精品解析：湖北省宜昌市当阳市2025-2026学年下学期期末考试八年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期末学业质量监测 年级数学试题 （本试题卷共6页24题，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项B、的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，该选项符合题意； 选项C、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 选项D、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 2. 已知直角三角形的两边长分别为3，5，则第三边长为（ ） A. 4 B. 4或 C. D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论：分5是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】当5是直角边时，第三边， 当5是斜边时，第三边， 所以，第三边长为4或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想按5为直角边或斜边来分类讨论． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】掌握二次根式的运算性质是解题的关键.一般地，二次根式的乘法规定：；二次根式的加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 【详解】、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项正确； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项错误． 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，是解题的关键. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 矩形的对角线相等 C. 平行四边形对边平行 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解： A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B．矩形的对角线相等，这是矩形的性质，是真命题； C．平行四边形对边平行，这是平行四边形的性质，是真命题； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，因此该命题是假命题． 5. 对甲、乙、丙、丁四名运动员进行罚球线上投篮测试，每人投篮10组，每组投篮10次，四名运动员投篮10组命中的平均次数均为9，且他们的方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 1.56 0.60 0.40 2.50 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】当各组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小，找出方差最小的选手即可． 【详解】解：∵四名运动员投篮命中的平均次数相同，方差越小成绩波动越小，成绩越稳定， 又∵方差大小关系为：， ∴丙的方差最小， ∴丙的成绩最稳定． 6. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 7. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作于M，交于N，则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，从而得出． 【详解】解：如图，作于M，交于N， ∵四边形是矩形， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 9. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形可得，由角平分线可得，进而得到，从而求出点的坐标． 【详解】解：，， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 由题意可知：平分， ， ， ， ． 10. 在一条笔直的公路上有、两地，甲骑自行车从地到地；乙骑自行车从地到地，到达地后立即按原路返回地．如图是甲、乙两人离地的距离与行驶时间之间的函数图象．下列说法：①、两地距离是千米；②甲的速度为千米/时；③点的坐标为；④当甲、乙两人相距千米时，他们的行驶时间是小时或小时；其中说法正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象数据可直接判断①②说法；分别求出甲离地的距离与行驶时间之间的函数关系式，以及当时，设乙离地的距离与行驶时间之间的函数关系式，可判断③说法；求出对应函数关系式，根据相距千米列方程，可判断④说法． 【详解】解：由图象可知，、两地距离是千米，①说法正确； 由图象可知，甲2小时行驶了，则甲的速度为（千米/时），②说法正确； 设甲离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为， 则，解得：， ； 当时，设乙离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为，则， 当时，， 联立，解得：， 当时，， 点的坐标为，③说法正确； 当时，若甲、乙两人相距千米， 则， 解得：或； 当时，设乙离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为， 则，解得：， 当时，， 若甲、乙两人相距千米，则， 解得：， 综上可知，当甲、乙两人相距千米时，他们的行驶时间是小时或小时或小时，④说法错误； 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵在中，D、E分别为的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：4． 13. 在某次体检中，5名学生测量的收缩压数据（单位：）为104，110，106，128，123．这组数据的第三四分位数是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据第三四分位数的计算规则确定其位置，进而得到对应结果． 【详解】将原数据从小到大排序为： 方法一：样本容量，第三四分位数的位置为： 因为不是整数，对向上取整，可知第三四分位数是排序后第个数据，即； 方法二：原数据的中位数为，则第三四分位数为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，由轴对称性质得，故．当、、三点共线时取最小值．求直线的解析式，令得，故． 【详解】如图，作点  关于  轴的对称点 ，连接．  ， 对称点 ． 由轴对称性质：，  ． 当 、、 三点共线时， 最小． 设直线解析式为， 可得，解得， 直线解析式为， 令，可得， 当有最小值时，点的坐标为． 15. 如图，在等边中，，作，使，，则的长为_________． 【答案】4或 【解析】 【分析】分“点D在上方”和“点D在下方”两种情况进行分类讨论，通过构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解∶过点A作，垂足为E， ． 是等边三角形， ， ． ． ． 当在上方时，如图 ∴． ． 当在下方时，如图 ∴． ．． 或． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）6 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，四边形，，，，． （1）求的度数． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ 【小问2详解】 四边形的面积为：． 18. 直线与直线交于点， （1）求，的值； （2）若与轴的交点为，点为轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入，得，将点代入，得； （2）由题意与轴交点的坐标为，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 将点代入，得； ，． 【小问2详解】 由题意与轴交点的坐标为， ， ． ． 点的坐标为或． 19. 某超市欲招聘一名新员工，现有甲、乙、丙三人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三个方面的量化考核，他们的各项得分（百分制）如表所示： 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）若超市需要招聘负责将商品拆装上架的员工，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩．从成绩上看，应该录取谁？ （2）若超市需要招聘电脑收银员，且计算机、语言和商品知识得分分别不得低于80分、80分、70分，并按照、、的比例计入个人总分，请你说明谁会被录用？ 【答案】（1），，， ， 超市应该录取甲； （2）由题意可知，只有甲的语言成绩只有79分，不符合规定，甲先被淘汰； 乙的综合成绩为：， 丙的综合成绩为：， ，即． 按照超市规定，乙的成绩高于丙的成绩，甲被淘汰， 乙会被录用． 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的定义列式计算出甲、乙、丙的最终成绩，从而得出答案； （2）根据题意可得甲不符合录用要求，根据加权平均数的定义列式计算出乙、丙的最终成绩，从而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） （1）若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． （2）在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】（1）解：有三种展开方式，如图， ；；； （2）最短路线长度为，最快需要秒． 【解析】 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【小问1详解】 解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 【小问2详解】 解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 21. 如图，在平行四边形中，，对角线，将边延长至点，使，连接，，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，．则． 又， ． 四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形，可得四边形为平行四边形，即可得结论； （2）由（1）可证得，即可证得四边形是矩形，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，四边形为平行四边形， ，． 四边形为平行四边形， ． 又，， ， ． ，即． 为矩形． ． 在中，，， 由勾股定理：． 22. 城有水果，城有水果，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果，乡需要水果，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． （1）分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； （3）由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 【答案】（1），， （2）从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 （3）当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少， 【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出的函数关系式，根据题意列出不等式组求得的取值范围； （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，进而根据一次函数的性质，即可求解． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，结合一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：据题意得：， ． ， ． 【小问2详解】 设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， ，随的增大而增大， 由，且要求无吨调配，均大于且为整数， 当时，， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． 【小问3详解】 设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， 当，即时，随的增大而减小， 由，要运费最少，取最大值（保证城运往乡）． 当时，． 当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，． 23. 在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； （3）过点作交于点． ①如图2，求证：； ②如图3，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）证明：连接，如图， 四边形是正方形， ，． ， ， ，． ∵， ， ． ， ， ， ， ． （2）证明：如图，延长至点，使，连接． ， ， ． 又由（1）知， ， ， ． 为等腰直角三角形， ． （3）①证明：如图2，连接，过点作于点，于点． ， ∴四边形为矩形， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 由（1）知，又， ， ． ②结论： 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，．从而得到，即可解答； （2）延长至点，使，连接，证明，可得，从而得到为等腰直角三角形，即可解答； （3）①连接，过点作于点，于点，证明，可得，从而得到．由（1）知，又，可得，即可解答； ②连接，证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②结论：． 理由如下：如图3，连接． 四边形为正方形， ． 由①知， ，即． ， ， ． 由（1）知，， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点的横坐标为4，直线交轴于点，直线交轴于点．点是直线上的动点，点是平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形． （1）直接写出点的坐标为________，直线的解析式为_________； （2）当点在直线上，且以，为菱形的边时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出点的坐标； （4）若以或为菱形的对角线，直接写出符合条件的点，的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为时，点的坐标为；点的坐标为时，点的坐标为 （4）以为菱形的对角线时，点的坐标为，点的坐标为；以为菱形的对角线时，点与点重合，坐标为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入直线解析式求得的坐标，进而将的坐标代入直线解析式，即可求解； （2）先求得菱形的边长为，，为菱形的边时，，．设点的坐标为，则由勾股定理求的长度，进而可得，求得的值，即可求解； （3）根据菱形的性质结合点的平移，即可求解． （4）根据菱形的对角线互相平分，结合中点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点的横坐标为4，代入直线 ∴ ∴ 代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 【小问2详解】 ∵直线，直线 当时，， ∴， ∵，两点在轴上，故． 如图，，为菱形的边时，，． 设点的坐标为，则由勾股定理求的长度为： ， ， 即 解得，即或． 当时，，故； 当时，，故． 当时，点的坐标为或． 【小问3详解】 ∵菱形的边长，且 ∴当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时，点的坐标为． 【小问4详解】 设 如下图，以为菱形的对角线时， ∵， ∴的中点坐标为 点的坐标为， ∴ 解得： ∴点的坐标为； 以为菱形的对角线时， 点与点重合，坐标为， ∴的中点坐标为：即 ∴ 解得： ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业质量监测 年级数学试题 （本试题卷共6页24题，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形的两边长分别为3，5，则第三边长为（ ） A. 4 B. 4或 C. D. 4或 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 矩形的对角线相等 C. 平行四边形对边平行 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 对甲、乙、丙、丁四名运动员进行罚球线上投篮测试，每人投篮10组，每组投篮10次，四名运动员投篮10组命中的平均次数均为9，且他们的方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 1.56 0.60 0.40 2.50 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 9. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 在一条笔直的公路上有、两地，甲骑自行车从地到地；乙骑自行车从地到地，到达地后立即按原路返回地．如图是甲、乙两人离地的距离与行驶时间之间的函数图象．下列说法：①、两地距离是千米；②甲的速度为千米/时；③点的坐标为；④当甲、乙两人相距千米时，他们的行驶时间是小时或小时；其中说法正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 13. 在某次体检中，5名学生测量的收缩压数据（单位：）为104，110，106，128，123．这组数据的第三四分位数是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 15. 如图，在等边中，，作，使，，则的长为_________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，四边形，，，，． （1）求的度数． （2）求四边形的面积． 18. 直线与直线交于点， （1）求，的值； （2）若与轴的交点为，点为轴上的点，且，求点的坐标． 19. 某超市欲招聘一名新员工，现有甲、乙、丙三人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三个方面的量化考核，他们的各项得分（百分制）如表所示： 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）若超市需要招聘负责将商品拆装上架的员工，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩．从成绩上看，应该录取谁？ （2）若超市需要招聘电脑收银员，且计算机、语言和商品知识得分分别不得低于80分、80分、70分，并按照、、的比例计入个人总分，请你说明谁会被录用？ 20. 公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） （1）若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． （2）在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 21. 如图，在平行四边形中，，对角线，将边延长至点，使，连接，，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 22. 城有水果，城有水果，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果，乡需要水果，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． （1）分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； （3）由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 23. 在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； （3）过点作交于点． ①如图2，求证：； ②如图3，连接，直接写出与的数量关系． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点的横坐标为4，直线交轴于点，直线交轴于点．点是直线上的动点，点是平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形． （1）直接写出点的坐标为________，直线的解析式为_________； （2）当点在直线上，且以，为菱形的边时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出点的坐标； （4）若以或为菱形的对角线，直接写出符合条件的点，的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $