数列与导数大题 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列与导数核心题型，通过区域典型考题构建从概念应用到综合探究的逻辑训练体系，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|5题|等比数列证明、通项公式求法、前n项和、单调性判断|从定义证明到通项推导，再到求和与性质应用，形成完整问题链| |导数|5题|切线方程、单调性讨论、极值、零点问题、不等式证明|从几何意义到导数应用，覆盖导数工具性从基础到综合的递进逻辑|

2027届高考一轮复习数列与导数大题专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（25-26高二下·安徽·期末）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数． 2．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等比数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：． 4．（25-26高二下·福建福州·期末）已知等差数列中，，前8项和为80. (1)求的通项公式； (2)从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和. 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 6．（山东滨州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 7．（广东肇庆市2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测数学试题）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 8．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数在定义域上有三个零点，求a的取值范围； (3)若函数，求证：当时，存在（其中m，n为负整数），使得函数恒成立，且的最大值为. 9．（四川达州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值且极小值小于0，求的取值范围. 10．（广东河源中学2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试题）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有且只有两个零点，求实数a的取值范围 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考一轮复习数列与导数大题专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（25-26高二下·安徽·期末）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数． 2．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等比数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：． 4．（25-26高二下·福建福州·期末）已知等差数列中，，前8项和为80. (1)求的通项公式； (2)从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和. 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 6．（山东滨州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 7．（广东肇庆市2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测数学试题）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 8．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数在定义域上有三个零点，求a的取值范围； (3)若函数，求证：当时，存在（其中m，n为负整数），使得函数恒成立，且的最大值为. 9．（四川达州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值且极小值小于0，求的取值范围. 10．（广东河源中学2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试题）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有且只有两个零点，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高考一轮复习数列与导数大题专项训练》参考答案 1．(1)证明：由题意，数列满足，可得， 可得， 由，所以， 所以． 所以数列是首项为，公比为的等比数列； (2)99． 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，所以． 设数列的前项和为， 则． 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为99． 2．(1)， () (2) 【分析】（1）使用等差数列，等比数列的通项公式求解； （2）使用错位相减法求和. 【详解】（1）因为， 所以，① ，②， 则①②除以2得，②①除以2得. （2）由（1）知， ③， 两边同时乘以3得④， ③④得：， 即， 所以. 3．(1) (2) ，结合（1）得，则，                      因此 ，则，即数列是递增数列，               又，，所以． 【分析】（1）利用，结合已知求出公比，方法一，利用特值法求出，进而求出通项公式；方法二，利用等比数列前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和得，再借助单调性推理得证. 【详解】（1）由，得（），     两式相减得，则， 由数列是等比数列，得数列的公比为， 方法一：由，得，化简得 则，解得，所以数列的通项公式为. 方法二：由，得， ，解得， 所以数列的通项公式是. （2）略 4．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可； （2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，前8项和为80， 得； （2）因为， 所以由题意可知， 于是， 所以. 5．(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 6．(1) (2)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； (3)由（2）知，当，在上单调递减，在上单调递增； 所以， 要证，即证， 即证：， 因为，即证：， 令，所以， 且， 令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 所以恒成立，即成立，得证. 【分析】（1）利用导数与切线斜率关系即可求解； （2）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间． （3）结合（2）可知，从而将问题转化为证明，令，利用导数研究的最小值即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 所以， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若 ，则，此时在上单调递增， 若 ，则由得，当时， ，当时， ， 此时在上单调递减，在上单调递增. （3）略. 7．(1)极大值为，无极小值 (2)因为等价于，即， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即对任意恒成立， 所以． 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）分析可知原不等式等价于，令，，利用导数证明即可. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值． （2）略 8．(1) (2) (3)，则， 令，则， 令，则， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 又， ， 所以存在，使得，此时， 当时，，此时，所以在上单调递减， 当时，，此时，所以在上单调递增， 所以当时，存在，使得函数恒成立， 且时的最大值为. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得函数的图象在点处的切线方程； （2）求导判断的单调性，求得极值，进而利用与的图象有三个交点，可求得a的取值范围； （3）求导，令，利用二次导数，可判断在上单调递增，结合，，运算可证得结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即； （2）由（1）知， 令，得，解得或， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 当，，当，， 因为函数在定义域上有三个零点， 即与的图象有三个交点，所以， 所以a的取值范围是； （3）略. 9．(1)当时，单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导函数的区间符号，进而可得对应的单调区间； （2）由（1）及已知得，再构造相关函数并应用导数研究不等式恒成立，即可得参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时， 若，则，在上单调递减， 若，则，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述： 当时，单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）知，当时，函数才存在极小值，且极小值点为， 极小值为， 由题意知，即， 因为，， 构造函数，其中， 求导得恒成立，所以在上单调递增， 因为，所以要使，必须满足， 综上所述，的取值范围为. 10．(1) (2) 【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以曲线在处的切线斜率为 又所以切线方程为 （2） 由题知有且只有两个不相等的实数根， 即关于x的方程有且只有两个不相等的实数根. 令， 则 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线y=a有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $