3.1.2 函数的表示法 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦函数的表示方法这一核心知识点，涵盖解析法、图象法、列表法，通过“函数有哪些表示方法呢？”设问导入，衔接函数定义，以解析法中的待定系数、换元等方法和图象法作图技巧为学习支架，为后续函数性质探究奠定基础。 该学案特色在于例练结合，系统训练解析法求解析式（如待定系数、换元、消元等）和图象法作图（含绝对值、变换），培养学生数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观，习题层次分明，助力提升数学语言表达与应用意识，高效巩固知识。

3.1.2 函数的表示方法 学案 【知识要点】 函数有哪些表示方法呢？ （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；（待定系数，换元，配凑，消元，赋值） （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系. 类型一 函数的解析式 【例1】求下列函数的解析式： （1）已知一次函数满足f（f（x））＝4x+1，求解析式f（x） （2）已知二次函数满足f（3x+1）＝9x2+6x+5，求f（x）的解析式． （3）已知函数y＝f（x）满足2f（x）+f＝2x，x∈R且x≠0，求f（x）； （4） 设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）＝1，且对于任意的实数a，b有 f（a﹣b）＝f（a）﹣b（2a﹣b+1），求f（x）的解析式． 练习：(1已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（2﹣x）﹣f（x）＝0，f（1）＝﹣2，求f（x）； (2）已知f（x+）＝x2+，求f（x）． （3）已知f（+1）＝x+3，求f（x） (4)已知f（x）﹣2f（）＝3x+2，求f（x）． （5）已知对任意实数x、y都有f（x+y）﹣2f（y）＝x2+2xy﹣y2+3x﹣3y，求f（x）． 类型二 函数的图像 【例2】画出下列函数图像： （1）y＝﹣x2+2|x|+3； （2）y＝|﹣x2+2x+3| （3）y＝ （4）y＝1+ （5）已知函数f（x）为定义在[﹣2，2]上的图象，请分别画出下列函数的图象． ①y＝f（x+1）； ②y＝f（x）+1． 答案 例一（1）解：设f（x）＝ax+b，则f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+1； ∴；∴，或；∴，或f（x）＝﹣2x﹣1． 故答案为：2x+，或﹣2x﹣1．（待定系数法） （2） 法一：由f（3x+1）＝（3x+1）2+4，即可得到函数的解析式，所以f（x）＝x2+4。 （配凑法） 法二：令整理的 所以f（x）＝x2+4。（换元法） （3） 将式子2f（x）+＝2x①中的x换上得到：②；①②联立解出 f（x）＝；（消元法） （4）令a＝b＝x，则f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），又f（0）＝1，所以f（x）＝1+x（x+1）即f（x）＝x2+x+1。（赋值法） 练习：解：（1）f（0）＝2，则可设f（x）＝ax2+bx+2 f（2﹣x）＝f（x），即f（1+1﹣x）＝f（1﹣（1﹣x）），即x＝1为函数的对称轴，即x＝﹣＝1，得：b＝﹣2a，f（1）＝﹣2，得：a+b+2＝﹣2，即a﹣2a+2＝﹣2，得：a＝4，故b＝﹣8 ∴f（x）＝4x2﹣8x+2；（待定系数法） （2）∵f（x+）＝x2+＝（x+）2﹣2；故f（x）＝x2﹣2，（x≥2或x≤﹣2）；（配凑法） （3）设+1＝t（t≥1），则x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+3＝t2﹣2t+4， ∴f（x）＝x2﹣2x+4（x≥1）；（换元法） （4）以代替x，代入f（x）﹣2f（）＝3x+2①，可得f（）﹣2f（x）＝+2②， ①②联立可得f（x）＝﹣x﹣﹣2．（消元法） （5）解：令x＝y＝0得f（0）＝2f（0），则f（0）＝0令y＝0得f（x）＝f（0）+x2+3x 即f（x）＝x2+3x．（赋值法） 类型二 函数的图像 （1））y＝﹣x2+2|x|+3＝，其图象为： （2）y＝|﹣x2+2x+3|＝ 其图象为： （3）y＝＝2+， 其图象由y＝的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到，如下图所示： （4））作函数y＝1+的图象如下， ， 故函数的单调减区间为（﹣∞，0），值域为[1，+∞）； （5）①将f（x）图象向左平移1个单位即可得到y＝f（x+1）的函数图象，作出图象如下： ②将f（x）图象向上平移1个单位得到y＝f（x）+1的图象，如图： www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $