第五周 第2天 函数的最大（小）值 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 2天 函数的最大(小)值今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. (重点) 3.会借助函数的单调性求最值. (难点) 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的最大值和最小值 ❓ 问题 1 如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.请标出三个图象的最高点. ❓ 问题 2 你是怎样理解函数图象最高点的？ 💡知识梳理 1、函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有___________； (2)∃x0∈D，使得___________. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有___________； (2)∃x0∈D，使得___________. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为___________. ⚠️ 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 📐角度1 图象法求函数的最值 🎯例1-1 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 图象法求最值的一般步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习1-1 已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值. 📐角度2 单调性法求函数的最值 🎯教材例题　已知函数f(x)=(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 🎯例1-2 已知函数f(x)＝x＋. (1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值． (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 反思 归纳 知识点2 探究生活中的实际问题 🎯教材例题 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)？ 🎯例2 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 求解实际问题的步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习2 某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m. 自学小结 函数的最大（小）值 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. (3)利用函数最值解决生活中的实际问题. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　) A．[0，3]　　　　　　　　　　 B．[－1，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，3] 3．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 4．已知函数f(x)＝. (1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数． (2)求x∈[0，3]时，f(x)的值域． 5．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划压缩生产某产品的成本.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 2天 函数的最大(小)值今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. (重点) 3.会借助函数的单调性求最值. (难点) 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的最大值和最小值 ❓ 问题 1 如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.请标出三个图象的最高点. 💬提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C. ❓ 问题 2 你是怎样理解函数图象最高点的？ 💬提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 💡知识梳理 1、函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. ⚠️ 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 📐角度1 图象法求函数的最值 🎯例1-1 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 【解】作出函数f(x)的图象，如图: 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值，为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值，为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 图象法求最值的一般步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习1-1 已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值. 【解】作出函数f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x=±1时，f(x)取最大值1. 当x=0时，f(x)取最小值0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 📐角度2 单调性法求函数的最值 🎯教材例题　已知函数f(x)=(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 【解】∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)===. 由2≤x1<x2≤6，得x2-x1>0，(x1-1)(x2-1)>0， 于是f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以，函数f(x)=在区间[2，6]上单调递减. 因此，函数f(x)=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4. 🎯例1-2 已知函数f(x)＝x＋. (1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值． 【解】(1)证明：设1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1， 所以x1x2－1＞0，所以＜0. 即f(x1)＜f(x2). 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2. (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 反思 归纳 知识点2 探究生活中的实际问题 🎯教材例题 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)？ 【解】画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有： 当t=-=1.5时，函数有最大值 h=≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m. 🎯例2 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 【解】(1)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*). (2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，y最大值＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，所得年利润最大，为156万元． 求解实际问题的步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习2 某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m. 【解】由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m).于是水流喷出的最高高度是 m. 答案： 自学小结 函数的最大（小）值 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. (3)利用函数最值解决生活中的实际问题. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 【解】因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)既无最大值又无最小值．故选D. 2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　) A．[0，3]　　　　　　　　　　 B．[－1，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，3] 【解】因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数y取得最小值为－1.当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3].故选D. 3．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 【解】由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，综上知a＝±2.故选C. 4．已知函数f(x)＝. (1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数． (2)求x∈[0，3]时，f(x)的值域． 【解】(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为－1＜x1＜x2， 所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0， 所以＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数． (2)由(1)的证明知，函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数． 因为[0，3]⊆(－1，＋∞)， 所以函数f(x)在[0，3]上是减函数． 所以函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(0)＝2，最小值是f(3)＝. 所以函数f(x)在[0，3]上的值域是. 5．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划压缩生产某产品的成本.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】(1)由题意可得W(x)=x∈N*， 所以W(x)=x∈N*. (2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+140x-400， 当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2 050(万元)； 当40<x≤100时，W(x)=-x-+1 700 =-+1 700≤-2+1 700 =1 580(万元)， 当且仅当x2=3 600，即x=60时，等号成立，即W(x)≤1 580(万元)，因为2 050>1 580， 故当该产品的年产量为35台时，所获利润最大，最大利润为2 050 万元. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $