精品解析：安徽宣城市2025-2026学年第二学期高一期末测试数学试题

2025—2026学年第二学期高一期末测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域． 3．考生作答时，请将答案答在答题卷上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．考生结束时，务必将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据12，10，8，6，15，8，这组数据的中位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】将这组数据按从小到大的顺序进行排序得6,8,8,10 ,12,15， 故中位数为. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得， 所以. 3. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合单位向量的方向、长度以及数量积的定义进行判断. 【详解】对于A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误； 对于B、C,因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误； 对于D，，所以，故D错误. 故选：B. 4. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.2 D. 0.12 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 5. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　）   A. 点 B. 点 C. 点但不过点 D. 点和点 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 6. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 7. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，将各点坐标求出，则点为直线与直线的交点，利用直线的交点公式求出点，从而求出的长度，最后根据与的长度求出t. 【详解】以为原点，为轴正方向，为轴的正方向，则， 设点坐标为，则，由题可得， 根据点的位置可得，故直线为， 因为直线为轴，设点为代入直线中， 得，解得，又， 所以，解得. 8. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为偶数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法得到样本空间，即可逐个选项判断. 【详解】由题知，以有序数对作为发生的结果， 则样本空间为 ， 则事件发生概率，事件发生的概率， 事件发生的概率，事件发生的概率， 事件发生的概率， 事件发生的概率， 所以B正确，C错； 所以与不是对立事件，A错； 因为与有共同结果，所以D错. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用余弦定理可判断A，D，应用面积公式可判断B，应用正弦定理判断C． 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B错误； 对于C，根据正弦定理，可得，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 10. 下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【详解】将展开图折成正方体， 对于A，为异面直线，故A错误； 对于B，连接， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以，B正确； 对于C，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为四边形为正方形，所以， 又因为底面，所以， 又平面， 所以平面，所以， 同理可证，又平面， 所以平面，D正确. 11. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ） A. 的所有试验结果构成的样本空间中共有36个样本点 B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率等于的概率 C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D. 若，出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中有两个0的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用分步乘法计数求样本点个数判断A，应用独立乘法公式求对应概率判断B，分析事件组成，应用互斥事件加法求概率判断C，综合独立事件乘法、互斥事件加法求概率判断D. 【详解】A：的所有试验结果构成的样本空间中共有个样本点，故错误； B：,，所以，故正确； C：记为“中各位数字之和是4”，则，故错误； D：启动一次出现的数字中有两个0的概率为，故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则实数的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】若复数，,解得, 所以实数的值为4. 13. 设为的重心，，，则____（用，表示），实数____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】答题空1：利用三角形重心的向量性质，直接写出用线性表示的式子； 答题空2：先对三角式通分结合诱导公式、正弦定理化简得到；再把重心对应的用基底展开，由数量积为推导出，代入式子算出． 【详解】在中，， 因为，所以， 所以，整理得， 由正弦定理得， 由为的重心，得， ， 由，得， 所以， 则，即， 所以，即， 所以，解得． 14. 点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹即可求轨迹长度. 【详解】 因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 因为，故点不能在平面和平面内； 若点在平面内，则点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，作平面于点，如图所示， 因为，所以，又因为，则，故， 所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆， 此时点的轨迹长度为， 综上，点的轨迹的总长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根． （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解； （2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由于，是实系数一元二次方程的两个虚根，故，互为共轭复数 设，则　 代入可得， 即，则有　 故， ； 【小问2详解】 设，则，故， 那么， 由于向量与的夹角为钝角 那么且向量与不共线 则解得且　 故实数的取值范围为 16. 已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求; （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）先切化弦，再交叉相乘，可得，根据三角形内角的范围可得角之间的关系，从而得出 （2）借助面积公式和余弦定理即可得出周长 【小问1详解】 由切化弦得得　 所以，得 又，， 所以或（舍去）或（舍去） 所以，解得 【小问2详解】 由已知，得① 由余弦定理，得② 由①②可得 所以三角形的周长 17. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求直方图中的值和上四分位数； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，，…，）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 【答案】（1），上四分位数为82 （2） （3）平均值为 ，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有组频率和为1的性质求；再通过“前序累计频率判断百分位数所在组，列比例式求解”的方法求四分位数； （2）先根据频率比用分层抽样确定两组抽取人数，再用古典概型，通过列举样本空间或间接法计算“至少1人在”的概率； （3）先利用原平均数求剩余数据的均值，再借助方差公式变形，通过原数据平方和计算剩余数据的方差. 【小问1详解】 由题意知，，解得； 因为前四组的频率和为， 所以第75百分位数在第五组，设为，则 ， 所以上四分位数为82 ； 【小问2详解】 结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中， 2人成绩在中编号为1、2，4人成绩在中编号为、、、 ， 从6人中选取2人的方法情况如下： ， 即样本空间中有15个样本点，至少有1人成绩在中有9种情况， 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为 ； 【小问3详解】 剩余8人成绩的平均值为 ， 由10个人成绩的标准差，则，即 ， 于是剩下8人的成绩的方差为， 18. 如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成角正切值大小． 【答案】（1）因为四棱柱中，四边形为梯形，， 所以平面平面， 所以平面与面和平面的交线平行， 所以，， 所以， 所以为的中点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱两组对边平行得到平面平面，由面面平行交线平行得，证明得出，结合的相似比推出，得为中点； （2）设底面边长与棱柱高，先算出四棱柱总体积，将平面下方几何体拆分为两个棱锥分别求体积，用总体积减去下方体积得到上方体积，最终化简得到上下两部分体积之比； （3）根据梯形底边比例分割面积求出面积，作算出垂线段；由线面垂直判定二面角平面角为，在直角三角形中代入长度求出正切值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积为， 设，则， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比； 【小问3详解】 在中，作，垂足为，连接， 则平面， 所以， 所以为平面与底面所成角， 因为，，所以， 因为梯形的面积为，， 所以， 所以， 所以， 所以平面与底面所成角正切值为． 19. 若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且记．如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得． （1）证明：为的中点； （2）已知，． ①若，求的最大值； ②若，，求的值． 【答案】（1）证明： ， 其中为，的高， 为中点； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用定理及三角形的面积公式即可证明为的中点； （2）①由题意可得，从而可得， ， ，设，，利用正弦、余弦定理及三角函数的性质求解即可； ②由正弦定理及，可得，根据，可得，从而得，，由余弦定理求得，即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， ， 又为中点， ，， 设，， ①，，， 由，可得， 平方得，，， 在中，由正弦定理可得：， 将，代入， 　 ，，， 当，即时，等号成立， ， ，当时，取最大值； ②，，， ，，又， ，，　 联立得，， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高一期末测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域． 3．考生作答时，请将答案答在答题卷上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．考生结束时，务必将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据12，10，8，6，15，8，这组数据的中位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.2 D. 0.12 5. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　）   A. 点 B. 点 C. 点但不过点 D. 点和点 6. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 7. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为偶数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 11. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ） A. 的所有试验结果构成的样本空间中共有36个样本点 B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率等于的概率 C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D. 若，出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中有两个0的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则实数的值为________． 13. 设为的重心，，，则____（用，表示），实数____． 14. 点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根． （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求; （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长． 17. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求直方图中的值和上四分位数； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，，…，）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 18. 如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成角正切值大小． 19. 若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且记．如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得． （1）证明：为的中点； （2）已知，． ①若，求的最大值； ②若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $