精品解析：湖北省宜昌市当阳市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

当阳市2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 估计的值在两个整数（　　） A. 3与4之间 B. 5与6之间 C. 6与7之间 D. 3与10之间 2. 下列各式计算错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 随的增大而减小 D. 不论取何值，总有 5. 如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是矩形时，平分 D. 当时，是正方形 6. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，甲小麦的方差是，乙小麦的方差是，则下列说法中正确的是（　　） A. 甲小麦的长势比乙小麦的长势整齐 B. 乙小麦的长势比甲小麦的长势整齐 C. 甲、乙两种小麦的长势相同 D. 无法确定两种小麦的长势更整齐 7. 如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将正比例函数（＞0）的图象向上平移一个单位长度，那么平移后的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片 中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为 ，设 与 交于点 ，连接 ．若，则 的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个大于2且小于4的无理数： ． 12. 如图，在正方形 的外侧，作等边，则的大小是___________． 13. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 14. 如图，在中，，于点D，，E是斜边 的中点，若，则___． 15. 一次函数与交于点A，有下列结论： ①关于x的方程的解为； ②关于x的不等式组的解集为； ③； ④若，则或 其中正确的结论是___．（填写序号） 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作： （1）测得 的长度为15米；（注：） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； （3）牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．（结果保留一位小数） 18. 如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上． （1）判断 的形状，并说明理由； （2）画出点关于直线 的对称点，连 ， ．直接写出为 ； （3）点 ，分别为边 ，上的动点，请找出点 ，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ． 19. “消防安全”是关系到每个人生命和财产安全的重要课题，了解并掌握消防安全知识，是我们在日常生活和工作中不可或缺的技能．某市消防部门为了了解市民家庭消防安全情况，决定对全市家庭做一次简单的随机抽样调查．从城区和郊区的市民中各随机抽取15名，就消防安全常识性知识进行测试（测试成绩满分100分）． 【收集数据】 城区市民：81，95，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，80，70，50， 郊区市民：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，45，82 【整理数据】城区和郊区抽取的市民测试成绩统计表： 城区市民（人） 1 5 8 1 郊区市民（人） 1 4 1 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 平均数 众数 中位数 方差 城区市民 77.6 80 88.37 郊区市民 75.2 75 91.36 【应用数据】根据以上数据信息，解决下列问题： （1）填空：___________，___________；___________； （2）根据以上数据，我认为___________市民“消防安全”知识的学习情况较好，（填“城区”或“郊区”），理由是___________；（一条理由即可） （3）若从该市城区随机抽取1000人参与消防安全常识性知识测试，请估计测试成绩优秀（成绩不低于80分为优秀）的人数． 20. 如图，在正方形 中，点E，F分别在上， ，垂足为M． （1）求证：； （2）若点N是 的中点，，，求的长． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）直接写出的长为 ___________； （2）请以为边，在图中画格点正方形； （3）在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5． 22. 某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示： 水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克） 哈密瓜 a 10 苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分 16 14 已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元． （1）求a，b的值； （2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）， ①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 23. 【问题背景】点 分别在正方形 的边上，，试判断之间的数量关系． （1）小云同学的思路是过点作，交 的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段 ， ，的数量关系为___________（直接写出结果）； 【变式迁移】 （2）如图2，在菱形 中，，点，分别在， 上，且，，若． ①求 的长； ②求 的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，．直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的 边在轴上，，经过点的直线与轴、轴分别交于点 ． （1）直接写出点坐标为___________，点的坐标为___________； （2）求经过点，且与直线平行的直线的函数解析式； （3）问直线上是否存在点 ，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在平面直角坐标系内确定点 ，使得以点 ，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当阳市2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 估计的值在两个整数（　　） A. 3与4之间 B. 5与6之间 C. 6与7之间 D. 3与10之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案． 【详解】解：∵25<30<36， ＜＜， 即：5＜＜6， ∴的值在5与6之间． 故选B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 2. 下列各式计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，涉及二次根式的乘法、化简及合并同类项等知识； 根据二次根式的性质和相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.，计算正确； B.，计算正确； C.，计算正确； D.，计算错误； 故选：D． 3. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】分别验证四组选项中的数据是否满足“两小边的平方的和等于最长边的平方”，即可判断直角三角形． 【详解】A. ，故能组成直角三角形； B. ，故不能组成直角三角形； C. ，故能组成直角三角形； C. ，故能组成直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．可通过验证两小边的平方的和是否等于最长边的平方来判断直角三角形． 4. 关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 随的增大而减小 D. 不论取何值，总有 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当 时，，此时 不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 5. 如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是矩形时，平分 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线定理，当时，可证明 垂直平分 ，则，再结合平行四边形的性质得到，据此可判断A；当时，则可证明，再结合平行四边形的性质可推出 为的中位线，则，即可证明，据此可判断B；根据矩形对角线互相平分得到，由三线合一定理即可判断C；当时，无法证明是正方形，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，∵E是 的中点， ∴ 垂直平分 ， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴是矩形，故A说法正确，不符合题意； 当时，∵E是 的中点， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴F为 的中点， ∴ 为的中位线， ∴， ∴， ∴是菱形，故B说法正确，不符合题意； C、当是矩形时，则， ∵E是 的中点， ∴平分，故C说法正确，不符合题意； D、当时，无法证明是正方形，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，甲小麦的方差是，乙小麦的方差是，则下列说法中正确的是（　　） A. 甲小麦的长势比乙小麦的长势整齐 B. 乙小麦的长势比甲小麦的长势整齐 C. 甲、乙两种小麦的长势相同 D. 无法确定两种小麦的长势更整齐 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，据此可得答案． 【详解】解：∵甲小麦的方差是，乙小麦的方差是，且， ∴乙小麦的长势比甲小麦的长势整齐， 故选：B． 7. 如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可 【详解】解：由题意可知：AC=AB ∵， ∴OA=8，OC=2 ∴AC=AB=10 在Rt△OAB中， ∴B(0，6) 故选：D 【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 8. 在平面直角坐标系中，将正比例函数（＞0）的图象向上平移一个单位长度，那么平移后的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位得到y=kx+1（k＞0）， ∵k＞0，b=1＞0， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选D． 考点：一次函数图象与几何变换． 9. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 10. 如图，在矩形纸片 中，，将其折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，设 与 交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由勾股定理可得，再由勾股定理可得，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形 是矩形， ， 由折叠的性质可得：， 为 的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个大于2且小于4的无理数： ． 【答案】 (答案不唯一）. 【解析】 【详解】试题解析：∵大于2且小于4的无理数为：＜x＜， ∴x可以为：x=（答案不唯一）． 考点：估算无理数的大小． 12. 如图，在正方形 的外侧，作等边，则的大小是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，根据等边三角形的性质得出，推出，，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形 是正方形， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、正方形的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 13. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 【答案】87.4 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 【详解】解：根据题意得 她的最后得分是为： （分）； 故答案为：87.4． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 14. 如图，在中，，于点D，，E是斜边 的中点，若，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角的计算和直角三角形斜边中线的性质可证明，即可求出，即为的长，再利用线段的和差可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∵E是斜边 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解本题的关键． 15. 一次函数与交于点A，有下列结论： ①关于x的方程的解为； ②关于x的不等式组的解集为； ③； ④若，则 或 其中正确的结论是___．（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点A代入两个函数关系式，可求出m，结合可求出k的范围，进而可判断②③；把转化为关于b和x的方程即可判断④． 【详解】解：∵一次函数与交于点A， ∴关于x的方程的解为；故①正确； ∵点A在上， ∴，解得， ∴的解集为， ∵函数过点A， ∴，即， ∵， ∴，关于x的不等式组的解集为；故②③正确； 若，则，即， 解得： 或6；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数与方程组的关系，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键掌握二次根式相关的运算法则． （1）先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可； （2）先展开，再算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作： （1）测得 的长度为15米；（注：） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为25米； （3）牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．（结果保留一位小数） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再加上 的长度，即可求出的高度． 【详解】解：由题意可知，在中，米，米， 由勾股定理得，米， 由题意可知米， 米， 答：风筝的高度为米． 18. 如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）画出点 关于直线 的对称点 ，连 ， ．直接写出为 ； （3）点， 分别为边 ， 上的动点，请找出点， 的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ． 【答案】（1）△ACB是直角三角形，理由见解析； （2）作图见解析，8； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案； （2）作出图形，利用三角形的面积公式可得答案； （3）先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，利用三角形的面积可得答案． 【小问1详解】 △ACB是直角三角形， ∵AC2=5，BC2=20，AB2=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形； 【小问2详解】 如图所示： △CDB的面积为：×CD×4=×4×4=8， 故答案为：8； 【小问3详解】 如图所示：先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短， ∵， ∴， ∴DQ=， ∴CP+PQ的最小值， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形． 19. “消防安全”是关系到每个人生命和财产安全的重要课题，了解并掌握消防安全知识，是我们在日常生活和工作中不可或缺的技能．某市消防部门为了了解市民家庭消防安全情况，决定对全市家庭做一次简单的随机抽样调查．从城区和郊区的市民中各随机抽取15名，就消防安全常识性知识进行测试（测试成绩满分100分）． 【收集数据】 城区市民：81，95，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，80，70，50， 郊区市民：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，45，82 【整理数据】城区和郊区抽取的市民测试成绩统计表： 城区市民（人） 1 5 8 1 郊区市民（人） 1 4 1 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 平均数 众数 中位数 方差 城区市民 77.6 80 88.37 郊区市民 75.2 75 91.36 【应用数据】根据以上数据信息，解决下列问题： （1）填空：___________，___________；___________； （2）根据以上数据，我认为___________市民“消防安全”知识的学习情况较好，（填“城区”或“郊区”），理由是___________；（一条理由即可） （3）若从该市城区随机抽取1000人参与消防安全常识性知识测试，请估计测试成绩优秀（成绩不低于80分为优秀）的人数． 【答案】（1）9；81；75 （2）城区，见解析 （3）600人 【解析】 【分析】（1）由数据表可得a的值，再把城区市民，郊区市民的数据按照从小到大的顺序排序，结合众数与中位数的概念可得答案； （2）根据平均数，众数，中位数的得分情况可得答案； （3）由总人数乘以不低于80分的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格信息可得：， 城区市民中81出现的次数最多 ∴众数， 郊区市民从小到大排列为45，70，70，74，74，75，75，75，76，79，80，81，81，82，91 ∴中位数； 【小问2详解】 我认为城区市民“消防安全”知识的学习情况较好，理由如下： 由统计表信息可得：城区市民消防安全常识性知识测试成绩的平均数，众数，中位数都好于郊区市民， 可推断出城区市民成绩较好一些； 【小问3详解】 （人） 从该市城区随机抽取1000人参与消防安全常识性知识测试，估计测试成绩优秀的约有600人． 【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息，平均数，中位数，众数，方差的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础统计知识是解本题的关键． 20. 如图，在正方形 中，点E，F分别在上，，垂足为M． （1）求证：； （2）若点N是的中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，．．，可得，从而可得结论； （2）求解，可得，，可得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵，，， ∴． ∴，． ∴． ∵，点N是的中点， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质，熟练的证明是解本题的关键． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）直接写出的长为 ___________； （2）请以为边，在图中画格点正方形； （3）在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5． 【答案】（1） （2） 如图所示，正方形即为所求， （3） 如图所示，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解， （2）根据正方形的性质，网格线的特点，即可求解， （3）连接点P与与的交点，并延长交于点Q，即为所求， 本题考查了，作图，勾股定理，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握网格线的特点． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得：， 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：正方形的面积为：， 正方形的面积的一半为：5 22. 某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示： 水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克） 哈密瓜 a 10 苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分 16 14 已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元． （1）求a，b的值； （2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）， ①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 【答案】（1），； （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）设哈密瓜进价 元/千克，苹果进价 元/千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）①根据利润=（售价-进价）数量，结合表格内容可分别求出，的解析式；②先表示出再利用一次函数性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设哈密瓜进价 元/千克，苹果进价 元/千克， 根据题意得：， 解得， ，； 【小问2详解】 ①设每天销售哈密瓜x千克， 根据题意得： 当，即时， 当，即时， ②根据题意，得，其中 当时，，不合题意 随得增大而增大 当时，得取得最小值 由题意，得 解得 得最大值为 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 23. 【问题背景】点分别在正方形 的边上，，试判断之间的数量关系． （1）小云同学的思路是过点 作，交 的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段， ，的数量关系为___________（直接写出结果）； 【变式迁移】 （2）如图2，在菱形 中，，点， 分别在 ， 上，且，，若． ①求 的长； ②求 的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，．直接写出 的长． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过点A作，交 的延长线于点．先证明，得到，，根据，，得到，进而证明，得到，即可证明； （2）如图2，连 ，过点A作于点．先证明为等边三角形，进而证明 ，得到，再利用线段的和差即可求出；②求出，根据勾股定理分别求出，，最后证明为等边三角形，即可得到； （3）由证明，进而可得是等边三角形，从而证明，可得，由此即可求出． 【详解】解：（1）如图1，过点A作，交 的延长线于点． ∵四边形 为正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：； （2）①如图2，连 ，过点A作于点． ∵四边形 为菱形， ∴，, ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴ ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，即： ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识，根据条件添加适当辅助线是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的 边在轴上，，经过点 的直线与轴、轴分别交于点． （1）直接写出点 坐标为___________，点 的坐标为___________； （2）求经过点 ，且与直线平行的直线的函数解析式； （3）问直线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在平面直角坐标系内确定点，使得以点， ， ，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）点 坐标为，点 坐标为 （2）经过点 ，且与直线平行的直线的函数解析式为 （3）点的坐标为或． （4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）设点C的坐标为，根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出，然后写出点D的坐标即可； （2）根据互相平行的直线的解析式的k值相等设出直线解析式为，然后把点D的坐标代入函数解析式求解即可； （3）根据直线解析式求出为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后判断出只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②时，作的垂直平分线与直线的交点即为点P2，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解； （4）根据平行四边形平行且对边相等，分、是对角线时，点M在x轴上，求出 的长度，然后写出点M的坐标， 是对角线时，利用平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形 的 边在轴上，， 设点C的坐标为， ∵点C在直线上， ∴， ∴， 即点C的坐标为， ∵四边形 是矩形， ∴，， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 解：设经过点D且与平行的直线函数表达式为， 将代入，得， ∴经过点D且与平行的直线函数表达式为； 【小问3详解】 解：存在．理由如下： ∵当 时，，即，而， ∴， ∴，而 ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形， 如图，①当时，延长与直线交于点， ∵点D的坐标为， ∴点的横坐标为1， 把代入得，， ∴点； ②当时，作的垂直平分线与直线的交点即为点， 所以，点的横坐标为， 把代入得，， 所以，点， 综上所述，符合条件的点P的坐标为或； 【小问4详解】 解： 由（3）可得：， ∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，如图， ∴若是对角线，则， ∴， 此时，点的坐标为， 若是对角线，则， ， 此时，点的坐标为， 若 是对角线，，，， 由平移可得点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为，，． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平移的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）（3）分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $