精品解析：福建省福州福清市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期八年级校内期末质量检测 数学学科试卷 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须写在答题卡相应的位置上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若代数式有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于或等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故选：A． 2. 以下列长度的三条线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 2，3，5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2，3，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为2的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 4. 化简，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先计算出的结果，再根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 5. 学校准备准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 学校最终决定购买红色校服，其参考的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：因为全校学生中，喜欢红色校服的学生人数最多， 所以这组数据中，众数是红色， 所以学校决定购买红色校服，可用来解释这一决定的统计知识是众数， 故选：C． 6. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘除，根据二次根式的加减、二次根式的乘除的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在平行四边形中，点F是延长线上一点，连接交于点E，下列选项中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明，，与的大小关系， 故选：C． 8. 一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， A、图象不经过点，故不是一次函数图象，不符合题意； B、图象可能经过点，故可能是一次函数的图象，符合题意； C、图象不经过点，故不是一次函数的图象，不符合题意； D、图象不经过点，故不是一次函数的图象，不符合题意； 故选：B． 9. 在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质得到，，，得出是等腰直角三角形，再由得到，，最后在利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ∵正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知点，，，均在一次函数图象上，若，且，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由可得出与异号， 即随的增大而减小，再结合，可得出，对照四个选项后，即可得出结论，由，找出随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数图象上，且， ∴与异号， ∴随的增大而减小， 又∵，在一次函数图象上，且， ∴， ∴的取值可能是， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，共24分） 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简． 直接根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的代入求值，掌握正比例函数的性质是解题的关键．把点代入正比例函数解析式即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 13. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及平方差公式的应用，根据平方差公式即可求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 14. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则_____（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．根据图象判断即可． 【详解】解：由图像可知，甲的波动程度比乙小， ∴． 故答案为：． 15. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息， 0 1 2 1 5 9 则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式之间的关系，观察表格可知，y随着x增大而增大，且当时，，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知，y随着x增大而增大，且当时，， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点是对角线上的一个的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、垂线段最短、以及含角的直角三角形的性质．解题的关键是通过构造辅助线，将的最小值问题转化为点到直线的距离问题，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，自点A作，垂足为Q，交于点P， ∵， ∴， 又菱形对角线平分，则． ∴． 在上任取一点（不同于点P），连接， 同理可证：． ∵，即 ∴ 因此，点P是使可取得最小值的动点． ∵在直角三角形中，，则， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除，再化简二次根式，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 =1 18. 如图，在中，若，于点，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形和含30度角的直角三角形的性质解答的关键．根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：在中， ，， 在中 ． 19. 已知一次函数的图象经过和． （1）画出该一次函数的图象． （2）若点在直线上，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）先描出点和，然后画出一次函数图象即可； （2）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入函数解析式求出m的值即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：的图象经过和， ， ， ， 点在直线上， ． 20. 如图，在中，、分别是、边的中点． （1）尺规作图：作边上的中线（不写出作法，保留作图痕迹）； （2）连接，交于点，求证：点为的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查尺规作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质： （1）根据线段垂直平分线的作图方法解答； （2）根据三角形中位线的性质得到，证明四边形是平行四边形，由此得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，线段就是所求： 【小问2详解】 证明：是边上的中线， 点是边的中点， 点、分别是、边的中点， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分， 点为的中点． 21. 某校七、八年级学生参加禁毒知识竞赛（百分制）．为了解两个年级学生的禁毒知识答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级成绩的频数分布直方图如下： （数据分成五组：）； ．八年级成绩在的数据如下（单位：分）： c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76 75 八年级 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中___________（保留小数点后两位），___________； （2）下列推断合理的是___________； ①由表格数据可知，七年级数据的方差较小，由此可以推断该校七年级学生成绩更好； ②若七年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校七年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩85分及以上记为优秀，该校八年级有600名学生，估计八年级成绩优秀学生人数． 【答案】（1） （2）② （3）八年级优秀的学生数有400人 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数的计算，方差的意义，以及用样本估计总体的统计方法．解题的关键是从频数分布直方图和数据表格中提取有效信息，准确运用统计量的定义和计算方法进行分析与推断．​ ​（1）根据七年级各组频数和中点值，代入加权平均数公式即可求得m的值；八年级30人，中位数是第15、16个数据的平均数，据此即可确定n的值． （2）①方差小仅说明七年级成绩稳定，不能直接推断 “更好”（八年级平均分更高），故不合理．②七年级中位数 76 分，84 分＞76 分，说明超过一半学生成绩，故合理． （3）先计算八年级样本中 85 分及以上的优秀率，再以此比例估算总体（600 名学生）中的优秀人数，实现从样本到总体的推断． 【小问1详解】 结合七年级频数分布直方图，各组频数为：​有5人，有8人，有13人，有3人，有1人，各组中点值分别为 ，因此： 八年级共 30名学生，中位数是第15、16个数据的平均数．​由八年级频数分布直方图，​的频数共人，有12人，则第15、16个数据均在​组．​该组数据按从小到大重新排序后为：80、81、85、85、85、85、85、85、85、85、88、89，排序后第15、16个数据均为85，故． 故答案为：；85． 【小问2详解】 ①方差反映数据波动程度，方差小说明成绩更稳定，但不能直接推断 “成绩更好”（优秀率、平均分等需综合考量），故①不合理．​ ②七年级中位数为 76 分，84 分＞76 分，说明超过一半以上学生成绩，故②合理． 故答案为：②． 【小问3详解】 八年级30名学生中，中85及以上有10人，​为10人，竞赛成绩85分及以上共人．优秀率为​​，因此600名学生中优秀人数为：．​ 22. 初春时节，草莓飘香，某水果店根据销售经验购进奶油草莓与普通草莓共50千克，且普通草莓在数量不少于奶油草莓在，能恰好无损耗全部售出．现奶油草莓进价为26元/千克，普通草莓进价为20元/千克．奶油草莓销售单价为36元/千克，普通草莓销售单价为28元/千克，设奶油草莓有千克，全部售出两种草莓的总利润为元． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）该水果店应如何进货，可使两种草莓全部售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）购进奶油草莓40千克、普通草莓10千克，可使两种草莓全部售完后获得利润最大，最大利润是480元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，根据题意列出一次函数解析式，是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）先根据普通草莓在数量不少于奶油草莓在，列出不等式，求出，然后根据一次函数的增减性，求出结果即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， 由（1）可知，， ， 随着的增大而增大， 当时，（千克），（元）． 故购进奶油草莓40千克、普通草莓10千克，可使两种草莓全部售完后获得利润最大，最大利润是480元 23. 如图，直线与、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，联立方程组，则，可得点P的坐标； （2）依据题意，由直线与x轴交于点C，则，又直线与x于A点，可得，故，又M在直线上，则可设，结合，从而可分两种情形分析计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，联立方程组， 点的坐标为； 【小问2详解】 由题意，∵直线与x轴交于点C， ∴当时，， ∴． 又∵直线与x于A点， ∴当时，， ∴． ∴． ∵M在直线上， ∴可设． ∵， ∴M在P上方或在上． ①当M在P上方， ∴． ∴． ∴． ②当M在上， ∴． ∴． ∴． 综上，或． ． 24. 如图1，在中，为边上的高，上有一点，连接交于点，使得，且点为的中点，连接． （1）若，求证：； （2）求（用含的式子来表示）； （3）如图2，点为边的中点，连接交于点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜线的一半可得出，结合已知条件可得出． （2）取的中点，连接，先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等角对等边可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． （3）连接，由（2）结合对顶角相等得出，进而可得出，由等角对等边可得出，由（2）知，可得出，再得出为的中位线，，再判定四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，进一步即可得出． 【小问1详解】 证明：F为的中点， ，， ， ． 【小问2详解】 解：取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：连接， 由（2）知， ， ． 由（2）知， ， 又为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形判定和性质，三角形中位线有关的求解问题，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等整知识，综合性较强，掌握这些知识是解题的关键． 25. 折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达”三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的变换问题． 【操作发现】 如图1，在矩形中，按如下步骤操作： ①如图1—，第一次折叠矩形使与重合，与重合，展平纸片得到折痕； ②如图1—b，第二次折叠，点落在上，折痕与交于点； ③如图1—，第三次折叠，点与点重合； ⑤如图1—，展平纸片； （1）判断的形状，并说明理由； 【初步探究】 （2）在（1）的基础上，如图2，作的平分线交于点，连接，求证：； 【深入探究】 （3）在图2上补全图形，过点作的平行线，分别交于点，试判断的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠知，，垂直平分，得，得是等边三角形，得，得，即得是等边三角形； （2）由折叠知，得，由角平分线定义得，得，连接，过作于，于，得，由，得，得，得，得，得，即得； （3）由，可得四边形是矩形，推出，由，得，得，由，得，由，得，得，由，即得． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由：连接，如图， 由折叠知垂直平分， ，， ， 是等边三角形． ． ． 矩形中，， ． 由折叠可知，， 是等边三角形． （2）证明：由（1）可知，是等边三角形， ， 由折叠知， 矩形， ， ； 平分， ， ， 连接，过作于于，如图， ， 四边形为矩形， ； 平分， ， 又垂直平分， ． ． ， ． 即． 是等腰直角三角形． ． ． ． （3）解：，理由如下： 如图，在（2）的图中过点作的平行线，分别交于点， 在矩形中，， ， ， 四边形是矩形， ． 由（2）得，， ． 是等边三角形， ． ． 由（2）得， ． ． 在中，， ． 【点睛】本题考查了矩形折叠问题，熟练掌握矩形性质，折叠性质，等边三角形判定和性质，勾股定理，角平分线定义和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级校内期末质量检测 数学学科试卷 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须写在答题卡相应的位置上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 2，3，5 D. 1 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 4. 化简，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校准备准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 学校最终决定购买红色校服，其参考的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点F是延长线上一点，连接交于点E，下列选项中与相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，，均在一次函数图象上，若，且，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，共24分） 11. ___________． 12. 若正比例函数图象经过点 ，则_______． 13. 计算的结果是_____． 14. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则_____（填“”“”或“”） 15. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息， 0 1 2 1 5 9 则不等式的解集为___________． 16. 如图，在菱形中，，，点是对角线上的一个的动点，则的最小值为___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，若，于点，求的长度． 19. 已知一次函数的图象经过和． （1）画出该一次函数的图象． （2）若点在直线上，求的值． 20. 如图，在中，、分别是、边的中点． （1）尺规作图：作边上的中线（不写出作法，保留作图痕迹）； （2）连接，交于点，求证：点为的中点． 21. 某校七、八年级学生参加禁毒知识竞赛（百分制）．为了解两个年级学生的禁毒知识答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级成绩的频数分布直方图如下： （数据分成五组：）； ．八年级成绩在的数据如下（单位：分）： c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76 75 八年级 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中___________（保留小数点后两位），___________； （2）下列推断合理的是___________； ①由表格数据可知，七年级数据的方差较小，由此可以推断该校七年级学生成绩更好； ②若七年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校七年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩85分及以上记为优秀，该校八年级有600名学生，估计八年级成绩优秀的学生人数． 22. 初春时节，草莓飘香，某水果店根据销售经验购进奶油草莓与普通草莓共50千克，且普通草莓在数量不少于奶油草莓在，能恰好无损耗全部售出．现奶油草莓进价为26元/千克，普通草莓进价为20元/千克．奶油草莓销售单价为36元/千克，普通草莓销售单价为28元/千克，设奶油草莓有千克，全部售出两种草莓的总利润为元． （1）请直接写出与函数关系式； （2）该水果店应如何进货，可使两种草莓全部售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，直线与、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）点在直线上，若，求点的坐标． 24. 如图1，在中，为边上的高，上有一点，连接交于点，使得，且点为的中点，连接． （1）若，求证：； （2）求（用含的式子来表示）； （3）如图2，点为边的中点，连接交于点，求的值． 25. 折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达”三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的变换问题． 操作发现】 如图1，矩形中，按如下步骤操作： ①如图1—，第一次折叠矩形使与重合，与重合，展平纸片得到折痕； ②如图1—b，第二次折叠，点落在上，折痕与交于点； ③如图1—，第三次折叠，点与点重合； ⑤如图1—，展平纸片； （1）判断的形状，并说明理由； 【初步探究】 （2）在（1）的基础上，如图2，作的平分线交于点，连接，求证：； 【深入探究】 （3）在图2上补全图形，过点作的平行线，分别交于点，试判断的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$