第二章 有理数及其运算单元测试2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大版七年级上册第二章有理数单元卷，以生活、文化、科技情境为载体，覆盖概念、运算、应用等核心知识，通过基础巩固与创新探究结合，培养抽象能力、运算能力及应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、数轴、绝对值|结合干支纪年（文化）、阶梯水费（生活）考查概念应用| |填空题|5/20|绝对值最值、循环小数、逻辑推理|以航天纪念（科技）、圆环数字排列设计开放探究题| |解答题|5/50|有理数运算、新定义（基准变换点）|世界杯跑步情境融合方向与距离，定义新知题培养推理意识|

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 有理数及其运算 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）七年级上册第二章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果. 【详解】解：的相反数是. 2．小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵收入和支出是一对相反意义的量，题目中规定收入记为正数， ∴支出应记为负数， ∴此支出80元记作元． 3．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．原点一定在点右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 4．如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【答案】C 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 【详解】解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 5．检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 6．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 7．居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（   ） 天峨县城区供水价格表 一、居民生活用水 价格（元） 第一阶梯：月用水量立方米/户 3.99 第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户 5.44 第三阶梯：月用水量立方米/户 6.88 A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元 【答案】B 【分析】根据收费规则，列出算式进行计算即可. 【详解】解：（元）. 8．的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将这个数化简，再求倒数即可． 【详解】解：，而的倒数是． 9．衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键．信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，信号最强即为的绝对值最小， 各选项的绝对值分别为：， ∵， ∴的绝对值最小，信号最强， ∴信号最强的是． 10．兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 【答案】A 【分析】本题为环形行程问题，兔子方向保持不变，先计算兔子到达出发点的总时间，再计算第一次相遇的时间和位置，进而得到刺猬到达出发点的总时间，最后计算时间差即可． 【详解】解：∵兔子方向不变，跑道长550米，兔子速度为10米每秒， ∴兔子到达出发点的总时间为秒， ∵出发时二者反向，速度和为米每秒，相遇时路程和为一圈550米， ∴第一次相遇时间秒， 相遇时兔子跑了的路程为米，此时距离出发点还剩米，刺猬转身后与兔子同向，因此刺猬也需要跑50米才能到达出发点， ∵刺猬速度为1米每秒，转身之后不会再相遇（兔子速度更快，距离不断拉大），无需再次转身， ∴刺猬从相遇点到出发点的时间秒， ∴刺猬总时间秒， ∴时间差为秒． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 12．公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 【答案】8 【分析】根据循环小数的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得，第二个循环点必然是小数最后一位数字， ∵要使得到的循环小数最小，应使循环节的起始数字尽可能小， ∴将第一个循环点放在数字上，得到的循环小数最小，即， ∴二者之和为． 13．计算：________． 【答案】236898 【详解】解：原式． 14．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 15．甲、乙、丙三位同学组成乒乓球兴趣小组参加素质选修，约定活动规则如下：两人先打，输了的被另一人换下，赢了的继续打，下一次活动接着上一次进行．假设某段时间内甲打的场次为，乙打的场次为，丙打的场次为．若，显然有；若，通过探究部分情况，得到的最大值如表所示．当，时，进一步探究可得，的最大值为________，继续探究可知，的最小值为________． 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 … 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 … 的最大值 1 不存在 3 不存在 2 5 不存在 不存在 4 7 不存在 不存在 3 6 9 不存在 不存在 不存在 5 8 11 … 【答案】 16 8 【分析】根据数据找到规律进行计算即可． 【详解】解：观察表格，归纳规律： 观察题目所给表格中所有满足的数据： 当时，，对应的的最大值为8； 结合表格中其他完整数据（如等同类情形）可发现，当时，的最大值始终满足关系式：， 本题中，满足，符合上述规律的适用条件． 将数值代入公式得：， 故的最大值为16． 根据比赛规则，每场比赛有且仅有两人参加， 所以三人出场的总次数一定是偶数． 因为是偶数， 所以也必须是偶数． 根据＂输者换下＂的规则，任何一个人的出场次数都不能超过另外两个人出场次数的和，否则他无法通过正常的换人机制获得这么多上场机会． 所以必须满足：． 代入数据得：，解得． 综合以上两点，必须是大于或等于4的偶数，即可能为 虽然和满足上述计算条件，但还需要验证它们是否能实际排出合法的比赛顺序．我们观察题目给出的表格数据： 在表格中，当时，，且为偶数，这与本题，为偶数）的情况完全相同． 表格中这一组数据对应的的最大值为8，并且没有记录比8更小的可行数值．这说明当两人的出场次数差为4且总和为偶数时，和是无法排出合法比赛顺序的，而是可以实现的最小值． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 【答案】 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【分析】根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：某运动员以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 17．简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)34 (2) (3)1 【分析】（1）把除法化为乘法运算，再结合乘法运算律进行简便运算即可； （2）括号内利用分配律进行简便运算，再进一步计算即可； （3）把带分数化为假分数，再结合分配律进行简便运算，进一步计算除法运算，最后计算加法运算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 19．【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 【答案】（1）①2，；②③；（2）当点在点右侧时，点与点之间的距离为；当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 【分析】本题考查了代数式，数轴上两点之间的距离，理解互为基准变换点是解题的关键； （1）①根据互为基准变换点的定义求解即可； ②根据①中a，b两数可知，； ③根据②即可用含的式子表示． （2）先根据题意求出点表示的数，再根据③的结论即可求出点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，， 故答案为：2，． ②由①中的结论可知与之间的数量关系为， 所以． ③当时，． （2）解：由题意可得，点表示的数为． 因为点与点互为基准变换点， 点与点互为基准变换点， 由②可得点表示的数为． 当点在点右侧时，点与点之间的距离为． 当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 点与点之间的距离为或． 20．已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 有理数及其运算 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）七年级上册第二章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 2．小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．原点一定在点右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 4．如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 5．检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 6．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 7．居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（   ） 天峨县城区供水价格表 一、居民生活用水 价格（元） 第一阶梯：月用水量立方米/户 3.99 第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户 5.44 第三阶梯：月用水量立方米/户 6.88 A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元 8．的倒数是（    ）． A． B． C． D． 9．衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 10．兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 12．公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 13．计算：________． 14．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 15．甲、乙、丙三位同学组成乒乓球兴趣小组参加素质选修，约定活动规则如下：两人先打，输了的被另一人换下，赢了的继续打，下一次活动接着上一次进行．假设某段时间内甲打的场次为，乙打的场次为，丙打的场次为．若，显然有；若，通过探究部分情况，得到的最大值如表所示．当，时，进一步探究可得，的最大值为________，继续探究可知，的最小值为________． 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 … 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 … 的最大值 1 不存在 3 不存在 2 5 不存在 不存在 4 7 不存在 不存在 3 6 9 不存在 不存在 不存在 5 8 11 … 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 17．简便计算 (1) (2) (3) 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 19．【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 20．已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $