2.1 等式性质与不等式性质同步训练——2026-2027学年高中数学高一上学期人教A版必修一课时作业

**基本信息** 围绕等式与不等式性质，通过基础辨析、综合应用到实际建模的分层设计，强化从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，适配高中数学同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一不等式性质辨析|选择题1-4直接考查性质应用，培养抽象能力| |综合应用|多性质综合判断与取值范围计算|多选题8-10结合多条件判断，发展推理意识| |拓展提升|实际情境应用与逻辑证明|解答题18以糖水浓度为情境，体现数学建模，强化应用意识|

2.1 等式性质与不等式性质 一、选择题 1．已知，则下列不等式一定正确的是(      ) A. B. C. D. 2．若实数a,b满足,则下列不等式恒成立的是(      ) A. B. C. D. 3．如果,那么下列不等式中,一定成立的是(      ) A. B. C. D. 4．若,则下列不等式成立的是(      ) A. B. C. D. 5．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是(      ) A.大于 B.等于 C.小于 D.无法确定 6．已知实数a,b满足,则下列不等式正确的是(      ) A. B. C. D. 7．已知,且,则下列不等式中一定成立的是(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 8．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是(      ) A. B. C. D. 9．若，且，则下列结论一定成立的是(      ) A. B. C. D. 10．已知,,则下列说法正确的是(      ) A. B. C. D. 三、填空题 11．若,,则的取值范围是____________. 12．已知实数a，b，满足，，则的范围是____________. 13．已知,则的取值范围为______________________． 14．若实数a，b，c满足，，试确定a，b，c的大小关系是______. 四、解答题 15．已知，求证：. 16．回答下列问题，并说明理由. （1）由，能否得到？ （2）由，，能否得到？ （3）由，，能否得到？ 17．已知，比较与的大小. 18．已知糖水中含有糖，若再添加糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度变大）.试根据这个事实写出a，b，m所满足的不等关系，并给予证明. 19．已知，求证： （1）； （2）. 参考答案 1．答案：C 解析：选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，，，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，，满足，则左边，右边，，D错误. 2．答案：D 解析：对于ABC,当时,满足,此时,,故A错误,B错误,C错误; 对于D,因为,故D正确. 3．答案：C 解析：对A,当,则,故A错误； 对B,举例,满足,但,故B错误； 对C,因为,则,则,则两边同除以得,故C正确； 对D,当,则,则,故D错误. 故选：C. 4．答案：C 解析：因为,所以,,,, 所以ABD错误,C正确, 故选：C. 5．答案：D 解析：由于天平两臂不等长， 可设天平左臂长为a，右臂长为b，则， 再设先称得黄金为x，后称得黄金为y， 则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 6．答案：A 解析：由及不等式的性质可知,,选项A正确. 令,满足,此时,且,选项B、C错误. 令,满足,此时,选项D错误. 故选:A. 7．答案：A 解析：因为,且, 所以,,故CD错误; 因为,,所以即恒成立,故A正确; 取,,则,但此时,故B未必成立. 故选:A 8．答案：ABD 解析：且，则，. 对于A，，A正确. 对于B，由，，得，B正确. 对于C，由，可知，，， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，C错误. 对于D，，D正确.故选ABD. 9．答案：AC 解析：假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 10．答案：ABC 解析：对于A:两个不等式相加得,所以A正确; 对于B:因为,所以, 因为,所以,所以B正确; 对于C:两个不等式相乘得,所以C正确; 对于D:因为,所以, 因为,所以,所以D错误. 故选:ABC. 11．答案： 解析：由得, 又,所以的取值范围是. 故答案为：. 12．答案： 解析：由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则，， 所以. 故答案为：. 13．答案： 解析：由于, 则,所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为：. 14．答案： 解析：由，得， ，时，，时，， ，所以.所以. 故答案为：. 15． 证明：，， 两边同时加上b，得； 两边同时加上a，得， ， 两边同乘，得，原不等式成立. 16．答案：（1）不能 （2）不能 （3）不能 解析：（1）不能.当，时，不成立. （2）不能.取，，，. 则，， 此时不成立. （3）不能，取，，，， 则，，此时不成立. 17．答案： 解析：， ， . 18．答案：不等关系为 解析：不等关系是已知，，则. 证明如下： 因为， 所以， 所以. 19． 解析：证明：（1）， ， ， ， 又，， . （2）由（1）知，由，得. 两边同乘，得，即； 两边同乘，得，即. 综上可知，. 学科网（北京）股份有限公司 $