第07讲 有理数的混合运算（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材北师大版

第07讲 有理数的混合运算（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 有理数的混合运算 在小学，我们学习过四则混合运算。现在，我们将数的范围扩大到了有理数，并且学习了有理数的加、减、乘、除及乘方运算，那么在有理数混合运算中，运算顺序是怎样的呢？ 例如，如何计算呢？ 【知识点 有理数的混合运算】 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数的混合运算】 【例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 【变式1-1】计算 （1） （2） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-2】计算： （1）； （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 【题型2 算“24”点】 【例2】学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： （1）现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． （2）想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【变式2-1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 【变式2-3】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【题型3 运算顺序问题】 【例3】如图是一个数学游戏活动，，，，分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化，且每次游戏都要涉及，，，四种运算，运算过程中自己添加必要的括号．例如：经过，，，的顺序运算结果为：． （1）求经过，，，的顺序运算后的结果； （2）经过、、的顺序运算后，结果是，求被遮挡部分的运算顺序，并写出计算过程． 【分析】（）根据题意列出算式，然后根据有理数的运算法则和运算顺序即可求解； （）根据题意分如果被遮挡部分的运算顺序和如果被遮挡部分的运算顺序两种情况进行分析排除即可； 本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：如果被遮挡部分的运算顺序， 则 ， ∴与题意不符； 如果被遮挡部分的运算顺序， 则 ， ∴与题意相符； 故被遮挡部分的运算顺序． 【变式3-1】【新考向】在数学活动课上，李老师设计了一个游戏，四张卡片上分别写有一种运算，四张卡片的顺序可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，学生分成甲、乙两队，老师说一个数字，甲、乙两队分别任意排列四张卡片的顺序，然后按卡片的运算顺序进行运算，最终哪个队的运算结果大，哪个队获胜． 下面是四张卡片： 若老师说的数字是，甲队按照的顺序计算，乙队按照的顺序计算，请你判断哪个队获胜? 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意列式并求解，再比较大小，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，甲队运算为， 乙队运算为， ∵， ∴甲队获胜． 【变式3-2】小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... （1）当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； （2）当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）按照选择的顺序列式计算即可； （2）按照，两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是即可． 【详解】（1）解：由题意，算式为：， （2）解：若选择， 可得：， 若选择， 可得：， ∴小聪选择的顺序为． 【变式3-3】如图，现有A，B，C，D四个长方形卡片，某数学活动小组根据抽到的卡片顺序编制有理数混合运算题．例如：若抽取的卡片顺序为，则可列算式． （1）计算算式的结果； （2）若嘉嘉同学抽取的卡片顺序为，请列出算式并计算结果． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可； （2）先根据题意列出算式，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据题意列式如下： ． 【题型4 程序框图问题】 【例4】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 故答案为：1． 【变式4-1】如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 故答案为：9． 【变式4-2】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 故答案为：160． 【变式4-3】如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了程序图与有理数的运算，根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【详解】解：当输入x为时，，，将再次输入； 当输入的数为时，，，所以输出的结果为． 故答案为：． 【题型5 用计算器计算】 【例5】运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了计算器-基础知识，熟练了解按键的含义是解题的关键． 根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式：， 计算器显示的结果是：. 故答案为：，. 【变式5-1】用计算器计算的按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了用计算器计算有理数，有理数的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确计算器的按键顺序． 根据计算器的按键顺序，可得答案． 【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：． 故选：D． 【变式5-2】用计算器求的值按键错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查计算器的使用，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．根据计算器的各个功能按键，分别进行选择各键，即可得出答案． 【详解】解：A、B、D选项都是用计算器求的值，C选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-3】用计算器求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了用计算器进行计算，熟练掌握计算器的按键顺序，是解题的关键．根据计算器的按键方法，进行计算即可． 【详解】解：用计算器求的值的按键顺序是：    显示结果为， 所以． 故选：C． 【题型6 求近似数的精确度】 【例6】下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，根据精确度定义逐一判断选项即可，带计数单位的近似数需要还原后判断精确度． 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 故答案为：百． 【变式6-2】近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 故选：B． 【变式6-3】由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】根据用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看原近似数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 【详解】解：∵， ∴还原后的最后一个8在百位， ∴近似数精确到百位． 故答案为：百． 【题型7 求一个数的近似数】 【例7】把精确到百位的近似值是______． 【答案】 【详解】解：， ∴把精确到百位的近似值是． 故答案为：． 【变式7-1】宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【答案】1462 【分析】本题考查求一个数的近似数，精确到个位，需看十分位数字，十分位为5，向个位进1，据此作答即可． 【详解】解：． 故答案为：1462． 【变式7-2】精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准要观察的尾数数位，当尾数最高位数字小于5时直接舍去，大于或等于5则向前一位进1后舍去尾数． 【详解】解：要将精确到百分位，即保留小数点后两位，需看千分位上的数字． ∵的千分位数字是4，且， ∴直接舍去千分位及后面的数字，得到． 故选：C． 【变式7-3】把38.964精确到十分位的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数； 精确到十分位即保留一位小数，依据百分位上数字的大小，运用四舍五入法取近似值即可． 【详解】解：把精确到十分位的结果是． 故答案为：． 【题型8 由近似数推断取值范围】 【例8】近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 【变式8-1】某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 【变式8-2】一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据近似数确定原数的取值范围，确定五入的最小值和四舍的最大值，从而得到这个三位小数的取值范围，进而可得到答案． 【详解】解：∵一个三位小数，“四舍五入”后约是， ∴这个三位小数要大于或等于，且要小于， ∴这个三位小数最大是， 故答案为：． 【变式8-3】车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” （1）图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ （2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 【题型9 有理数混合运算的应用】 【例9】如图①，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4cm，卷纸环的厚度是4cm，高度是10cm． （1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）如图②，纸箱里面三层正好可放入36卷卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方分米？ （3）此品牌卷纸还有一种无芯包装，如图③，如果图①的卷纸每包3元，图③的卷纸每包2.5元，它们的纸质相同，你觉得买哪一种包装的卷纸更划算？请通过计算说明． 【分析】本题主要考查圆柱体积、侧面积公式的应用． （1）利用圆柱的侧面积公式：计算即可； （2）根据图示可知，该纸箱的长是（厘米）、宽是（厘米）、高（厘米），利用长方体体积公式：计算其容积即可； （3）计算两种纸的体积，比较1元分别能买的数量，即可得出结论． 【详解】（1）（平方厘米） 答：制作中间的硬纸轴需要125.6平方厘米的硬纸板． （2） （立方厘米） 51840立方厘米立方分米． 答：这个纸箱的容积至少是51.84立方分米． （3）（厘米） （厘米） （立方厘米） （立方厘米） ，， ． 答：买图①包装的卷纸更划算． 【变式9-1】如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为厘米，中间有一个直径为6厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸展开后大约是多少米？（得数精确到小数点后一位小数，取） 【分析】本题考查了含乘方有理数的混合运算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先各自算出大小圆的半径，代入圆的面积公式，求出其面积差，除以厚度，换算单位即可． 【详解】解：根据题意可得这卷纸展开后大约是：（厘米）， ∵厘米=米米， ∴这卷纸展开后大约是米． 【变式9-2】底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 【分析】先求出圆柱形水桶中的水的容积和2个杯子的容积，用水桶的容积减去2个水杯的容积除以长方体容器的底面积就可以求出结论， 【详解】解：水的体积为， 2个杯子的容积， 剩下的水的体积为， 长方体的底面积为：， ∴长方体容器内水的高度， 【变式9-3】中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米．（备注：，结果保留） （1）营养舱的高度为__________厘米，底面半径为__________厘米； （2）求该微型种植舱模型的体积． 【分析】本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，含乘方的有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算得营养舱的高度为20厘米，结合圆周长公式进行列式计算，得底面半径为30厘米，即可作答． （2）分别算出圆柱的体积，圆锥的体积，再相加，即可作答． 【详解】（1）解：∵总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的， ∴（厘米）， ∵生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米． ∴（厘米）， 即营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； （2）解：由（1）得营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； ∴圆柱形生长舱的高度为（厘米）， 则（立方厘米）， ∴该微型种植舱模型的体积为立方厘米． 模块三 课后作业 1．长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求近似数． 依据四舍五入规则，将数精确到（即十分位），通过观察百分位数字进行取舍即可． 【详解】解：∵的百分位数字为2，且， ∴根据四舍五入规则，舍去百分位及后续数位的数字，得到结果为． 故选：B． 2．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 3．用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据按键顺序列出式子，计算即可，熟知科学计算器，熟练进行运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可列出式子， 故答案为：． 4．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 5．下列问题中的数据，哪些是近似数？哪些是准确数？ （1）某年我国国民经济增长； （2）一星期有7天； （3）检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌约8亿个； （4）我国古代有四大发明； （5）某校有36个班级； （6）小明的体重是． 【分析】本题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数．根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：某年我国国民经济增长，其中是近似数． （2）解：一星期有7天，其中7是准确数． （3）解：检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌约8亿个，其中8亿是近似数． （4）解：我国古代的四大发明，其中四是准确数． （5）解：某学校有36个班级，其中36是准确数． （6）解：小明的体重是，其中是近似数． 6．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： （1）（精确到）； （2）（精确到十分位）； （3）（精确到千分位）； （4）（精确到个位）； 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到十分位）； （3）解：（精确到千分位）； （4）解：（精确到个位）． 7．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 8．学习小组研究怎样用一张正方形的纸做一个尽可能大的无盖长方体形的盒子小明和小玲都用边长为的正方形纸做实验，小明剪去的小正方形边长为，小玲剪去的小正方形边长为，小明说：“我剪去的小正方形边长小，我制作的无盖长方体盒子的容积肯定比你的大”小玲说：“我认为我制作的无盖长方体盒子的容积大”你同意谁的说法？说明理由．    【分析】本题主要考查了有理数混合计算的实际应用，分别计算出小明和小玲的长方体盒子的容积即可得到答案． 【详解】解：同意小玲的说法，理由如下： 小明制成的长方体盒子的容积为， 小玲制成的长方体盒子的容积为， ∵， ∴同意小玲的说法． 9．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 （1）若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； （2）若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及24点，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简卡片上的数，再选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可． （2）从化简后的数中选取4张，通过四则运算（含括号）组合，构造结果为24或的运算式． 【详解】（1）解：，，，，， 因为上面5个数都是整数， 所以要从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，运算结果的最小，则应当选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可，与， 运算结果的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， 故算式可以为：和（答案不唯一）． 10．如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为，随后，甲同学将按的顺序进行运算，列式为． （1）计算：； （2）当乙同学想的有理数为2时，甲同学按_____→_____——的顺序进行运算，列式运算的结果为，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）分两种情况，结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：若选择的顺序可得： ； 若选择的顺序可得： ； 故甲同学选择的运算顺序为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的混合运算（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 有理数的混合运算 在小学，我们学习过四则混合运算。现在，我们将数的范围扩大到了有理数，并且学习了有理数的加、减、乘、除及乘方运算，那么在有理数混合运算中，运算顺序是怎样的呢？ 例如，如何计算呢？ 【知识点 有理数的混合运算】 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数的混合运算】 【例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1-1】计算 （1） （2） 【变式1-2】计算： （1）； （2） 【变式1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2 算“24”点】 【例2】学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： （1）现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． （2）想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【变式2-1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【变式2-3】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【题型3 运算顺序问题】 【例3】如图是一个数学游戏活动，，，，分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化，且每次游戏都要涉及，，，四种运算，运算过程中自己添加必要的括号．例如：经过，，，的顺序运算结果为：． （1）求经过，，，的顺序运算后的结果； （2）经过、、的顺序运算后，结果是，求被遮挡部分的运算顺序，并写出计算过程． 【变式3-1】【新考向】在数学活动课上，李老师设计了一个游戏，四张卡片上分别写有一种运算，四张卡片的顺序可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，学生分成甲、乙两队，老师说一个数字，甲、乙两队分别任意排列四张卡片的顺序，然后按卡片的运算顺序进行运算，最终哪个队的运算结果大，哪个队获胜． 下面是四张卡片： 若老师说的数字是，甲队按照的顺序计算，乙队按照的顺序计算，请你判断哪个队获胜? 【变式3-2】小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... （1）当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； （2）当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【变式3-3】如图，现有A，B，C，D四个长方形卡片，某数学活动小组根据抽到的卡片顺序编制有理数混合运算题．例如：若抽取的卡片顺序为，则可列算式． （1）计算算式的结果； （2）若嘉嘉同学抽取的卡片顺序为，请列出算式并计算结果． 【题型4 程序框图问题】 【例4】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【变式4-1】如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【变式4-2】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【变式4-3】如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 【题型5 用计算器计算】 【例5】运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 【变式5-1】用计算器计算的按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】用计算器求的值按键错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】用计算器求的值． 【题型6 求近似数的精确度】 【例6】下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【变式6-1】近似数万精确到____________位． 【变式6-2】近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【变式6-3】由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【题型7 求一个数的近似数】 【例7】把精确到百位的近似值是______． 【变式7-1】宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【变式7-2】精确到百分位是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】把38.964精确到十分位的结果是____． 【题型8 由近似数推断取值范围】 【例8】近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【变式8-3】车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” （1）图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ （2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【题型9 有理数混合运算的应用】 【例9】如图①，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4cm，卷纸环的厚度是4cm，高度是10cm． （1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）如图②，纸箱里面三层正好可放入36卷卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方分米？ （3）此品牌卷纸还有一种无芯包装，如图③，如果图①的卷纸每包3元，图③的卷纸每包2.5元，它们的纸质相同，你觉得买哪一种包装的卷纸更划算？请通过计算说明． 【变式9-1】如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为厘米，中间有一个直径为6厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸展开后大约是多少米？（得数精确到小数点后一位小数，取） 【变式9-2】底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 【变式9-3】中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米．（备注：，结果保留） （1）营养舱的高度为__________厘米，底面半径为__________厘米； （2）求该微型种植舱模型的体积． 模块三 课后作业 1．长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 2．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为______． 4．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 5．下列问题中的数据，哪些是近似数？哪些是准确数？ （1）某年我国国民经济增长； （2）一星期有7天； （3）检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌约8亿个； （4）我国古代有四大发明； （5）某校有36个班级； （6）小明的体重是． 6．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： （1）（精确到）； （2）（精确到十分位）； （3）（精确到千分位）； （4）（精确到个位）； 7．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 8．学习小组研究怎样用一张正方形的纸做一个尽可能大的无盖长方体形的盒子小明和小玲都用边长为的正方形纸做实验，小明剪去的小正方形边长为，小玲剪去的小正方形边长为，小明说：“我剪去的小正方形边长小，我制作的无盖长方体盒子的容积肯定比你的大”小玲说：“我认为我制作的无盖长方体盒子的容积大”你同意谁的说法？说明理由．    9．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 （1）若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； （2）若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 10．如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为，随后，甲同学将按的顺序进行运算，列式为． （1）计算：； （2）当乙同学想的有理数为2时，甲同学按_____→_____——的顺序进行运算，列式运算的结果为，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $