精品解析：湖南省长沙市雅礼集团2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年上学期七年级期末检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在数学史上，无理数的发现推动了数学的进一步发展，下列实数中是无理数的是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列坐标表示的点在第三象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查长沙市中学生的睡眠时间 B. 要了解乘坐飞机的旅客是否携带违禁品 C. 要了解一批灯泡的使用寿命 D. 调查长沙市市民对“国家十五五规划”的知晓情况 4. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 直角三角形的两个锐角互余 6. 已知，那么下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，相交于点，于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下图是长沙2025年二十四节气日的白昼时长，下列表述错误的是（ ） A. 夏至白昼时长最长 B. 冬至白昼时长最短 C. 从立春到夏至，白昼时长持续增加 D. 从立秋到大寒，白昼时长持续减少 9. 已知不等式的所有解都是关于的不等式的解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的整数部分值为________． 12. 如图，已知，，，，则的度数为________． 13. 已知点在轴上，则的值为________． 14. 已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为________． 15. 某校七年级举行安全知识竞赛，共有20道选择题，每答对一题得5分，答错或不答都扣1分，已知一等奖得分不低于80分，那么至少要答对________道题，才能获得一等奖． 16. 如图，在中，，，，，点是斜边上的一动点，线段长度的最小值为，最大值为，则的值为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解二元一次方程组：． 19. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，将先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． （1）画出平移后的； （2）求的面积； （3）若点的坐标为，轴，试求出点的坐标． 21. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 25≤x＜35 6 0.1 35≤x＜45 12 0.2 45≤x＜55 a 0.25 55≤x＜65 18 b 65≤x＜75 9 0.15 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有 株． 22. 人教版（2024）七年级下册数学教材第94页有这样一个问题：“快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元?” （1）请列方程或方程组解答这个问题； （2）在（1）条件下，已知这名快递员星期三的送件和揽件总计160件，要使得报酬不低于280元，那么他至少揽件多少件？ 23. 已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的度数； （3）求证：． 24. 若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． （1）下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（ ） A． B．2，5，8 C．3，3，6 D．2，3，4 （2）已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； （3）已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 25. 综合与实践： 实验操作 如图1，将一把直尺放在一张长方形纸片上（），画直线，分别交，于，． （1）证明：； （2）分别作和的角平分线，相交于点，若的三个内角中，有一个角是另一个角的两倍，试求的度数； （3）在（2）的条件下，延长交于点，是线段上的一动点，连接，作的角平分线，再作的平分线．试探究，随着点的运动，的大小将发生怎样的变化？通过推理和计算说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期七年级期末检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在数学史上，无理数的发现推动了数学的进一步发展，下列实数中是无理数的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、1是整数，是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是有限小数，可化为分数，是有理数，故此选项不符合题意； D、是分数，是有理数，故此选项不符合题意． 2. 下列坐标表示的点在第三象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标为负，纵坐标为负，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标为负，纵坐标为负， ∴四个点中只有点在第三象限． 3. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查长沙市中学生的睡眠时间 B. 要了解乘坐飞机的旅客是否携带违禁品 C. 要了解一批灯泡的使用寿命 D. 调查长沙市市民对“国家十五五规划”的知晓情况 【答案】B 【解析】 【分析】全面调查适用于范围小、需精确结果或必须逐一检查的情况，而抽样调查适用于范围大、破坏性或成本高的情况，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项调查长沙市中学生睡眠时间，调查对象数量多，不需要绝对精准，适合抽样调查； B选项检查飞机旅客是否携带违禁品，事关航空安全，必须对所有旅客逐一检查，保证结果准确，不能采用抽样调查； C选项了解灯泡使用寿命，测试过程具有破坏性，适合抽样调查； D选项调查长沙市民对规划的知晓情况，调查对象范围大，适合抽样调查． 4. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 5. 如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 6. 已知，那么下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，∴，A选项成立，不符合题意； B、∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，不等式两边同时加，可得， ∴不成立，B选项符合题意； C、∵，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴，C选项成立，不符合题意； D、∵，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴可得，D选项成立，不符合题意． 7. 如图，直线，相交于点，于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得，根据，解答即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴； 8. 下图是长沙2025年二十四节气日的白昼时长，下列表述错误的是（ ） A. 夏至白昼时长最长 B. 冬至白昼时长最短 C. 从立春到夏至，白昼时长持续增加 D. 从立秋到大寒，白昼时长持续减少 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由统计图可得夏至白昼时长最长，原说法正确，不符合题意； B、由统计图可得冬至白昼时长最短，原说法正确，不符合题意； C、由统计图可得从立春到夏至，白昼时长持续增加，原说法正确，不符合题意； D、由统计图可得从立秋到大寒，白昼时长先减少后增加，原说法错误，符合题意. 9. 已知不等式的所有解都是关于的不等式的解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出含参数的不等式，再根据“的所有解都是该不等式的解”得到两个解集的包含关系，进而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的所有解都是关于的不等式的解， ∴， ∴． 10. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的整数部分值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 12. 如图，已知，，，，则的度数为________． 