精品解析：广东佛山市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

佛山第一中学2026年高二下学期期中考试 数 学 2026年5月 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式的第二项的二项式系数为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 4. 现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（ ） A. 243 B. 150 C. 90 D. 30 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 8. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面统计了某品牌新能源汽车2024年上半年的销售量（单位：万辆）的情况，如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售量万辆 7.3 8.4 9.4 10.2 10.1 若月销售量关于月份的经验回归方程为，则（ ） A. 月销售量与月份呈正相关 B. C. 样本的残差约为 D. 根据该模型，该品牌新能源汽车2024年8月销售量的预测值为11.52万辆 10. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下： 随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ） A. B. 若服从两点分布，，则 C. 若，则 D. 若实数为常数，则 11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 时，恒成立 B. 时，存在零点， C. 时，是的极值点 D. 若有3个零点，则a的范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量，若，则的值为______． 13. 直线是曲线的一条切线，切点坐标为______，实数______． 14. 某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，（），记. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和为. 16. 已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求n的值及二项式系数最大的项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答） 17. 一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为． （1）求； （2）求甲参赛总分X的分布列和数学期望． 18. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示. 等级 不合格 合格 得分 频数 6 x 24 y （1）若测试的同学中，分数在，，， 内女生的人数分别为2人，8人，16人，4 人，完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关? 等级 性别 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 （2）按比例分配的分层抽样方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求 X 的分布列及数学期望E(X). 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，使得成立，求整数的最小值； （3）若，讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山第一中学2026年高二下学期期中考试 数 学 2026年5月 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 则. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知、、成等差数列，由此可解得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 由等差数列的片段和性质可知、、成等差数列， 即，解得. 3. 的展开式的第二项的二项式系数为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式系数为. 故选：B. 4. 现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（ ） A. 243 B. 150 C. 90 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先将5个师范生分为3组，再分配给3位老师，再计算总安排方法数即可. 【详解】先把五个数学师范生分为三组，每组至少一名，有两种分法： 分法1：两组各1人，一组3人，分组数：（除以是因为两个1人组无顺序）， 分法2：两组各2人，一组1人，分组数：， 总分组数：. 将3组分配给3位老师，有种方法. 所以总安排方法数为. 故选：B． 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 6. 一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】A、根据条件概率得：，A选项正确； B、，B选项错误； C、由题得，，C选项正确； D、，故D正确． 故选：B. 7. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 8. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将在上存在极值，转化为在上有变号零点，再利用二次方程的判别式大于0求解即可. 【详解】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面统计了某品牌新能源汽车2024年上半年的销售量（单位：万辆）的情况，如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售量万辆 7.3 8.4 9.4 10.2 10.1 若月销售量关于月份的经验回归方程为，则（ ） A. 月销售量与月份呈正相关 B. C. 样本的残差约为 D. 根据该模型，该品牌新能源汽车2024年8月销售量的预测值为11.52万辆 【答案】ABD 【解析】 【分析】由回归方程可判断A；利用回归方程过样本中心点可求得判断B；当时，，可求样本的残差判断C；当时，可求判断D. 【详解】因为经验回归方程中，所以月销售量与月份呈正相关，故A正确． 易知，则，所以，解得，故B正确． 当时，，所以样本的残差约为，故C错误． 当时，，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下： 随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ） A. B. 若服从两点分布，，则 C. 若，则 D. 若实数为常数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据随机变量的生成函数定义，结合随机变量数学期望的求法，逐项判断即可. 【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确； 对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误； 对于C，，则生成函数为，所以C错误； 对于D，对于线性变换的生成函数，所以D正确. 故选：AD 【点睛】1、随机变量两点分布，则； 2、随机变量，则； 3、. 11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 时，恒成立 B. 时，存在零点， C. 时，是的极值点 D. 若有3个零点，则a的范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】代入特殊值，即可判断A，判断函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断B，利用导数判断导函数的单调性，以及最小值，即可判断C，参变分离得，构造函数，利用导数判断函数的单调性和值的趋向，转化为与的交点个数问题. 【详解】A.，，故A错误； B.，，所以单调递增， ，，所以存在零点，，故B正确； C.，，设，则，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，，即， 所以不是函数的极值点，故C错误； D.令，当时，，当时，得， 设，， 当或时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，， 当，，，，且恒成立， 时的最小值为， 所以与有3个交点，则，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量，若，则的值为______． 【答案】0.36 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性求解. 【详解】解：因为随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 所以， 所以． 故答案为：0.36 13. 直线是曲线的一条切线，切点坐标为______，实数______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值. 【详解】直线是曲线的一条切线， 设切点坐标为,因为， ，则，所以切点为， 故切线为， 即，故. 故答案为： ；0. 14. 某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立重复事件的概率计算求解. 【详解】包含两类：前3次都取到红球，或前3次取到2个红球和1个白球且第4次取到红球， 其概率为． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，（），记. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证是等比数列，求出，即可得出的通项； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 16. 已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求n的值及二项式系数最大的项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答） 【答案】（1），二项式系数最大的项为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的增减项即可得，进而利用通项即可求解； （2）利用赋值法令可得； （3）利用赋值法令即可求解. 【小问1详解】 由展开式中仅有第5项的二项式系数最大可知为唯一的最大，故， 则第5项为 【小问2详解】 令，则 【小问3详解】 令，则，与（2）中两式求和， 故 17. 一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为． （1）求； （2）求甲参赛总分X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 4 5 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率的乘法公式来求解，要根据甲参赛总分为分的情况进行分析，求的值， （2）需要考虑所有可能的取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据分布列求数学期望. 【小问1详解】 甲参赛总分为分有两种情况： 第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为）. 第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为）， 然后在第二阶段三场比赛全负（概率为）. 根据甲参赛总分为分的概率为，可列出方程： 先计算组合数，. 方程变为. 化简得.即. 因式分解得. 解得或，因为，所以. 【小问2详解】 甲参赛总分的可能取值为，，，，，. 包括：在第一阶段两场全输，概率为. 包括：在第一阶段一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段三场全输（概率为），所以. ：前面已求出为. 包括：在第一阶段两场全胜（概率为）， 然后在第二阶段一胜两负（概率为），此时. 也包括在第一阶段一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段两胜一负（概率为）.此时. 则. 包括：在第一阶段两场全胜（概率为）， 在第二阶段两胜一负（概率为），此时. 也包括在第一阶段一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段三场全胜（概率为），此时. 则. 包括：在第一阶段两场全胜（概率为）， 然后在第二阶段三场全胜（概率为），所以. 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 根据数学期望公式， 18. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示. 等级 不合格 合格 得分 频数 6 x 24 y （1）若测试的同学中，分数在，，， 内女生的人数分别为2人，8人，16人，4 人，完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关? 等级 性别 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 （2）按比例分配的分层抽样方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求 X 的分布列及数学期望E(X). 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，不能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本容量，再由数据表求出，列出列联表，计算并比对作答； （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知得分在的频率为， 所以抽取的学生答卷总数为，则，， 可得列联表为： 等级 性别 不合格 合格 总计 男生 14 16 30 女生 10 20 30 总计 24 36 60 零假设：性别与安全意识无关， 于是， 依据的独立性检验可知：零假设成立， 所以不能认为性别与安全意识有关． 【小问2详解】 “不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人， 可知X的可能取值为0，5，10，15，20，则有： ， ， 所以X的分布列为： X 0 5 10 15 20 P 期望． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，使得成立，求整数的最小值； （3）若，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2）1 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，通过导函数的正负求解函数的单调区间，进而求解函数极值； （2）首先分离参数可得：，然后令，利用导数求解的最大值，进而求得参数的最小值； （3）分、及三种情况，分别利用导数求解函数的单调性，然后利用零点存在定理判断每种情况下的零点个数即可. 【小问1详解】 若，得：，则有， 当时，，所以在为减函数； 当时，，所以在为增函数； 所以，当时，的极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 若，使得成立， 即，所以， 所以，令，则， 当单调递增，单调递减， 所以的最大值为， 所以，又因为，所以整数的最小值为1 【小问3详解】 由题意得， 令，可得 ①当时，， 所以，即在上单调递减， 又，所以当时，， 所以在为增函数； 当时，，所以在为减函数； 又，所以有唯一的零点， ②当时，， 因为，则在为减函数，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数； 当时，，所以在上减函数． 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 因为，所以．而， 所以使得在为减函数， 所以，得到存在两个零点. ③当，结合在为减函数 当时，，在为增函数； 当时，，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数． 又因为，所以只有一个零点； 综上所述：当或，函数有1个零点； 当函数有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $