安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量测评数学试题

临化中学2025-2026学年（下)高一期末教学质量测评 数学 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.(722限改)已知复数z=点2则z的虚部为（) A.i B.-i C.1 D.-1 2.(9.2.2导改)数据4,5,5,5,6,8,9,10的60%分位数为() A.5 B.6 C.7 D.8 3.(6.3限改)己知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a1a-,则实数x=() A.9 B.4 C.0 D.-4 4.(教材原题)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC, BC,A1C1,B1C1的中点那么当底面ABC水平放置时，水面高为() B A.7 B.6 C.4 D.3 5.(教材习题改)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a cos B+bcosA=4sinC,则△ABC 的外接圆的半径为() A.2 B.4 C.6 D.8 6.(10.2限改)已知随机事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.6,则下面结论正确的是() A.事件A与B是对立事件 B.P(AUB)=1 C.P(AB)=0.24 D.若事件A,B互相独立，则P(AB=0.16 7.(8.2限改)一水平放置的平面四边形0ABC的直观图0ABC如图所示，其中0A'=OC=1,0C1x轴， AB1x轴，BC∥y轴，则四边形0ABC的周长为() 第1页 D 45° A A.4+8v2 B.9+2V2 C.8+4V2 D.10+2W2 8.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD1平面BCD,△ABD和△BCD都是等腰三角形，且∠ADB=120°，BC1 BD,BD=6,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为() D A.300元 B.260π C.220元 D.180π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知两组样本数据x1,2,…,x5和x1,x2,…,x5,y,其中y是数据x1,x2,,x5的平均数，且x1,x2, …,xs不全相同，则这两组样本数据的() A,平均数一定相等 B.中位数一定相等 C.标准差一定不相等 D.第80百分位数可能相等 10.(教材拓展知识)在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧 拉于1748年提出了著名的欧拉公式：ex=cosx+isinx为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中 e是自然对数的底数，ⅰ是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的 关联.依据欧拉公式，则下列结论正确的是() A.e副=1 B.e平在复平面内对应的点位于第二象限 C.isinx= 2 D.若21=3,2=在复平面内分别对应点乙1，Z2,则△0Z1Z2面积的最大值为 11.在△ABC中，AC=2V5,tanA=2,向量AC在向量AB上的投影向量为AB,则() A.边BC上的高为3V2 B.sin C=3V10 10 C.CACB=-8 D.边AB上的中线为V17 共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积的比是 13.(10.12限改)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=子，P(B)=子，P(A+B)=子则P(AB)= 14.在△ABC中，若AB+AC+BC+BA=1,则△ABC面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (教材习题改)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形，BC∥AD,平面PAB⊥平 面PBC. (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线L,求证：BC∥L: (2)求证：AB1BC. B 16.(15分) (6.3.5限改)已知平面向量a,b,c,且a=(-2,1),b=(3,-4) (1)求d在b上的投影向量的坐标： (2)若∥a,且=3v5,求向量的坐标： (3)若ka+与d+b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 17.(15分) (教材例题改)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工 对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)， [90,100]. 频率 个组距 0.028 0.022 0.018 0.004 0405060708090100分数 第2页/共 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）： (3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在[50,60)内的概率 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,=8 (1)求角A: (2)若D是线段BC的中点，且AD=,求△ABC的面积； (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围， 19.(17分) 如图，在三棱锥A-BCD中，DA=6,DB=DC=12,∠ADB=∠ADC=∠BDC=60°，点M,N分别是棱DB, DC上的动点（不含端点）. (1)若DB1平面AMN, (i)求线段AN的长度. D (i)求直线AC与平面DBC所成角的正弦值， (2)若M为DB的中点，且BC∥平面AMW,求三棱锥A-DMN的 内切球的表面积. 2页临化中学2025-2026学年（下）高一期末教学质量测评数学试题 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B A D 0 D 9 10 11 12 13 14 2π ACD ACD ABD 1 1+2L 4 24 1.【答案】C 【详解】z=5 2+=22=2-i,则z=2+i所以的虚部为1 2.【答案】B 【详解】由题意知数据4,5,5,5,6,8,9,10，已按从小到大排列， 因为8×60%=4.8，故这组数据的60%分位数为6. 3.【答案】A 【分析】由己知得，a-(石-司)=0，所以1,2)1-x,9=0,即1-x+8=0,所以x=9.故选A 4.【答案】B 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面ABC水平放置时，水面高即 可. 【详解】设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则h=8. 当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过AC,BC,A1C1,B1C1的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的3即直四棱柱的底面积 是S,所以水的体积v=Sh=6S, 当底面ABC水平放置时，设水面高为h1,则V=Sh1, 从而有Sh1=6S,所以h1=6, 即当底面ABC水平放置时，水面高为6. 故选：B. 5.【答案】A 【分析】由正弦定理、逆用两角和的正弦公式、诱导公式即可求解， 【详解】设所求为R,由题意acosB+bcosA=2R(sinAcosB+sinBcosA)=2Rsin(A+B)=2 RsinC= 4sinC, 在三角形中sinC>0,解得R=2. 故选：A. 6.【答案】D 【分析】举例判断A、B,由于不确定事件A、B的关系，故不能求解P(A∩B)即可判断C,结合对立事件概 第1页/共10页 率公式和相互独立事件乘法公式求解P(A∩B)即可判断D. 【详解】对于A和B,假设从一个装有标号为1,2,3,4,5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件A:从中取出球的标号为1或2，事件B:从中取出球的标号为1或2或3， 则P(A)=0.4,P(B)=0.6,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件，故A错误； 由上例可知P(AUB)=P(B)=0.6,故B错误； 对于C,只有事件A、B相互独立时，才有P(A∩B)=P(A)P(B)成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定P(AB)的值，故C错误； 对于D,若事件A、B相互独立，则事件A、B也相互独立， 所以P(A∩B)=P(A)·P(B)=P(A)·(1-P(B)=0.4×(1-0.6)=0.16,故D正确. 故选：D 7.【答案】D 【分析】根据斜二测法求得0D=2V2且B'D'=O'C'=AD',进而求出AD=3,即可得结果 【详解】设y轴与A'B交点为D',因为0'C'1x'轴，A'B1x轴，所以O'C'∥A'B', 因为B'C'y'轴，所以四边形0'D'B'C为平行四边形， 故B'D'=O'C=1, 又∠x'0'y'=45°，A'B'1x轴，得0D'=V20'A=V2, 则原四边形0ABC中，BC=OD=20'D'=2V2,OA=O'A'=1 ∴AD=V0A2+0D2=12+(2V2)2=3, BD -OC-3,AB-BD+AD-6. 所以四边形0ABC的周长为0A+AB+BC+0C=1+6+2V2+3=10+2V2. A 8.【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式 可得答案 【详解】如图，由题可知，△BCD外接圆的圆心O是CD的中点. 第2页/共10页 设三棱锥A-BCD外接球的球心为O1,连接OO1,则0O11平面BCD 过A作AA1LBD,与BD的延长线交于点A1,则由平面ABD⊥平面BCD,可得AA1L平面BCD, 因为∠ADB=120°，AD=BD=6,所以A1D=3,AA1=3V3 取BD的中点E连接0E,OA1,可得OE1BD,OE=号BC=3, 则0A1=VOE2+A1E2=3V5, 设001=x,连接01C,01A,则x2+(3V2)2=(3V3-x)2+(3V52,解得x=3V3, 故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π(x2+18)=180元. 9.【答案】ACD 【详解】不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,则y=∑1x:E[x1,x], 对于A:第二组数据的平均数为++世=5y+y=y,故A正确； 6 6 对于B:第一组数据的中位数为x3,第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于x3,故B错误； 对于C:记第一组数据的标准差为s= 层x-y2+…+(5-2], 则第二组数据的标准差为信【01-+…+5-2+0-冈=、，故C正确； 对于D:第一组数据第80百分位数为4+xs 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确. 10.【答案】ACD 【详解】对于A,因为s5-cos+sing=号+i,所以到=1.故A正确， 对于B.因为c2=cos+isin-号+号i. 所以e在复平面内对应的点为（停，写，位于第一象限，故B铅误， 对于C,因为eix=cosx+isinx,e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx, 所以e-e=2snx,即sx=“。”,故C正确： 对于选项D:因为a=c2=cos+isin号=+9i.2==cos0+isin0, 第3页/共10页 则21=e,2=在复平面内分别对应点乙（侵，），乙2(cos8,sin8), 可得10z=1022l=1,∠Z0z2=9-引 则△0Z1Z2面积为S△oz2,=l0Z1·0Z2sin∠Z10Z2≤ 当且仅当sin/Z10Z2=1时，等号成立， 所以△0Z,乙2面积的最大值为，故D正确。 11.【答案】ABD 【分析】过点C作CD1AB于点D,由条件结合投影向量定义可得AD-AB,解三角形求AD,CD,BD,BC, 再求边BC上的高，判断A,利用余弦定理求cosC,结合同角关系求sinC,判断B,根据数量积定义求CA·CB 判断C,设AB的中点为M,由关系CM=(CA+CB)两边平方，结合数量积运算律求边AB上的中线，判断 D 【详解】如图，过点C作CD L AB于点D, 则向量AC在向量AB上的投影向量为AD, 由已知AD=3AB,所以AD=AB, 设AD=x,则BD=2x,又tanA=2,所以CD=2x,所以B=45°， 在Rt△ACD中，AC=V5x,又AC=2V5,所以x=2, 所以AD=2,BD=4,CD=4,所以AB=6, 在Rt△BCD中，易得BC=VBD2+CDz=4V2, 所以边BC的高为AB·sinB=3V2,故选项A正确： 在△ABC中，由余弦定理的推论得c0sC=4c2+BC2-AB2=@ 2CACB 10 又因为C∈(0m), 所以sinC=V1-cos2C=3y,故选项B正确： 10 ·死-网EosC-25×4V2×-8.故选项c错误： 设AB的中点为M,则CM=号(CA+CB), 所以CM2=(CA2+CB2+2CA.CB)=1×(20+32+2×8)=17, 则CM=V17,故选项D正确， 故选：ABD. 第4页/共10页 B D M 12.【答案】器 【详解】设圆柱底面半径为r,已知侧面展开图是正方形， 则底面周长等于高，即h=2πr, 故侧面积S1=h2=4π2r2,底面积S2=r2, 圆柱表面积S=S1+2S2=4r2r2+2r2, 故圆柱的侧面积与表面积的比为：兰=示=经 4π2r2 13.【答案】0.25 【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出P(AB),再利用P(AB)+P(AB)=P(A)即可求出结果。 【详解】因为P(A+B)=P(A)+P⑧)-P(4B=又P(A)=子，P(B)= 得到PMD)-点又因为P(aB)+PAD-P(A).所以P(AD)-号-品- 故答案为： 14.【答案】4 【分析】设点A,B为线段DE的三等分点，利用向量线性运算得到DC+EC=1,利用基本不等式及三角形 面积公式求最值 【详解】设点A,B为线段DE的三等分点， 因为AB+AC+BC+BA=1, 又A正+BC-BA=BC-2BA=BC-BD=DC,BC-BE=IEC, 所以匹+B风=1，则Dc配≤四+D-专 4 当且仅当|DC=EC|=2时取等号， 由SaAc=SACDE=xICDI-ICEIsin-DCE≤×××1=4 Γ241 当且仅当|DC=EC|=且LDCE=90时，等号成立， 故△ABC面积的最大值为 第5页/共10页 15.【答案】(I)证明：由BC//AD,BC丈平面PAD,ADc平面PAD,得BCI∥平面PAD, 又BCc平面PBC,且平面PBC与平面PAD相交于直线L,所以3CI/L. -一5分 (2)证明：在平面PAB内作AH⊥PB于H, 平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AHc平面PAB, .AH⊥平面PBC,BCc平面PBC,则AH⊥BC, 又PA⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,则PA⊥BC, 又PA∩AH=A且都在平面PAB内，故BC1平面PAB, 又ABc平面PAB,则AB1BC.一一-一13分 D 16.【答案】(1() (2)=(-6,3)或(6，-3) (3)(-0∞，1)U(1,3) 【分折】（①)利用在5让的投影向量为石=-号b求解即可： (2)设=(x,y),然后根据已知条件列方程组求解即可； (3)由题意可得(kà+)·(a+)>0且ka+与a+不共线，从而可求出实数的取值范围 【详解】(1)a=(-2,1),=(3,-4), 2 故.7=-6-4=-10，所以=32+(-4)2=5 所以在6上的投影向量为6-岩五=子3，到=（台） 所以在6上的投影向量为(-，》 -5分 (2)设c=(x,y),a=(-2,1), 第6页/共10页 Iax=-2y,又|=3V5x2+y2=45, ,=g9 .元=(-6,3)或(6，-3)-一--10分 (3)因为d=(-2,1),b=(3,-4) 所以ka+万=(-2k+3,k-4),+b=(1,-3), 因为kd+与d+的夹角为锐角， 所以(kd+)·(a+)>0且kd+b与d+不共线 1×(-2k+3)-3×(k-4)>0 即 +号 1 解得k<3且k≠1 即k的取值范围是(-0,1)U(1,3)一一一一15分 17.【答案】(1)0.006 (2)76.4 (3)0.3 【分析】(1)根据频率分布直方图的性质可求a的值 (2)根据频率分布直方图计算50%分位数即可」 (3)根据频率分布直方图得出50名职工中评分在[40,50)、[50,60)分别有2人、3人，利用列举法结合古典 概型的概率公式即可求 【详解】(1)由题意：10(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)=1→a=0.006.-一--4分 (2)因为评分在[40,70)的频率为：10(0.004+0.006+0.022)=0.32， 评分在[40,80)的频率为：10(0.004+0.006+0.022+0.028)=0.6. 所以评分的第50%分位数在[70,80)， 由70+10×5-032≈76.4 0.28 所以估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数为：76.4.一一一一9分 (3)受访职工中评分在[40,50)的人数为：50×0.04=2人，设为a,b, 受访职工中评分在[50,60)的人数为：50×0.06=3人，设为A,B,C, 从中任取两人的结果有：{a,b},{a,A},{a,B},{a,C},{b,A},{b,B},{b,C},{A,B},{A,C},{B,C},共10 个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在[50,60)的结果有：{A,B},{A,C},{B,C},共3个. 所以此2人评分都在[50,60)的概率为品 --15分 第7页/共10页 18.【答案】1)A= o9 (3)(1+V3,3] 【分析】(1)先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A: (2)先根据向量关系AD-AB+AC,左右两边平方后结合余弦定理得出bc=1,进而得出面积即可； (3)应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【详解】(1)cos4=cosC a 2b-c :C08A cosC sinA 2sinB-sinc' .cosA(2sinB-sinC)=sinAcosC, .2sinBcosA-sinCcosA sinAcosC, .sinAcosC sinCcosA sin(A+C)=2sinBcosA, 又：A+B+C=元，sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, ∴.sinB=2 sinBcosA, sinB0..cosA Ae0mA=音--5分 (2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA,即1=b2+c2-bc,① 又因为AD=E+C,则AD2=(AB+AC), 则AD2=1AB2+1AC2+号A丽·AC, 即（图°-c2++bcws 所以=b2+c2+bc,② 由②×4-①得bc=1, 所以5aABc=bcsinA=x1x9=g 4 -一一-10分 (3)由(1)得A=专则B+C=登即simC=sim(管-B)-号cosB+sinB, 由正弦定理可知b--后smB.c-二-看nC, 所以b+c=后(snB+snC)=后(smB+号cosB+sinB） -2sinB+cosB)-2sin(B+). 第8页/共10页 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<,0<号-B< 即<B<<B+< 则sm(8+君e(,,即2sim(B+)e(3,2] 则a+b+cE(1+3,3], 故△ABC的周长的取值范围为(1+V3,3.一一一一17分 19.【答案】(1)①6：② 39 (2)）6π. 【分析】(I)①由DB⊥平面AMN,得到DB1AM,且DM=3,再由DB1MN,在直角△DMN中，即可求 解； ②根据面面垂直判定定理证明平面AMN⊥平面DBC,过点A作AQ LMN,结合线面角定义可得∠ACQ为直线 AC与平面DBC所成角，解三角形求其正弦值： (2)根据线面平行性质定理可得BC//MN,求三棱锥A-DMN的体积，结合三棱锥内切球性质求内切球半 径，再由球的表面积公式求结论， 【详解】(1)解：①由DB⊥平面AMN,因为AMc平面AMN,可得DB⊥AM, 又因为∠ADB=60°，且AD=6,所以DM=3, 因为MNc平面AMW,可得OB LMN, 又因为∠BDC=60°且DM=3,所以MN=DM·tan60°=3V3,且DN=6=DA, 又LADN=60°，所以△ADN为等边三角形，所以AN=6.一一一一4分 ②因为DB⊥平面AMN,DBC平面DBC, 所以平面AMNI平面DBC, 在平面AMN内过点A作AQ⊥MN,垂足为Q, 又平面AMN∩平面DBC=MN,所以AQ⊥平面DBC, 又MNc平面DBC,所以AQ1MN,且AQ为三棱锥A-DMN底面DMN上的高， 在△ADN中，由AD=6,DN=6,∠ADN=60°，可得AN=6, 在Rt△ADM中，由AD=6,DM=3,可得AM=3V3, 在△AMN中，因为AM=3V3,MN=3V3,AN=6, 所以边AW上的高为3V2,所以△AMW的面积为×6×3V2=9V2, 所以MW·AQ=×3V3×AQ=9V2,故AQ=2V6, 在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC, 第9页/共10页 即AC=V62+122-2×6×12c0s60°=6V3, 因为AQ1平面DBC,所以∠ACQ为直线AC与平面DBC所成角， 设AC与平面DBC所成的角为8，则sin0=4=2Y6=三 AC-6V3-3 --一一10分 A D (2)由BC/平面AMN,平面AMNn平面DBC=MN,根据线面平行性质得BC//MW, 因为M是DB中点，故g-器-言 得DM=DN=6,结合∠ADB=∠ADC=∠BDC=60°， 可得DM=DN=MN=AD=AM=AN=6, 所以三棱锥A一DMN为正四面体， 设点A在底面DMN上的投影为T,则T为△DMW的中心， 所以Dr=6×x号=2V3,A7=、62-(232-26, 又△DMN的面积S=×6×6×号=9V3, 所以三棱锥A-DMN的体积V=SADMN·AT=×9V3×26=18V2, 3 三棱锥A-DMN的表面积为4×9V3=36V3, 设三棱锥A-DMN的内切球半径为r, 则片×36V3×r=18V2,所以，=5 内切球表面积S=4rr2-4r·C52-6π.----17分 第10页/供10页