课时作业3 集合间的基本关系-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合基本关系（∈、⊆、=）、简单子集判断|选择题1-5直接考查元素与集合关系，如判断{1,-1}⊆A，夯实概念认知| |提升层|含参数集合关系、Venn图应用、子集个数计算|选择题6-10及填空题11-15，结合参数讨论（如A⊇B求a范围）与Venn图分析，深化逻辑推理| |综合层|多集合关系证明、分类讨论应用|解答题18-21需综合运用子集性质（如B⊆A分类讨论参数m），培养数学表达与问题解决能力|

课时作业3　集合间的基本关系 一、选择题 1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　) ①1∈A； ②{－1}∈A； ③∅⊆A; ④{1，－1}⊆A. A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是(　　) A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R 3．已知集合U＝R，则正确表示集合U，M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}之间关系的Venn图是(　　) 4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 5．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值集合是(　　) A．{a|3<a≤4} B．{a|3≤a≤4} C．{a|3<a<4} D．∅ 7．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1,1) 8．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，那么集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　) A．15 B．16 C．28 D．25 9．(多选题)已知集合A＝{1,2,3}，Y＝{x|x⊆A}，则下列结论正确的是(　　) A．{1}⊆Y B．A∈Y C．∅Y D．{∅}Y 10．(多选题)下列选项中的两个集合相等的有(　　) A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z} B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*} C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝ D．P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1} 二、填空题 11．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}． (1)若A＝B，则y的值为________； (2)若A⊆C，则a的取值范围为________． 12.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是 . 13．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________． 14．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为______________． 15．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容． A为 ；B为 ；C为 ；D为 ． 16．已知集合A＝{x，B＝{x，C＝{x，则集合A，B，C之间的关系是 . 17．若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集为E的第k个子集，其中k＝，则 (1){a1，a3}是E的第 个子集； (2)E的第211个子集为 ． 三、解答题 18．已知集合A＝{x|1－a<x≤1＋a}，集合B＝{x|－<x≤2}． (1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围； (3)是否存在实数a使A，B相等？若存在，求出a；若不存在，请说明理由． 19．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，且B⊆A. (1)求实数m的取值集合； (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数． 20．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由． 21.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 课时作业3　集合间的基本关系 (答案） 一、选择题 1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　) ①1∈A； ②{－1}∈A； ③∅⊆A; ④{1，－1}⊆A. A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 解析：选C　A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确． 2．若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是(　　) A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R 解析：选A　因为集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集．当集合B＝{1，2}时，满足题意；当集合B＝{x|x≤1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝{－1，0，1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝R时，－1∉A，不满足题意，故选A. 3．已知集合U＝R，则正确表示集合U，M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}之间关系的Venn图是(　　) 解析：选B　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}，则NMU. 4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 解析：选B　依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)． 5．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 解析：选C　∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1. 6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值集合是(　　) A．{a|3<a≤4} B．{a|3≤a≤4} C．{a|3<a<4} D．∅ 解析：如图．∵A⊇B，∴解得3≤a≤4. 经检验知当a＝3或a＝4时符合题意． 故3≤a≤4. 故选B. 7．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1,1) 解析：当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合； 当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合； 当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合； 当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合． 故选B. 8．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，那么集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　) A．15 B．16 C．28 D．25 解析：根据伙伴关系集合的概念可知，－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1，1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 故选A. 9．(多选题)已知集合A＝{1,2,3}，Y＝{x|x⊆A}，则下列结论正确的是(　　) A．{1}⊆Y B．A∈Y C．∅Y D．{∅}Y 解析：由题意知，Y＝{∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}}，所以{1}∈Y. 故选BCD. 10．(多选题)下列选项中的两个集合相等的有(　　) A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z} B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*} C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝ D．P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1} 解析：选项A中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，所以P＝Q； 选项B中P是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，所以P≠Q； 选项C中P＝{0,1}，当n为奇数时，x＝＝0， 当n为偶数时，x＝＝1，所以Q＝{0,1}，所以P＝Q； 选项D中集合P表示直线y＝x＋1上点的横坐标组成的集合，而集合Q表示直线y＝x＋1上点的坐标组成的集合，所以P≠Q. 综上，可知选AC. 2、 填空题 11．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}． (1)若A＝B，则y的值为________； (2)若A⊆C，则a的取值范围为________． 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3， 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2＜x＜5}， 所以所以3＜a＜5. 答案：(1)1或3　(2)3<a<5 12.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是 . 解析：因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根． 当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意． 当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0， 即a2＝1，故a＝±1. 此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意． 综上所述，a＝0或a＝±1. 答案：a＝0或a＝±1. 13．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________． 解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝.当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合题意；当a＝时，A＝，B＝，符合题意．所以a的值为－1或. 答案：－1或 14．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为______________． 解析：∵B⊆A， ∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种． ①当B≠∅时， ∵B⊆A，∴或成立， 解得a>3； ②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}． 答案：{a|a<1或a>3} 15．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容． A为 ；B为 ；C为 ；D为 ． 解析：由题中Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文． 16．已知集合A＝{x，B＝{x，C＝{x，则集合A，B，C之间的关系是 . 解析：∵A＝ ＝， B＝ ＝ ＝， C＝ ＝， 又{x|x＝6m＋1，m∈Z}{x|x＝3n＋1，n∈Z}，∴AB＝C. 答案：AB＝C. 17．若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集为E的第k个子集，其中k＝，则 (1){a1，a3}是E的第 个子集； (2)E的第211个子集为 ． 解析：(1)由定义可知，k＝21－1＋23－1＝1＋4＝5，故{a1，a3}是E的第5个子集． (2)因为211是奇数，所以一定有21－1＝1，即有元素a1，由28＝256,27＝128知，有元素a8，依此类推得211＝20＋21＋24＋26＋27，故E的第211个子集为{a1，a2，a5，a7，a8}． 答案：5；{a1，a2，a5，a7，a8}． 三、解答题 18．已知集合A＝{x|1－a<x≤1＋a}，集合B＝{x|－<x≤2}． (1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围； (3)是否存在实数a使A，B相等？若存在，求出a；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵A⊆B， ∴1－a≥1＋a或解得a≤1. (2)∵B⊆A，∴解得a≥. (3)不存在．理由：由(1)(2)的结论可知不存在． 19．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，且B⊆A. (1)求实数m的取值集合； (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数． 解：(1)①当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅符合题意． ②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅. 由B⊆A，借助数轴(如图所示)， 得解得0≤m≤.所以0≤m≤. 经验证知m＝0和m＝符合题意． 综合①②可知，实数m的取值集合为 . (2)∵当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A的子集的个数为27＝128. 20．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由． 解：(1)当P＝∅时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根， 即Δ＝9－4m<0，所以m>. (2)当P≠∅时，计算可得Q＝{－1，－4,1}． ①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，所以P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集； ②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，所以P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集； ③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，所以P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集． 综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是. 21.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， ∴1∈B. 又BA，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A， ∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2. 综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求. 学科网（北京）股份有限公司 $