专题01 实数（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

专题01 实数（七大题型） 【题型1 无理数】..................................................................................................................1. 【题型2 无理数的大小估算】................................................................................................2 【题型3 实数的分类】...........................................................................................................2 【题型4 实数的性质】...........................................................................................................3 【题型5 实数与数轴】...........................................................................................................4 【题型6 实数的大小比较】...................................................................................................5 【题型7 勾股定理与无理数】...............................................................................................5 【题型1 无理数】 1．下列选项是无理数的为（    ） A． B． C． D． 2．在3.14，，，，，，中，无理数的个数是 （       ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 4．下列各数中，是无理数的是（    ） A．0.37 B．3.1415926 C． D． 5．在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在1，，，0，，，，，中，是无理数的有 个． 【题型2 无理数的大小估算】 1．下列各数中，整数部分为3的数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．下列整数中，与最接近的是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 7．m、n为两个连续的整数，且，则 【题型3 实数的分类】 1．把下列各数填在表示集合的相应大括号中：，π，2.008，，，0，，3.1415926． 无理数集合：{____________…}； 负分数集合：{____________…}； 2．把下列各数填入相应的集合中（只填序号）． ①3.14；②；③；④；⑤0；⑥1.212212221…；⑦；⑧； 无理数集合{                        …} 有理数集合{                        …} 3．在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 4．把下列各数填在相应的大括号里： ，0.54，7，0，，，， 整数集合：{                } 分数集合：{                } 有理数集合：{              } 无理数集合：{              } 【题型4 实数的性质】 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．实数的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 3．的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 4．计算： ． 5．的相反数是 ． 6． ． 7．化简： ． 【题型5 实数与数轴】 1．如下图所示，实数，则在数轴上，表示的点应落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 2．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 3．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 4．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是 ． 5．如图，点A表示的实数是 ． 6．如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是 ． 【题型6 实数的大小比较】 1．比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填空“”，“”，“”）． 3．比较大小 ：（填“”或“”）． 4．把、、、四个数按照从小到大的顺序排列 ． 5．比较大小： ． 6．比较大小： ． 【题型7 勾股定理与无理数】 1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 3．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 4．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 6．如图，若数轴上的点A、B、C、D表示数，1，2，3，则表示数的点应在线段 上．（填“”“”“”或“”） 1．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 2．化简的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 4．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到近似值．他的算法是：先将看出；由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；……依此算法，所得的近似值会越来越精确． (1)若要利用此公式得到的近似值，则可知______； (2)试两次运用此近似公式求的近似值（用分数表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数（七大题型） 【题型1 无理数】..................................................................................................................1. 【题型2 无理数的大小估算】................................................................................................3 【题型3 实数的分类】...........................................................................................................6 【题型4 实数的性质】...........................................................................................................8 【题型5 实数与数轴】...........................................................................................................9 【题型6 实数的大小比较】...................................................................................................12 【题型7 勾股定理与无理数】..............................................................................................14 【题型1 无理数】 1．下列选项是无理数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴，，都不是无理数， 只有是无限不循环小数． 故选：B． 2．在3.14，，，，，，中，无理数的个数是 （       ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，解题关键是明确无理数的定义，即无限不循环小数，常见形式有：开不尽方的数，含的数等．根据无理数的定义判断即可． 【详解】无理数有：，，，共4个， 故选：B 3．下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数． 根据无理数的概念作答即可． 【详解】、、、，无理数是， 故选：C． 4．下列各数中，是无理数的是（    ） A．0.37 B．3.1415926 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0.37，3.1415926，都是有理数，是无理数． 故选：C． 5．在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：3.14159是有限小数，属于有理数； 4是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），π共2个． 故选：B． 6．在1，，，0，，，，，中，是无理数的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，对每个数字逐一分析判断即可． 【详解】解：无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 【题型2 无理数的大小估算】 1．下列各数中，整数部分为3的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数大小，正确记忆π的近似值是解题关键． 直接利用，进而求出即可． 【详解】解：∵， ∴π的整数部分为3． 故选：A． 2．如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 利用无理数的估算得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即在数轴上表示的点在3和4之间， ∴在数轴上表示的点可能是点M． 故选：C． 3．下列整数中，与最接近的是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握利用完全平方数估算无理数的范围是解题的关键．先找出与相邻的两个完全平方数，确定的范围，再比较与范围两端整数的距离，从而确定最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴，即． 又∵，，， ∴更接近． 故选：C． 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．直接利用估算无理数的大小的方法得出，进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 5．估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再估算的范围即可得解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”估值是解题的关键．先估算无理数的大小，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故数轴上表示的点的位置应在与之间． 故选：A ． 7．m、n为两个连续的整数，且，则 【答案】17 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是先根据题意算出的取值范围． 先估算出的取值范围，得出、的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：17． 【题型3 实数的分类】 1．把下列各数填在表示集合的相应大括号中：，π，2.008，，，0，，3.1415926． 无理数集合：{____________…}； 负分数集合：{____________…}； 【答案】无理数集合：{π，…}；负分数集合：{，，…} 【分析】本题考查无理数和负分数的概念、实数的分类，根据无理数和负分数的概念再从题中所给的实数中进行分类即可． 【详解】解：由无理数的定义可知，题目中的无理数有π，；负分数有，，． 故答案为：π，；，，． 2．把下列各数填入相应的集合中（只填序号）． ①3.14；②；③；④；⑤0；⑥1.212212221…；⑦；⑧； 无理数集合{                        …} 有理数集合{                        …} 【答案】②，③，④，⑥；①，⑤，⑦，⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． 根据实数的分类解答即可． 【详解】解：， 无理数集合{②，③，④，⑥， …}， 有理数集合{ ①，⑤，⑦，⑧，…}， 故答案为：②，③，④，⑥；①，⑤，⑦，⑧． 3．在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 【答案】⑥⑨；①④；①④⑤⑥⑨；②③⑦⑧⑩ 【分析】本题重点考查​实数的分类与定义​，​准确理解并区分整数、负分数、有理数和正无理数的概念，特别是对需要化简的表达式（如带根号或绝对值的式子）进行正确运算是解题的关键​． 根据整数，负分数，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 有理数有：①④⑤⑥⑨； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 4．把下列各数填在相应的大括号里： ，0.54，7，0，，，， 整数集合：{                } 分数集合：{                } 有理数集合：{              } 无理数集合：{              } 【答案】，7，0；0.54，，；，0.54，7，0，，；， 【分析】本题考查了有理数的概念，无理数的概念，有理数的分类，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，据此进行逐个分析，即可判定． 【详解】解：整数集合：{，7，0}， 分数集合：{0.54，，}， 有理数集合：{，0.54，7，0，，}， 无理数集合：{， }； 【题型4 实数的性质】 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 2．实数的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生对“求倒数的方法”知识点的掌握情况，解答本题的关键是熟练掌握倒数的概念，然后通过求整数的倒数的方法得到答案， 【详解】解：的倒数是 故选：D. 3．的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 即的绝对值是， 故选：B． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】该题考查了实数的性质，先比较大小，再把绝对值的符号去掉即可得． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：． 5．的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 6． ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的绝对值，根据和正数的绝对值是它本身进行解答即可． 【详解】解： 故答案为： 7．化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的性质，根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 【题型5 实数与数轴】 1．如下图所示，实数，则在数轴上，表示的点应落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】、 本题考查相反数，数轴与实数，无理数的估值，掌握数形结合思想是解题的关键． 先由相反数得到，再估计在哪两个相邻的整数之间，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴表示的点应落在线段上． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 3．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 4．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴与实数；首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段的长度，然后由利用两点间的距离公式便可解答．解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 5．如图，点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键． 根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 6．如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知：， ∴点表示的数为； 故答案为： 【题型6 实数的大小比较】 1．比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 2．比较大小： （填空“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．先估算的近似值，代入表达式计算出结果，再与比较大小即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 3．比较大小 ：（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．把、、、四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较方法，四舍五入求近似值的应用； 首先把、、都保留四位小数，把化成小数，然后根据小数比较大小的方法排序即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故答案为：． 5．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通常用求差法比较两个无理数的大小，根据，可知． 【详解】解： ． 故答案为： ． 6．比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于运用作差法比较．通过作差确定大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故答案为：>． 【题型7 勾股定理与无理数】 1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：C． ． 2．如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵以点为圆心，半径为的弧过点A， ∴点A表示的数为， 故选：B． 3．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 4．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出 ，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则 ， 故点A表示的数为， 故选B． 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，， ∴， 故答案为：． 6．如图，若数轴上的点A、B、C、D表示数，1，2，3，则表示数的点应在线段 上．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算及实数与数轴．由可求，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点在之间； 故答案为：． 1．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的取值范围．根据正方形的面积求出正方形的边长的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：正方形的面积是11， 它的边长为， ， ， 估计它的边长大小在3和4之间． 故选：C． 2．化简的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小比较、绝对值，因为，，所以，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 3．估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】B 【分析】本题考查了无理数估算，可估算，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到近似值．他的算法是：先将看出；由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；……依此算法，所得的近似值会越来越精确． (1)若要利用此公式得到的近似值，则可知______； (2)试两次运用此近似公式求的近似值（用分数表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了近似公式，有理数的计算，理解题意是解题的关键． （1）根据近似公式，直接计算即可； （2）用两次近似公式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： ， ， 的近似值是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $