第三章图形的相似单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 第三章图形的相似单元测试卷，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换、黄金分割等核心知识，通过基础巩固与实际应用结合的梯度设计，适配单元复习，助力提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相似判定、位似性质、平行线分线段成比例|结合图形辨析，考察基础概念理解| |填空题|6/18|位似坐标、相似条件添加、矩形相似|设置开放条件，培养空间观念| |解答题|8/72|比例计算、位似作图、相似证明与应用|融合河宽测量（21题）、绿地设计（22题）等实际情境，体现模型意识与应用能力，综合考察推理能力|

第三章图形的相似单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． ①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A．，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． B．由得，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． 故选：D． 2．如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可判定，根据相似三角形对应边成比例可得，同时由可得其他比例关系，从而判断各选项． 【详解】解：∵， ， ∴，故D选项正确，C选项错误； ∵， ∴， ∴， ∴，，故A、B选项都错误 ． 3．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 4．如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 5．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（   ）厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用， 过作于点，延长，交于点，则有，，再证明，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过作于点，延长，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 7．如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．由与相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出与四边形的面积比，即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：B． 8．点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 9．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 10．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 12．如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可. 【详解】解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 13．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 14．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 15．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 16．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 18．如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，已知是通过位似变换得到的，则位似中心为________；和位似比为________； (2)作图：请在线段上找一点使得． 【答案】(1)点， (2)作图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； （2）解：作图如下： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，是的直径，弦，垂足为P，连接，，求证：． 【答案】证明： ∵是的直径，弦，垂足为P， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴． 【分析】根据垂径定理得，则，再结合，即可证明． 【详解】略 20．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 21．如图所示，旗杆顶部Q，标杆顶部D，观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的脚到旗杆底部的距离，观测者的脚到标杆底部的距离，若，标杆的高为，那么旗杆有多高． 【答案】旗杆的高度为 【分析】如图，作于H，交于E，则四边形和四边形为矩形，易得，易证，利用相似三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作于H，交于E，则四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 答：旗杆的高度为． 22．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：略． 23．如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24．如图，与相切于点，与相切于点，作，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长交于，利用切线性质和平行线性质证明，结合垂径定理得；再由切线长定理得，通过等腰三角形性质和平行线内错角相等，结合三角形内角和定理，证明 （2）先由切线长定理得，结合勾股定理和面积法求出的长；再利用（1）的结论证明，根据相似三角形对应边成比例求出的长． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点 与相切于点， ， ． ， ， ， ， ， ． 与相切于点，与相切于点， ， ． ， ， ． 在中，， 在中，， ，， ． （2）解：连接、、，设与交于点， 、与分别相切于点、， ，， ，， 在中，， ，， 垂直平分， ， , ． 由（1）知：，， ， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第三章图形的相似单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE 与△ACB相似的是() D B A.∠ADE=∠ACB B.DE∥BC AE AD AD DE C.AB AC D.AB BC 2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC,BE与CD相交于点 F,则下列结论一定正确的是（) FD DE AD DE ADAE A.FB BC C.DBBC D.AB AC 3.如图，四边形ABCD,A'B'CD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，己知点A, (2,0)(3,0) 的坐标分别为 ,若四边形ABCD的面积为8，则四边形A'B'CD的面积为 () A.12 B.18 C.24 D.27 试卷第1页，共3页 4.如图，直线 %，直线4C分别交、么、于点4，B,C,过点“的直线DE 分别交，于点D,E.若AB=2,8C=4,DE=9,则线段DB的长为() D /B A.3 B.4 c.5 D.6 5.如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A'B′平行，已知玻璃棒 AB=18厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A'B的长是()厘米. 15 A.3 B.4 c.5 D.6 6.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=2,则△ADE与△ABC的面积比为 () D A.9:25 B.35 C.9:16 D.34 7.如图，已知△ADE与△ABC的相似比为：2，若△ADE的面积为l,则四边形BCED的面 积为（) 试卷第2页，共3页 D B A.2 B.3 C.4 D.5 BC AB 8,点B把线段4C分成两部分，如果BAC大，那么k的值为〈) 5+1 √5-1 A.2 B.2 C.5+1 D.-1 9.已知，线段AB=2,点M,N是线段AB的两个黄金分割点，则MN的长为() A M N B A.5-1 B.3-V5 c.25-2 D.25-4 10,△4BC中，B=1C=10cm,BC=12c.点P从B出发以2cm向C移动‘秒>0）， 当△APC为等腰三角形时，t的值为(). B P 11 A.0 B.1 C.0或1 D.1或6 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，平面直角坐标系中，△AOD与△BOC是位似图形，位似中心为坐标原点O.已 知点A,B,D的坐标分别为4(6,3)，B(2,D9,-2）,则点C的坐标为 试卷第3页，共3页 VA 12.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上一点，连接DE,请你添加一个条件， 使△ADE一△ABC,则你添加的这一个条件可以是 13.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=10,点E,F分别在AD,BC上，若矩形 ABFE矩形BCDA,则BF的长为一 E D B 14.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点 F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF= D B E 15.要“像保护眼晴一样保护自然和生态环境”，如图，现在小明门前的小河清澈透明， 为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们 所在的这一侧岸上选点A和点B,使得B,A,P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后 确定点C,点D,使BC⊥BP,AD⊥BP,由观测可以确定CP与AD的交点D.他们测 得AB=30m,BC=90m,AD=60m,从而确定河宽，他们测量的河宽为AP= m 试卷第4页，共3页 D 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8.点O为AB边中点，点P为线段 AC上一动点.将△APO沿PO折叠，点A的对应点为A',直线OA'与线段AC交于点O. 当△OPO与△ABC相似时，线段OP的长为. 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:6,且a+2b+c=13 (1)求a、b、c的值： (2)若线段长x是线段a、b的比例中项，求x的值. 18.如图，a1BC三个顶点坐标分别为1(-4,0)、B(0,2)、C(-24) B 5-4-3-2-1QB1 3.45 5 (I)如图，己知△ABC是△ABC通过位似变换得到的，则位似中心为」 △A,B,C1和 △ABC位似比为 (2)作图：请在线段AB上找一点M使得AM:BM=2:3」 试卷第5页，共3页 19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P,连接AC,BC,求证： AACP∽ACBP B AF AE 20.如图，在AABC中，点D在边AB上，点RE在边AC上，且DFIIBE,FECE· (L)求证：DE∥BC: AF2 (2)如果FE=3,SAr=3,求SBc的值。 21.如图所示，旗杆顶部Q,标杆顶部D,观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的 脚到旗杆底部的距离AP=75m,观测者的脚到标杆底部的距离AC=2.5m,若AB=1.5m, 标杆CD的高为2m,那么旗杆有多高. B 22.如图，矩形ABCD为一块绿地，长为32m,宽为24m,现计划在绿地中央建一个矩形 花圃EFGH.要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽 试卷第6页，共3页 32m H G 24m (1)求花圃四周绿地的宽度： (2)矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？请说明理由. 23.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD,过点A作AEIIBC,连接BE 分别交AD,AC于点F,G,AF2=FG·EF, E G (I)求证：∠DAC=∠CBE: (2)若AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点，求BG的长. 24.如图，BA与⊙0相切于点A,BC与⊙0相切于点C,作ADI‖BC,交⊙0于点D, 连接AC,CD D 0 C (I)求证：∠ACD=∠B； (2)若⊙0的半径r=3,AB=6,求AD的长， 试卷第7页，共3页