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】先设、交点为，利用三角形外角性质算出等于与的和，再根据两直线平行同位角相等，推出与度数相等，即可求出． 【详解】解：与交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴． 13. 已知点在轴上，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】在y轴上的点的横坐标为，列方程求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 14. 已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】将方程的解代入原二元一次方程，得到与的关系式，对所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 15. 某校七年级举行安全知识竞赛，共有20道选择题，每答对一题得5分，答错或不答都扣1分，已知一等奖得分不低于80分，那么至少要答对________道题，才能获得一等奖． 【答案】17 【解析】 【分析】根据竞赛得分答对的题数答错或不答的题数，根据得分不少于80分，列出不等式求解即可； 【详解】解：设要答对道题，则答错或不答道题， 由题意可得：， 解得：， 根据必须为整数，故取最小整数， 16. 如图，在中，，，，，点是斜边上的一动点，线段长度的最小值为，最大值为，则的值为________． 【答案】12.8 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，最小，利用面积法求出此时的值，即m的值；再由求出n的值，进而可求出的值． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P与点B重合时，最大， ∴线段长度的最大值为8，即， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由②得，③， 将③代入①中，得， 解得，， 将代入③中，得， ∴方程组的解为． 19. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解集的确定口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，将先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． （1）画出平移后的； （2）求的面积； （3）若点的坐标为，轴，试求出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据平移的方式找到点，，对应的点，，，再顺次连接即可； （2）利用割补法即可求解； （3）根据轴，则点与点的纵坐标相同，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵轴，， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或， 21. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 25≤x＜35 6 0.1 35≤x＜45 12 0.2 45≤x＜55 a 0.25 55≤x＜65 18 b 65≤x＜75 9 0.15 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有 株． 【答案】（1）15，0.3；（2）图形见解析；（3）72；（4）300. 【解析】 【详解】试题分析：（1）a=60-6-12-18-9=15，b=1-0.1-0.2-0.25-0.15=0.3；（2）根据（1）中a值可以补充完整；（3）利用360°×挂果数量在“35≤x＜45”的频率可以得到对应扇形的圆心角度数；（4）用1000×挂果数量在“55≤x＜65”的频率可以得出株数. 试题解析：（1）a=15，b=0.3；（2） （3）72；（4）300. 考点：1统计图；2频数与频率；3样本估计总体. 22. 人教版（2024）七年级下册数学教材第94页有这样一个问题：“快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元?” （1）请列方程或方程组解答这个问题； （2）在（1）条件下，已知这名快递员星期三的送件和揽件总计160件，要使得报酬不低于280元，那么他至少揽件多少件？ 【答案】（1）每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元； （2）80件. 【解析】 【分析】（1）设他每送一件货物报酬是x元，每揽一件货物的报酬是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该快递员这一天揽件m件，根据题意列一元一次不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 解：设这名快递员每送一件的报酬是元，每揽一件的报酬是元，依题意得 解得 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元. 【小问2详解】 解：设他揽件件，则送件件，依题意得 解得 答：他至少揽件80件． 23. 已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）； （3）证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； 【小问3详解】 略． 24. 若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． （1）下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（ ） A． B．2，5，8 C．3，3，6 D．2，3，4 （2）已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； （3）已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【答案】（1）D （2）22 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）用z表示，，根据三角形三边关系构造不等式组，求得解集，结合定义，求得正整数解即可； （3）根据定义，不等式组的整数解，三角形三边关系求解即可． 【小问1详解】 解：A．中，三个数都不是正整数，不符合要求； B．2，5，8中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； C．3，3，6中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； D．2，3，4中，三个数都是正整数，且，构成三角形，符合要求； 【小问2详解】 解： 得，， 得，，即， ∴， 解得 ∵，，构成“和雅三角形”， ∴， ∴， 解得， 又，为正整数， ∴正整数， ∴， ∴， ∴“和雅三角形”的周长为22； 【小问3详解】 解： 由①解得， 由②解得，， ∴， ∵所有整数解中存在“和雅三数组”， ∴不等式组的整数解中必包含5，6，7 ∴， ∴ ∵它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，又， ∴不等式组的最大整数解必小于11， ∴ ∴ ∴的取值范围为． 25. 综合与实践： 实验操作 如图1，将一把直尺放在一张长方形纸片上（），画直线，分别交，于，． （1）证明：； （2）分别作和的角平分线，相交于点，若的三个内角中，有一个角是另一个角的两倍，试求的度数； （3）在（2）的条件下，延长交于点，是线段上的一动点，连接，作的角平分线，再作的平分线．试探究，随着点的运动，的大小将发生怎样的变化？通过推理和计算说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴ 又∵， ∴； （2），，； （3）解：由（2）得， ①当点在线段上时，如图 ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 此时，的大小不发生变化，大小为． ②当点在线段上时，如图 ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． 此时，的大小不发生变化，大小为． 综上所述，当点在线段上运动时，大小为；当点在线段上运动时，大小为． 【解析】 【分析】（1）利用长方形对边平行得到同位角，再结合对顶角相等，通过等量代换即可证出两角相等． （2）由平行线同旁内角互补，结合角平分线推出中恒为，再分两种情况分类讨论：直角是锐角两倍、一个锐角是另一个锐角两倍，分别列式求出的三个合法度数． （3）依据角平分线定义拆分，分点在、两段讨论角的和差关系，分别代入固定直角计算，得到两种恒定不变的数值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴； ①当时，，， ②当时 ，， ③当或者时 ，，， 综上所述，度数为，，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $