第04讲 有理数的加减运算（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材北师大版

第04讲 有理数的加减运算（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+4个知识归纳+11个题型+课后作业】 模块二 有理数的加减运算 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分。每个参赛队的基本分均为0分．“加1分、扣1分，得0分”“扣1分、加1分，得0分”可以分别用如下算式表示： （+1）+（-1）=0；（-1）+（+1）=0． 第一环节和第二环节各有5道题．三个参赛队在前两个环节的得分情况见下表，你能把下表补充完整吗？你是怎么做的？ 【知识点1 有理数加法法则】 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 【知识点2 有理数加法运算律】 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 【知识点3 有理数减法法则】 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 【知识点4 有理数加减混合运算】 1. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【题型1 有理数的加法运算】 【例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可； （2）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （3）根据一个数与0相加，仍得这个数计算即可； （4）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （5）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （6）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式 ； （6）解∶原式 ． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A． 【变式1-2】计算： （1）； （2）． 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了有理数的加法： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2 有理数加法在生活中的应用】 【例2】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【分析】先用正、负数表示出个数，再相加，据此分别求出小丽、小彬抽取扑克牌的数字和，然后比较即可解答． 【详解】解：由题意可得： 小丽抽到的数字之和为， 小彬抽到的数字之和为， ∵， ∴小丽获胜． 【变式2-1】某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 故选：A． 【变式2-2】手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），则她当天微信零钱的最终收支应表示为（    ） 转账-来自小明 微信红包-发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负数表示收支的规则，计算所有收支的和即可得到最终结果． 【详解】解：根据题意，收入记为正，支出记为负， 将所有收支相加得 因此最终收支结果表示为． 故选：B． 【变式2-3】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， （1）问地在地何处，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【分析】（1）求出8个记录的代数和，即可得出答案； （2）求出8个记录的绝对值的和，再乘以0.2即可得出答案． 【详解】（1）解：（千米）， ∴地在地南边，相距117千米； （2）解：（千米）， （升）， 答：这一天共耗油57升． 【题型3 有理数的减法运算】 【例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3-1】计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则计算即可．有理数减法法则为：减去一个数等于加上这个数的相反数． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3-2】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将原式转化为加法计算即可得到结果． 【详解】解：． 故选：D． 【变式3-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算． （1）去括号，把减法转化成加法计算即可． （2）去括号，把减法转化成加法计算即可． （3）直接进行运算即可． （4）直接进行运算即可． （5）直接进行运算即可． （6）去括号，把减法转化成加法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【题型4 有理数减法的实际应用】 【例4】某市2026年春节连续四天的天气预报信息如表所示，其中日温差最大的一天是（    ） 2月16日（除夕） 2月17日（春节） 2月18日（初二） 2月19日（初三） 晴 西北风级 多云 北风级 阴 北风级 阴 北风级 A．2月16日 B．2月17日 C．2月18日 D．2月19日 【答案】C 【分析】日温差为当日最高气温减去当日最低气温，计算出四天的日温差后比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 日温差最高气温最低气温 ∴ 分别计算四天的日温差： 2月16日：， 2月17日：， 2月18日：， 2月19日：， ∵ ， ∴ 2月18日的日温差最大． 故选：C． 【变式4-1】山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际意义，以800米为基准，高于基准记为正，低于基准记为负，计算黄河口海拔与基准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵ 题目规定将太原市平均海拔800米记作0米，即基准为800米，高于基准记正，低于基准记负， 又∵ 运城市垣曲县黄河口实际海拔为180米， ∴ 米， 因此运城市垣曲县黄河口海拔可记作米． 故选：C． 【变式4-2】唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、白居易等为我们留下了不朽的篇章．杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年，那么李白出生于公元701年记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】依据正数和负数是一组具有相反意义的量，先判断出本题以公元712年为基准，据此即可求出答案． 【详解】解：∵杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年， ∴本题以公元712年为基准，晚于712年记为正，早于712年记为负． ∵， ∴李白出生于公元701年记作年． 故选：C． 【变式4-3】某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 （1）表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈利还是亏损，金额是多少． （2）请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； 答：星期五的盈亏数为，星期五是亏损，金额8元 （2）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元． 【题型5 有理数的加减混合运算】 【例5】计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式5-1】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 故选：A． 【变式5-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解； （3）根据有理数的加减简便运算可进行求解； （4）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式5-3】计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型6 简便运算】 【例6】计算： 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 【变式6-1】计算：． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各组结果并求和． 【详解】解：原式 ． 【变式6-2】计算：． 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法运算律，根据有理数的加减运算法则及运算律计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式6-3】计算： 【分析】本题考查的是有理数的加减法混合运算．掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键． 把小数变成分数，然后把正数合在一起计算，负数合在一起计算，最后再按减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型7 有理数加减混合运算的应用】 【例7】七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了筐苹果，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： （1）这筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ （2）请你计算这筐苹果一共多少千克？ （3）若苹果每千克售价元，则出售这筐苹果一共多少元？ 【分析】本题考查正负数的实际意义及有理数混合运算的实际应用； （1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）利用称重的各框数据，利用有理数加减运算求解即可得到答案； （3）根据单价乘以数量等于总价，可得答案． 【详解】（1）解： 千克， 答：这筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重千克； （2） 千克， 答：这筐苹果一共千克； （3）元， 答：出售这筐苹果一共元． 【变式7-1】某登山队队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他的海拔升高为正，将他从二号高地出发以后海拔变化情况记录如下（单位：米）：． 通过计算说明在路线正确的前提下，他最终有没有登上顶峰？ 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的实际应用，根据题意列出算式，求出结果，与500比较即可． 【详解】解：， 故他最终没有登上顶峰． 【变式7-2】一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： （1）第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． （2）最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 【变式7-3】做游戏，学数学．其乐无穷，游戏规则是： （1）每人每次抽取4张卡片，如果抽到椭圆卡片，那么减去卡片上的数：如果抽到长方形卡片．那么加上卡片上的数． （2）比较两人所抽取4张卡片的计算结果，结果大的为胜者． 小彬依次抽到了如图1所示的4张卡片：小丽依次抽取到了如图2所示的4张卡片；问获胜的是谁？并说明理由． 【分析】本题考查有理数的加减运算，由题意列出正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算后再比较大小即可． 【详解】解：小彬获胜，理由如下： 小彬依次抽到了如图1所示的4张卡片， 小彬所抽取4张卡片的计算结果如下： 小丽依次抽取到了如图2所示的4张卡片， 小丽所抽取4张卡片的计算结果如下： ， 小彬获胜． 【题型8 省略加号和括号的形式】 【例8】请把下列各式写成省略加号的形式： （1）； （2）． 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式8-1】不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式8-2】把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． 【变式8-3】式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 【题型9 数轴上两点间的距离】 【例9】已知数轴上点表示的数是，点B到点A距离为3，则点B表示的数是______． 【答案】或 【分析】分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别列式计算即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点到点的距离为， 当点在点右侧时，点表示的数为， 当点在点左侧时，点表示的数为， 综上：点B表示的数是或． 【变式9-1】数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 【答案】A 【分析】分所求点在已知点左侧、右侧两种情况计算，避免漏解. 【详解】解：由题意，， 即数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是和. 故选：A． 【变式9-2】已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 故答案为：5． 【变式9-3】在数轴上，若点表示，则与点相距4个单位长度的点表示___________． 【答案】或3 【分析】分两种情况进行解答，即点在点的左侧，点在点的右侧，通过计算得到结果． 【详解】解：当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧时，， 综上可知，点表示或3. 故答案为：或3． 【题型10 新定义问题】 【例10】定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： （1）； （2）． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解： ． 【变式10-1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，再根据代入计算即可． 【详解】解：因为表示不超过的最大整数， 所以． ． 故答案为：． 【变式10-2】若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的新定义，属于新定义题型，严格按照题目中定义求解，运算过程中细心即可．根据新定义运算进行运算即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：B． 【变式10-3】对于有理数，定义运算：． （1）计算的值； （2）求的值； （3）计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、新定义； （1）根据，计算出所求式子的值； （2）根据，先计算可以计算出所求式子的值； （3）分别根据进行计算即可判断是否成立． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：这种新定义不满足交换律，理由如下， ∵ ∴ ， ∴ 【题型11 有理数加减中的符号问题】 【例11】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 【变式11-1】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 【变式11-2】如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，，且， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式11-3】下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 模块三 课后作业 1．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义求出哈尔滨市的平均气温，再用较高温度减去较低温度计算温差，即可得到结果． 【详解】解：石家庄市平均气温为，哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数， 哈尔滨市的平均气温为． 两地温差为． 故选：D． 2．把算式改写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，根据有理数的加减运算法则，减去一个数等于加上它的相反数，再省略加号和括号． 【详解】解：． 故选：A． 3．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4．若，，且，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减法、绝对值，掌握相关运算法则的熟练应用，根据，确定a、b的值是解题关键．根据绝对值的性质先求出a、b值，再根据，确定a、b值，最后求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴当，时，， 当，时，， 综上所述：的值为7或3， 故选：D． 5．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 6．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是按照有理数减法的计算法则进行计算． 根据减一个数等于加上这个数的相反数来计算各题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解：； （10）解： ． 8．计算： （1）； （2） ． 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 9．计算：． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是利用加法交换律和结合律进行简便计算． 通过观察式子，将同分母的分数结合，小数结合，再分别计算，最后求和． 【详解】解： ． 10．阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 11．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 12．校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在处．规定以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）： （1）小明离主席台最远是______米； （2）以主席台为原点，用1个单位长度表示，请在数轴上表示点； （3）在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处______次； （4）若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？ 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）逐次求得每次运动后的位置即可求得离主席台的距离； （2）根据第一问可得到主席台的位置，并在数轴上标注即可； （3）根据每次运动与5的大小即可求得经过主席台的次数； （4）根据步行记录如得到总计，结合每步行1米消耗0.04卡路里即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故小明离主席台最远是10米． （2）根据第一问得知点A即为主席台， ． （3）小明从主席台出发经过仲裁处，由到经过仲裁处，到经过仲裁处，到经过仲裁处．则共经过仲裁处4次． （4）根据题意得，， 则小明在拍照过程中步行消耗2.4卡路里． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的加减运算（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+4个知识归纳+11个题型+课后作业】 模块二 有理数的加减运算 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分。每个参赛队的基本分均为0分．“加1分、扣1分，得0分”“扣1分、加1分，得0分”可以分别用如下算式表示： （+1）+（-1）=0；（-1）+（+1）=0． 第一环节和第二环节各有5道题．三个参赛队在前两个环节的得分情况见下表，你能把下表补充完整吗？你是怎么做的？ 【知识点1 有理数加法法则】 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 【知识点2 有理数加法运算律】 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 【知识点3 有理数减法法则】 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 【知识点4 有理数加减混合运算】 1. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【题型1 有理数的加法运算】 【例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式1-2】计算： （1）； （2）． 【变式1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2 有理数加法在生活中的应用】 【例2】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【变式2-1】某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），则她当天微信零钱的最终收支应表示为（    ） 转账-来自小明 微信红包-发给小红 A． B． C． D． 【变式2-3】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， （1）问地在地何处，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【题型3 有理数的减法运算】 【例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式3-1】计算：（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型4 有理数减法的实际应用】 【例4】某市2026年春节连续四天的天气预报信息如表所示，其中日温差最大的一天是（    ） 2月16日（除夕） 2月17日（春节） 2月18日（初二） 2月19日（初三） 晴 西北风级 多云 北风级 阴 北风级 阴 北风级 A．2月16日 B．2月17日 C．2月18日 D．2月19日 【变式4-1】山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 【变式4-2】唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、白居易等为我们留下了不朽的篇章．杜甫出生于公元712年，白居易出生于公元772年记作年，那么李白出生于公元701年记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【变式4-3】某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 （1）表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈利还是亏损，金额是多少． （2）请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【题型5 有理数的加减混合运算】 【例5】计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式5-1】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式5-3】计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型6 简便运算】 【例6】计算： 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算：． 【变式6-3】计算： 【题型7 有理数加减混合运算的应用】 【例7】七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了筐苹果，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： （1）这筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ （2）请你计算这筐苹果一共多少千克？ （3）若苹果每千克售价元，则出售这筐苹果一共多少元？ 【变式7-1】某登山队队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他的海拔升高为正，将他从二号高地出发以后海拔变化情况记录如下（单位：米）：． 通过计算说明在路线正确的前提下，他最终有没有登上顶峰？ 【变式7-2】一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： （1）第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． （2）最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【变式7-3】做游戏，学数学．其乐无穷，游戏规则是： （1）每人每次抽取4张卡片，如果抽到椭圆卡片，那么减去卡片上的数：如果抽到长方形卡片．那么加上卡片上的数． （2）比较两人所抽取4张卡片的计算结果，结果大的为胜者． 小彬依次抽到了如图1所示的4张卡片：小丽依次抽取到了如图2所示的4张卡片；问获胜的是谁？并说明理由． 【题型8 省略加号和括号的形式】 【例8】请把下列各式写成省略加号的形式： （1）； （2）． 【变式8-1】不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【题型9 数轴上两点间的距离】 【例9】已知数轴上点表示的数是，点B到点A距离为3，则点B表示的数是______． 【变式9-1】数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 【变式9-2】已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【变式9-3】在数轴上，若点表示，则与点相距4个单位长度的点表示___________． 【题型10 新定义问题】 【例10】定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： （1）； （2）． 【变式10-1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【变式10-2】若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式10-3】对于有理数，定义运算：． （1）计算的值； （2）求的值； （3）计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【题型11 有理数加减中的符号问题】 【例11】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 模块三 课后作业 1．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 2．把算式改写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 3．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．若，，且，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 5．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 6．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 8．计算： （1）； （2） ． 9．计算：． 10．阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 11．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 12．校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在处．规定以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）： （1）小明离主席台最远是______米； （2）以主席台为原点，用1个单位长度表示，请在数轴上表示点； （3）在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处______次； （4）若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $