAC的平分线 PF＝PN BE是∠ABC的平分线 PF＝PM PM＝PN 点P在∠C的平分线上 典例分析 例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分 别为F，M，N． ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC． ∴PF＝PN（角平分线的性质定理）. 同理PF＝PM． ∴ PM＝PN． ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）. 归纳总结 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知角平分线时，常考虑将角平分线上的点到角两边的距离作出来. 典例分析 例2 利用网格画图： (1) 在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； A B C ● P 典例分析 例2 利用网格画图： (2) 在射线AP上找一点Q，使QB＝QC. A B C ● P ● Q 典例分析 例3 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． A F E C B D 1 2 3 4 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4. ∴DE＝DF，AE＝AF（角平分线的性质定理）. ∴点D、A在EF的垂直平分线上 （线段垂直平分线性质定理的逆定理）. ∴AD垂直平分EF. 讨论交流 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ A B O C D E F P ● M N 解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB， 垂足分别为M，N． ∵尺的宽度相等， ∴PM＝PN． 在Rt△OPM 和Rt△OPN 中， ∴ Rt△OPM≌Rt△OPN (HL)． ∴ ∠POM＝∠PON． ∴ OP平分∠AOB． （第2题） 2. 如图，在纸上画有 ，将两把直 尺按图示摆放，直尺边缘的交点在 的平 分线上，则( ) A A.与一定相等 B.与 一定不相等 C.与一定相等 D.与 一定不相等 返回 中考考法 17 3. 如图是某校的局部平面图，学校有三条小路, 和，已知,与, 相交.学校计划修建一个亭子，使其到 小路,, 的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有___处. 2 （第3题） 返回 中考考法 18 4.如图，在中， ，平分， 于点 ，如果，，则 的长为___. 5 （第4题） 返回 中考考法 19 5.如图，是内一点，且点到三边，， 的距离 .若 ，则 的度数为______. （第5题） 返回 中考考法 20 6. 如图，利用网格作图： （1）在上找一点，使点到和 的距离相等； 解：如图，点 即为所求. 中考考法 21 （2）在射线上找一点，使 . 解：如图，点 即为所求. 返回 中考考法 22 7.如图，平分，，点在上，且 于点 ，于点 . 中考考法 23 （1）求证： ； 解：证明：平分 ， . 在和中， . . 中考考法 24 （2）判断与 的大小关系，并加以证明. 解：.证明：由（1）得 ， ，即为 的平分线. 又，， . 返回 中考考法 25 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 两距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段的长度相等. 判定定理 两相等：两条垂线段的长度相等; 两距离：点到角两边的距离； 一个点：角平分线上的点. 常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段. 课堂小结 $