课时作业11 等式性质与不等式性质-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从单一性质应用到综合逻辑推理的递进，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式基本性质、大小比较|直接判断命题（如选择1-2题），强化概念辨析| |中档|性质综合应用、简单情境|结合实际问题（如选择8题行程问题），培养应用意识| |提升|逻辑推理、复杂证明|多步推理证明（如解答16题），发展理性思维|

课时作业11　等式性质与不等式性质 一、选择题 1．若x<a<0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2<ax<0 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<0 D．x2>a2>ax 2．若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2>ab>b2 C．若a<b<0，则< D．若a<b<0，则> 3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A.> B.< C.> D.< 4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 5．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝的大小关系为(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q 6．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　) A．一定是正数 B．一定为负数 C．可能为0 D．正负不定 7．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(　　) A．甲 B．乙 C．同时到达 D．无法判断 9．(多选题)设a，b为正实数，则下列命题中为真命题的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1； B．若－＝1，则a－b<1； C．若|－|＝1，则|a－b|<1； D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1. 10．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是(　　) A．A>B B．A<B C．A＝B D．A，B的大小关系不确定 二、填空题 11．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”) 12．已知α，β满足则z＝α＋3β的取值范围是 ． 13．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产 件，最高产值为 万元． 三、解答题 14．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程． 15．(1)设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小． (2)已知a>0，b>0，x>0，y>0且>，x>y，求证：>. 16．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|. (1)求证：b＋c>0； (2)求证：<； (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 课时作业11　等式性质与不等式性质 (答案） 一、选择题 1．若x<a<0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2<ax<0 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<0 D．x2>a2>ax 解析：取x＝－2，a＝－1，则x2＝4，a2＝1，ax＝2， ∴x2>ax，可排除A，显然C不正确． 又a2＝1，∴ax>a2.∴排除D，故选B. 2．若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2>ab>b2 C．若a<b<0，则< D．若a<b<0，则> 解析：∵a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错． ∵a<b<0，∴a2>ab，b2<ab，>，>1，<1，即<，∴B正确，C，D错误．故选B. 3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A.> B.< C.> D.< 解析：方法一：∵c<d<0，∴－c>－d>0， ∴>>0. 又a>b>0，∴>，∴<. 方法二：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2. 则＝－1，＝－1，排除选项A，B. 又＝－，＝－，∴<，排除选项C. 故选D. 4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c. 故选A. 5．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝的大小关系为(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q 解析：P2－Q2＝(ac＋bd)2－(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋2abcd＋b2d2－(a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2)＝－a2d2＋2abcd－b2c2＝－(ad－bc)2≤0，所以P2≤Q2，又Q≥0，所以P≤Q. 故选D. 6．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　) A．一定是正数 B．一定为负数 C．可能为0 D．正负不定 解析：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，且a2＋b2＋c2>0(由abc>0知abc均不为0)． ∴ab＋bc＋ac<0. ∴＋＋＝<0. 故选B. 7．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a 解析：由<<可得＋1<＋1<＋1，即<<.因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c，可得a>c.由b＋c>c＋a，可得b>a.于是有c<a<b. 故选A. 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(　　) A．甲 B．乙 C．同时到达 D．无法判断 解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度v1，跑步速度v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝， t1－t2＝＋－＝s ＝·s＝>0， ∴甲用时多．故选B 9．(多选题)设a，b为正实数，则下列命题中为真命题的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1； B．若－＝1，则a－b<1； C．若|－|＝1，则|a－b|<1； D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1. 解析：对于A，由题意a，b为正实数， 则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0， 故a＋b>a－b>0. 若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1≤a－b， 这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立． 对于B，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1. 对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1. 对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0， ∴a≠b，不妨设a>b>0. ∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0， ∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2， 即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0， ∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正确．故选AD. 10．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是(　　) A．A>B B．A<B C．A＝B D．A，B的大小关系不确定 解析：设每枝玫瑰的价格为x元，每枝康乃馨的价格为y元，则由题意得2x＝A,3y＝B， 整理得x＝，y＝，将其代入不等式组得， 将A＋>8乘以－2与2A＋B<22相加，解得B<6，将B<6代入A>8－中，解得A>6，故A>B. 故选A. 二、填空题 11．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”) 解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)， ∴b2＝a2＋c2＋2ac. ∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2. ∵a>c，∴(a－c)2>0，∴b2－4ac>0. 答案：> 12．已知α，β满足则z＝α＋3β的取值范围是 ． 解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v(α＋2β)＝(λ＋v)α＋(λ＋2v)β(λ，v∈R)， 则解得 所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)． 又－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β≤7.故z＝α＋3β的取值范围是{z|1≤z≤7}． 答案：{z|1≤z≤7}． 13．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产 件，最高产值为 万元． 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元． 答案：20；330 三、解答题 14．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程． 解：答案不唯一．命题一：若ab>0，且>， 则bc>ad. 证明：因为>，且ab>0， 所以·ab>·ab，即bc>ad. 命题二：若ab>0，且bc>ad，则>. 证明：因为ab>0，所以>0，又bc>ad， 所以bc·>ad·，即>. 15．(1)设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小． (2)已知a>0，b>0，x>0，y>0且>，x>y，求证：>. 解：(1)方法一：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)， 因为x<y<0，所以xy>0， x－y<0所以－2xy(x－y)>0， 所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 方法二：因为x<y<0， 所以x－y<0，x2>y2，x＋y<0. 所以(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0， 所以0<＝<1， 所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． (2)证明：－＝. 因为>且a>0，b>0，所以b>a>0， 又因为x>y>0，所以bx>ay>0， 所以>0，所以>. 16．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|. (1)求证：b＋c>0； (2)求证：<； (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 解：(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0， 所以b>－c，所以b＋c>0. (2)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0.又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 所以0<<　①. 因为a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0　②. ①②相乘得<. (3)因为a＋d>b＋c>0,0<<，所以<<或<<. (只要写出其中一个即可) 学科网（北京）股份有限公司 $