精品解析：福建省福清市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期八年级校内期末适应性练习 数学学科 （全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，， 即． 故选项中只有2符合． 故选：A． 2. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】A、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、=，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 3. 下列图象中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】解：由函数的定义可得选项A、B、D中的图像，y不是x的函数，故A、B、D不符合题意；选项C中的图像，y是x的函数，故C符合题意． 4. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合正八边形各外角相等的性质，用外角和除以边数计算出单个外角的度数． 【详解】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等， 正八边形的每一个外角的度数为． 5. 下列四组数中，为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】先判断三个数是否均为正整数，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答． 【详解】解：A ．，，，不是勾股数，本选项不符合题意； B．，，，不是勾股数，本选项不符合题意； C．，不是正整数，不是勾股数，本选项不符合题意； D ．，且5，12，13都是正整数，是勾股数，本选项符合题意． 6. 小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．（1）处若填，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知四边形是矩形，故A选项添加正确，不符合题意； B．（2）处若填，因为矩形的对边本身就相等，该条件无法判定矩形是正方形，应填等邻边相等的条件，故B选项添加错误，符合题意； C．（3）处若填，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知四边形是菱形，故C选项添加正确，不符合题意； D．（4）处若填，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知四边形是正方形，故D选项添加正确，不符合题意． 7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员分别进行了次射击训练，他们成绩的平均数都是环，他们成绩的方差分别为，，，．假如你是一名射击教练员，欲选一名运动员到省队参加集训，你认为最合适的队员是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【详解】解：四名运动员成绩的平均数都相同， 方差越小，成绩越稳定， ， 甲的方差最小，成绩最稳定， 最合适的队员是甲， 故选：A． 8. 若是的一次函数，其中，之间对应的部分数据如下表： 2 3 5 3 则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一次函数的解析式，再利用一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：设该一次函数解析式为 ∵当时，，当时，， ∴，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 9. 如图，在中，，，，以为边，在上方作菱形，使落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据菱形的对角线互相垂直可得，再利用等面积法求出的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10. 对于每个，函数取、中的较小值，若函数的最大值是，则、应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，可知的最大值出现在两个函数的交点处，联立方程组，求出交点坐标，令其纵坐标等于，即可求解． 【详解】解：、，函数取、中的较小值， 的最大值出现在两个函数的交点处， 联立方程组，得，解得， 即两函数图象的交点坐标为， 函数的最大值是， ， ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 计算：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 12. 将函数的图像向下平移3个单位长度，平移后所得函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图像的上下平移法则“上加下减”求解即可． 【详解】解：将函数的图像向下平移个单位长度，所得函数的解析式为，化简得． 13. 某中学数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表所示： 年龄／岁 12 13 14 15 人数 1 2 3 4 这10名同学年龄的平均数是_______岁． 【答案】 【解析】 【详解】解：这10名同学年龄的平均数是：（岁）． 14. 在中，若，则∠D为______度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，对边平行是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，，再结合，可得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45 15. 已知点和点在一次函数的图象上，当时，的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将点和点的坐标分别代入一次函数解析式，消去参数，得到与的关系式，再根据解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点和点在一次函数的图象上， 将两点坐标分别代入解析式得， 由①得，代入②得： 整理得 移项得 ∴． 16. 如图，在矩形中，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由折叠性质可得，，在中利用勾股定理及已知比例求出，从而判定为等腰直角三角形，得；利用矩形性质及平行线性质得，在中求出，进而由折叠性质得，求出及的长；在中求出，最后根据列方程求解即可  【详解】解：设， 由折叠性质得：，，， ∴， 在中，， 即， 由勾股定理得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，，，  ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ， 在中，，， ∴， ∵， ∴，   又∵， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题（本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 18. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE. 【答案】 证明：如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD， ∵BF=DE， ∴BF-OB =DE-OD， 即OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； ∴AF＝CE． 【解析】 【分析】连接AC交BD于点O，连接AE，CF，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 19. 如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． （1）求、之间的距离； （2）求这块四边形空地的面积． 【答案】（1）米 （2）种植草皮的面积为96平方米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 20. 随着“每日一节体育课”政策的落实，学生的体育锻炼需求大幅提升．某体育用品商家购进篮球和足球共100个进行销售，售出单个篮球可盈利25元，售出单个足球可盈利20元．设购进篮球x个，销售这批球获得的总利润为y元． （1）写出总利润y关于x的函数关系式； （2）若购进篮球的数量不超过足球的数量，该商家如何进货可获得最大总利润？并求出最大利润． 【答案】（1）（，且x为整数） （2）购进篮球50个，足球50个时可获得最大总利润，最大总利润为元 【解析】 【分析】（1）用含x的式子分别表示出篮球和足球的利润，二者求和即可得到答案； （2）根据购进篮球的数量不超过足球的数量列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（，且x为整数）； 【小问2详解】 解：∵购进篮球的数量不超过足球的数量， ∴， ∴， ∴，且x为整数 ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时， 答：购进篮球50个，足球50个时可获得最大总利润，最大总利润为元． 21. 为了解某校八年级一班和二班学生的一分钟跳绳水平，现从两个班中各随机抽取8名学生的跳绳成绩（单位：次）进行统计分析，数据如下： 一班：155 165 165 175 177 180 182 190 二班：168 170 172 172 176 178 180 185 （1）计算八年级一班跳绳成绩的四分位数； （2）请画出八年级一班学生跳绳成绩的箱线图，并通过对比两个班级的箱线图，判断哪个班级的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 【答案】（1），，； （2）八年级一班学生跳绳成绩的箱线图，如图： 八年二班的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据四分位数的求解方法求解即可； （2）根据题意画出图形，再根据图形比较即可． 【小问1详解】 解：中位数是第4、5个数的平均值： ， 下四分位数取前半段数据：155，165，165，175，为第2、3个数的平均值： ， 上四分位数取后半段数据：177，180，182，190，为第6、7个数的平均值： ， 所以一班四分位数：，，； 方法二： 下四分位数：位置， ，， ； 中位数：位置，，， ； 上四分位数：位置，，， ； 【小问2详解】 解：图略 由箱线图可知八年级一班箱体和须线比八年二班的长， 说明八年级一班的数据相对于八年级二班来说，更为分散，数据波动更大， 因此八年级二班的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，矩形的对角线相交于点，其中、两点分别位于轴、轴上． （1）若直线经过点，求直线的解析式； （2）若直线将矩形分为面积比为的两部分，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线经过点，再根据矩形的性质求解和的长，分两种情况讨论：①当直线与矩形的另外一个交点在上，②当直线与矩形的另外一个交点在上时，根据面积关系求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ，解得， ∴直线的解析式的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴于点，延长线交于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵当时，， ∴直线经过点， ∵，，即点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 分类讨论：①当直线与矩形的另外一个交点在上， 可知， ∴为中点， ∴， 将代入得，， 则； ②当直线与矩形的另外一个交点在上时， 可知， ∴为中点， 可得， 将代入得，， 则； 综上，的值为或． 23. 如图，在菱形中，，直线经过点但不经过点，． （1）作点关于直线的对称点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接并延长交直线于点，连接．求证：． 【答案】（1）如图，点即为所作； （2）如图，连接交直线l于点M，连接， ∵D、E关于直线l对称， ∴，，， 设， ∴， 在菱形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接交直线l于点M，连接，设，求得，证明是等边三角形，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 证明：略 24. 【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． （1）任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． （2）任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 （3）任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 【答案】（1）； （2）①这组数据的总误差为；②当时，这组数据的总误差取得最小值； （3）最优拟合模型利润更高． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先提取5组散点坐标：，，，，根据题意列式计算即可求解； ②利用二次函数的性质求解即可； （3）分小明模型和最优拟合模型两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入，得： ，解得， ∴这条直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①先提取5组散点坐标：，，，， ∵， ∴ ； ②∵， ∴开口向上， ∴最小值在时，取得最小值； 【小问3详解】 解：小明模型：，时， 预测备货量（杯）， 实际需求173杯， 备货170杯全部售出，利润（元）， 最优拟合模型：，， 代入， 得 ， 备货取整数176杯，实际需求173杯， 未售出（杯）， 则（元）， ， ∴最优拟合模型利润更高． 25. 在正方形中，是边上的点，过作于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图1，若，求证：点是的中点； （3）如图2，若为的中点，连接，当取最大值时，求的值． 【答案】（1）2 （2）证明：作于点，交于点，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即点是的中点； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合直角三角形的性质求解即可； （2）作于点，交于点，连接，证明是线段的垂直平分线，四边形是平行四边形，即可得到点是的中点； （3）延长到点，使，取的中点，连接，，，推出当共线时，有最大值，此时取最大值，连接交于点，得到共线，作于点，再利用等积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：延长到点，使，取的中点，连接，，， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 设正方形的边长为， ∵， ∴，， ∴， 当共线时，有最大值，此时取最大值，连接交于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合，即共线， 作于点， ∴，，， ∴在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级校内期末适应性练习 数学学科 （全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组数中，为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员分别进行了次射击训练，他们成绩的平均数都是环，他们成绩的方差分别为，，，．假如你是一名射击教练员，欲选一名运动员到省队参加集训，你认为最合适的队员是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 若是的一次函数，其中，之间对应的部分数据如下表： 2 3 5 3 则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在中，，，，以为边，在上方作菱形，使落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于每个，函数取、中的较小值，若函数的最大值是，则、应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 计算：__________________． 12. 将函数的图像向下平移3个单位长度，平移后所得函数的解析式为________． 13. 某中学数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表所示： 年龄／岁 12 13 14 15 人数 1 2 3 4 这10名同学年龄的平均数是_______岁． 14. 在中，若，则∠D为______度． 15. 已知点和点在一次函数的图象上，当时，的取值范围为________． 16. 如图，在矩形中，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点，若，则的长为________． 三、解答题（本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE. 19. 如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． （1）求、之间的距离； （2）求这块四边形空地的面积． 20. 随着“每日一节体育课”政策的落实，学生的体育锻炼需求大幅提升．某体育用品商家购进篮球和足球共100个进行销售，售出单个篮球可盈利25元，售出单个足球可盈利20元．设购进篮球x个，销售这批球获得的总利润为y元． （1）写出总利润y关于x的函数关系式； （2）若购进篮球的数量不超过足球的数量，该商家如何进货可获得最大总利润？并求出最大利润． 21. 为了解某校八年级一班和二班学生的一分钟跳绳水平，现从两个班中各随机抽取8名学生的跳绳成绩（单位：次）进行统计分析，数据如下： 一班：155 165 165 175 177 180 182 190 二班：168 170 172 172 176 178 180 185 （1）计算八年级一班跳绳成绩的四分位数； （2）请画出八年级一班学生跳绳成绩的箱线图，并通过对比两个班级的箱线图，判断哪个班级的学生跳绳成绩更集中、更稳定． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，矩形的对角线相交于点，其中、两点分别位于轴、轴上． （1）若直线经过点，求直线的解析式； （2）若直线将矩形分为面积比为的两部分，求的值． 23. 如图，在菱形中，，直线经过点但不经过点，． （1）作点关于直线的对称点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接并延长交直线于点，连接．求证：． 24. 【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． （1）任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． （2）任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 （3）任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 25. 在正方形中，是边上的点，过作于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图1，若，求证：点是的中点； （3）如图2，若为的中点，连接，当取最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $