精品解析：福建省泉州市 惠安县2025-2026学年下学期期末八年级综合练习卷 数学试题

2025-2026学年惠安下学期期末八年级综合练习卷数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式的值为零，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 2. 我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造了mm的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】四个象限的符号特点分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正，坐标符号为，且第二象限的坐标符号特征为， ∴点在第二象限． 4. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知的与的和，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，图中点、、分别是正方形中边、、上的中点，点、分别为、的中点．若正方形的边长为8，则“小三斜”的斜边的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形是矩形，得到，然后利用三角形中位线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8， ∴，，， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴． 6. 某单位食堂提供A、B、C三种品种午餐盒饭，其单价及销售有关数据如表所示，则这三种午餐盒饭的均价是（ ） 品种 A B C 单价/元 12 10 8 销售比例 A. 10.2元 B. 10元 C. 9.8元 D. 9.5元 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数公式，将各单价乘以对应销售比例后求和即可得到结果． 【详解】解：三种午餐盒饭的均价为：（元）． 7. 若x与y成反比例关系，当x变为原来的4倍时，y将会变为（　　） A. 原来的4倍 B. 原来的 C. 原来的2倍 D. 原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成反比例关系． 根据反比例关系的定义，y与x的乘积为常数，设，k为常数，当x变为原来的4倍时，计算新y值，与原y值比较即可． 【详解】解：∵y与x成反比例， ∴设（k为常数）． 当x变为时， ， ∴y变为原来的． 故选：B． 8. 若点，在直线上，则m与n的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据在一次函数中，，随的增大而增大，即可求出，的关系． 【详解】∵一次函数中， ∴随的增大而增大 又∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 10. 如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．以为斜边在上方作，使．若中，，大正方形的面积为26，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点Q，可得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理可得，从而得到，由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∵大正方形的面积为26， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11. 计算：_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，把两个分式的分子相加，然后分子与分母约分即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 一次函数的图象经过，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解的值． 【详解】解：将代入，得：，解得：． 14. 甲、乙两人都参加了某项目的五次测试，并将有关测试成绩制作如图所示的统计图，若甲、乙两人的成绩的方差分别用S、S表示，则的大小关系为S_____S．（填入“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】< 【解析】 【分析】先求解甲，乙的平均数，再根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断． 【详解】解：由折线图可知： 结合折线图可得：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小， 所以乙波动大，不稳定，方差大，即S＜S． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，若，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，点是斜边的中点， ∴． 16. 如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 计算：先化简，再求值．，其中． 【答案】化简结果为，原式的值为 【解析】 【分析】再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化简，最后代入的值计算即可．用到分式运算法则和因式分解的初中知识． 【详解】解：       ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可证得． 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形， ． 20. 近年来，惠安县大力推进文旅融合发展，带动本地文创产品热销．某文创店用960元购进A款惠女主题文创产品，用780元购进B款古城石雕主题文创产品，已知每件A款文创产品的进价比每件B款文创产品的进价多15元．若购进A、B两款产品数量相同，求A、B两款文创产品每件的进价． 【答案】A款文创产品每件进价为80元，B款文创产品每件进价为65元． 【解析】 【分析】利用“数量=总价÷单价”的关系，根据购进A、B两款文创产品数量相同建立等量关系，设未知数后列分式方程求解即可． 【详解】解：设每件B款文创产品的进价为元，则每件A款文创产品的进价为元． 由题意得，购进两款产品数量相同，因此列方程：， 方程两边同乘得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 此时， 答：A款文创产品每件进价为80元，B款文创产品每件进价为65元． 21. 北京时间2026年5月24日23时08分，我国成功发射神舟二十三号载人飞船，顺利将航天员送入太空，飞船精准进入预定轨道．为激发学生崇尚科学、发扬航天精神，某中学开展了“致敬神舟，逐梦太空”航天知识问答活动，现从七、八年级学生的知识问答测试成绩（总分100分）中，随机抽取10名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：91，97，72，89，60，74，100，80，92，98 八年级：90，94，70，90，85，75，95，80，93，97 某同学统计分析了两组知识问答测试成绩的四分位数，如下表． 分组 第一四分位数 中位数 第三四分位数 七年级 m 八年级 80 90 94 （1）根据提供数据，填写上表中数值：__________； （2）根据四分位数绘制七年级测试成绩的箱线图，并结合四分位数和箱线图谈谈你对七、八年级测试成绩分布情况的看法． 【答案】（1）74 （2）． 对七、八年级测试成绩分布情况的看法：①七、八年级中位数相同，但八年级第一四分位数高于七年级，说明八年级低分学生更少，整体成绩优于七年级；②七年级成绩的极差更大，成绩分布更分散，八年级成绩集中在中高分数段，整体成绩更整齐． 【解析】 【分析】（1）根据第一四分位数的定义求解即可； （2）先求出的值，据此画出箱线图，再结合四分位数和箱线图分析即可． 【小问1详解】 解：解法一：将七年级测试成绩从小到大进行排序为60，72，74，80，89，91，92，97，98，100， ∴第一四分位数为前5个数据的中位数，即． 解法二：将七年级测试成绩从小到大进行排序为60，72，74，80，89，91，92，97，98，100， ∵， ∴第一四分位数为从小到大进行排序的第3个数，即． 【小问2详解】 解：解法一：将七年级测试成绩从小到大进行排序为60，72，74，80，89，91，92，97，98，100， ∴第5个数和第6个数的平均数为中位数，即， 第三四分位数为后5个数据的中位数，即； 解法二：将七年级测试成绩从小到大进行排序为60，72，74，80，89，91，92，97，98，100， ∴第5个数和第6个数的平均数为中位数，即， ∵， ∴第三四分位数为从小到大进行排序的第8个数，即； 绘制七年级测试成绩的箱线图：略． 对七、八年级测试成绩分布情况的看法：略． 22. 阅读与理解 在研究一次函数（、为常数，且）的性质时，我们通过观察图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．其实，我们可以证明这一性质的正确性． 证明如下： 在一次函数的图象上任取两点、，不妨设．由题意，得，． （1） ， 以下分两种情况讨论： ①当时，，即，随的增大而 （2） ； ②当时，，即，随的增大而 （3） ． 可见，上述过程运用的数学方法主要包括数形结合、求差法．请你解答下面问题： （1）补充完整上述空格上内容； （2）对于函数： （ⅰ）写出此函数自变量的取值范围； （ⅱ）试证明：当时，函数值随的增大而减小． 【答案】（1）；增大；减小 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明：在函数的图象上任取两点、，不妨设， 由题意，得，． ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，函数值随的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）根据题意填空即可； （2）（ⅰ）根据分母不为零求解即可； （ⅱ）仿照题干中的方法证明即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：（ⅰ）∵函数 ∴ ∴； （ⅱ）略 23. 如图，矩形，是边上的一点． （1）若是边上的一点，将沿直线折叠，得到，使得经过点．利用尺规作出满足条件的；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，过点作，交于点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）先作射线，再在射线上截取，然后作的角平分线，交于点，连接即可； （2）先证出四边形是菱形，再求出的长，进而可得的长，利用菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由题意，画出图形如下： 连接，交于点， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴四边形的面积为． 24. 实践与探究 【问题提出】探究“三角形中位线”数学实践中，某实验小组通过观察与发现，运用“三角形中位线定理”，可以将任意三角形转化为与其面积相等的平行四边形（如图1所示）．基于此，小组继续深入探究． 【数学探究】对于一个凸四边形，能否利用图形的变换，转化为一个面积相等的平行四边形？ 探究一：如图2所示，取任意四边形四条边的中点，分别记为点、、、．按图示方式，通过图中三对三角形的旋转变换，重新构成一个新的四边形．对于四边形是否符合要求？经小组充分探讨后，提出还要完成下面问题，请你尝试解决． （1）证明：、、三点共线，且、、三点亦共线； （2）证明：四边形是平行四边形； 探究二：如图3所示，取四边形四条边的中点，分别记为、、、，连接对边中点构成线段，，将原四边形分割后，经过图形变换，亦可构成一个平行四边形． （3）若将图3中四边形改为等腰梯形，即满足，，且，则新构成的四边形的形状一定是_________．（填入：正方形或菱形或矩形） 【类比应用】如何将任意一个凸四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？ （4）请你在图4的四边形中，画出一个与其面积相等的矩形．（画图要保留痕迹，不必写画法与证明） 【答案】（1）证明：∵点是中点， ∴，旋转后与重合， ∴由以为旋转中心，旋转所得， ∴旋转得到， ∴、、三点共线， 同理可得：、、三点亦共线． （2）证明：由图形可知，由旋转所得， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）矩形 （4）如图，矩形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质及中点的定义得出由以为旋转中心，旋转所得，即可得出、、三点共线，同理可得、、三点亦共线； （2）根据图形可知，，，根据平角的定义得出，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）连接、，过点作，交于，由等腰梯形的性质得出，进而证明，得出，根据“三线合一”的性质得出，根据平行线的性质得出，可得，进而得出四边形是平行四边形，得出，根据平行线的性质，结合旋转的性质得出、、三点共线，、、三点共线，根据即可证明四边形是矩形； （4）分别作、、、的中点、、、，连接，分别作，，仿照（3）中旋转，所得四边形即为所求矩形． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：如图，连接、，过点作，交于， ∵四边形是等腰梯形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，、分别为、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、、三点共线， 同理，、、三点共线， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问4详解】 解：略 25. 正方形中，点，分别在边，上，连接，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为的中点，过作，垂足为，交于，连接． ①求证：； ②如图3，连接，过作于，交于点，若正方形的边长为2，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）如图所示，延长到点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，垂足为， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 的长为 【解析】 【分析】证明，即可得出； （2）①延长到点，使，连接，证明，得到，证明，得到，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明结论； ②延长，相交于点，延长，相交于点，连接，证明，得到，同理得到，证明，说明，根据等腰三角形的判定得到，根据勾股定理可求得，再利用等面积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ②如图所示，延长，相交于点，延长，相交于点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由是中点，同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理，得， ∵， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年惠安下学期期末八年级综合练习卷数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式的值为零，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造了mm的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，图中点、、分别是正方形中边、、上的中点，点、分别为、的中点．若正方形的边长为8，则“小三斜”的斜边的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 某单位食堂提供A、B、C三种品种午餐盒饭，其单价及销售有关数据如表所示，则这三种午餐盒饭的均价是（ ） 品种 A B C 单价/元 12 10 8 销售比例 A. 10.2元 B. 10元 C. 9.8元 D. 9.5元 7. 若x与y成反比例关系，当x变为原来的4倍时，y将会变为（　　） A. 原来的4倍 B. 原来的 C. 原来的2倍 D. 原来的 8. 若点，在直线上，则m与n的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 10. 如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．以为斜边在上方作，使．若中，，大正方形的面积为26，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11. 计算：_________． 12. 点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 一次函数的图象经过，则的值是___________． 14. 甲、乙两人都参加了某项目的五次测试，并将有关测试成绩制作如图所示的统计图，若甲、乙两人的成绩的方差分别用S、S表示，则的大小关系为S_____S．（填入“＞”、“＜”或“＝”） 15. 如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，若，则的长为___________． 16. 如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：先化简，再求值．，其中． 19. 如图，在中，．求证：． 20. 近年来，惠安县大力推进文旅融合发展，带动本地文创产品热销．某文创店用960元购进A款惠女主题文创产品，用780元购进B款古城石雕主题文创产品，已知每件A款文创产品的进价比每件B款文创产品的进价多15元．若购进A、B两款产品数量相同，求A、B两款文创产品每件的进价． 21. 北京时间2026年5月24日23时08分，我国成功发射神舟二十三号载人飞船，顺利将航天员送入太空，飞船精准进入预定轨道．为激发学生崇尚科学、发扬航天精神，某中学开展了“致敬神舟，逐梦太空”航天知识问答活动，现从七、八年级学生的知识问答测试成绩（总分100分）中，随机抽取10名学生的成绩（单位：分）如下： 七年级：91，97，72，89，60，74，100，80，92，98 八年级：90，94，70，90，85，75，95，80，93，97 某同学统计分析了两组知识问答测试成绩的四分位数，如下表． 分组 第一四分位数 中位数 第三四分位数 七年级 m 八年级 80 90 94 （1）根据提供数据，填写上表中数值：__________； （2）根据四分位数绘制七年级测试成绩的箱线图，并结合四分位数和箱线图谈谈你对七、八年级测试成绩分布情况的看法． 22. 阅读与理解 在研究一次函数（、为常数，且）的性质时，我们通过观察图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．其实，我们可以证明这一性质的正确性． 证明如下： 在一次函数的图象上任取两点、，不妨设．由题意，得，． （1） ， 以下分两种情况讨论： ①当时，，即，随的增大而 （2） ； ②当时，，即，随的增大而 （3） ． 可见，上述过程运用的数学方法主要包括数形结合、求差法．请你解答下面问题： （1）补充完整上述空格上内容； （2）对于函数： （ⅰ）写出此函数自变量的取值范围； （ⅱ）试证明：当时，函数值随的增大而减小． 23. 如图，矩形，是边上的一点． （1）若是边上的一点，将沿直线折叠，得到，使得经过点．利用尺规作出满足条件的；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，过点作，交于点，连接，若，，求四边形的面积． 24. 实践与探究 【问题提出】探究“三角形中位线”数学实践中，某实验小组通过观察与发现，运用“三角形中位线定理”，可以将任意三角形转化为与其面积相等的平行四边形（如图1所示）．基于此，小组继续深入探究． 【数学探究】对于一个凸四边形，能否利用图形的变换，转化为一个面积相等的平行四边形？ 探究一：如图2所示，取任意四边形四条边的中点，分别记为点、、、．按图示方式，通过图中三对三角形的旋转变换，重新构成一个新的四边形．对于四边形是否符合要求？经小组充分探讨后，提出还要完成下面问题，请你尝试解决． （1）证明：、、三点共线，且、、三点亦共线； （2）证明：四边形是平行四边形； 探究二：如图3所示，取四边形四条边的中点，分别记为、、、，连接对边中点构成线段，，将原四边形分割后，经过图形变换，亦可构成一个平行四边形． （3）若将图3中四边形改为等腰梯形，即满足，，且，则新构成的四边形的形状一定是_________．（填入：正方形或菱形或矩形） 【类比应用】如何将任意一个凸四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？ （4）请你在图4的四边形中，画出一个与其面积相等的矩形．（画图要保留痕迹，不必写画法与证明） 25. 正方形中，点，分别在边，上，连接，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为的中点，过作，垂足为，交于，连接． ①求证：； ②如图3，连接，过作于，交于点，若正方形的边长为2，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $