精品解析：黑龙江牡丹江市第五子联盟联考2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第五子联盟2025—2026学年度第二学期八年级期末考试数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 3. 若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于 C. 与轴交于 D. 随的增大而减小 4. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（    ） A. 分米 B. 分米 C. 16分米 D. 20分米 6. 某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（ ） A. 两组学生的数学成绩完全相同 B. 两组学生的数学平均成绩相同 C. 每组内部学生的成绩没有差异 D. 男生成绩都高于女生成绩 7. 下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A. B. C. D. 8. 你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图2所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 9. 如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 10. 如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 14. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为_________． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 16. 如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为__________． 17. 在矩形中，P为上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点E，射线交矩形的边于点F，若．，当F为矩形边的中点时，的长为_________． 18. 如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 22. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c （1）上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 23. 甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24. 为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ （2）该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 25. 已知四边形和四边形都是正方形，O为中点，在正方形绕点O旋转过程中，D，E，G三点始终共线，连接，．当点F在边上时如图①，易证：． （1）当点E，F，G在正方形外部时，如图②，线段，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （2）当点E，F，G在正方形内部时，如图③，线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． （1）求直线的函数解析式及的长； （2）连接，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，N为平面直角坐标系中任意一点，是否存在以B，M，N，P四个点为顶点的菱形？如存在，直接写出N点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第五子联盟2025—2026学年度第二学期八年级期末考试数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断，即可求解． 【详解】解：是最简二次根式； 的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 的被开方数含有小数，不是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 是最简二次根式， 故最简二次根式为，，一共有2个最简二次根式． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判断即可得答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该选项说法正确，不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法说法错误，符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，该选项说法正确，不符合题意； D、四个角都相等的四边形，每个角都是直角，那么它一定是矩形，该选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 3. 若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于 C. 与轴交于 D. 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、直线经过第二、三、四象限，故本选项错误； B、直线与轴交于，故本选项错误； C、直线与轴交于，故本选项错误； D、直线，随的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 4. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助网格判断图形中直线、角、三角形之间的关系．过点作，可知与不平行；根据在中，，由网格可知，不成立；借助网格可知，因为不是直角三角形，所以不成立；借助网格可知，所以可知，利用勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】解：A选项：如下图所示，， 与不平行， 故A选项错误； B选项：在中，， ， 不成立， 故B选项错误； C选项：如下图所示，， 不是直角三角形， 不成立， 不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，， ， 由网格可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故D选项正确； 故选：D． 5. 如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（    ） A. 分米 B. 分米 C. 16分米 D. 20分米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点M爬到点N的最短路程是20分米．． 故选：D 6. 某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（ ） A. 两组学生的数学成绩完全相同 B. 两组学生的数学平均成绩相同 C. 每组内部学生的成绩没有差异 D. 男生成绩都高于女生成绩 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联． 【详解】解：∵组间离差平方和为， ∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意， A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误， C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意， D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意． 7. 下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象．将a、b与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置即可． 【详解】解：∵正比例函数，∴经过原点，∴排除选项C和D， 若，， 则经过一、二、三象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过二、三、四象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限，选项A符合题意； 故选：A． 8. 你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图2所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图象逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：由图2可知，当时，，故A正确； 对于选项B：由图3可知，当时，，故B正确； 对于选项C：结合图2和图3可知，和均随的增大而增大，故C正确； 对于选项D：由图3可知，与的关系不是线性的，因此每增加，的增加量都是不同的，故D错误． 9. 如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】延长交的延长线于点M，证明，利用线段垂直平分线的性质得出，结合中点定义建立与的数量关系求解． 【详解】解：延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 10. 如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是可得，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长，利用三角形面积公式即可确定的面积． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由折叠可得，， ∴，故结论②符合题意； ∵正方形边长是， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，，， ∴，故结论①错误，不符合题意； ∴五边形的周长为，故结论③符合题意； 的面积为，故结论④符合题意； 综上，正确的结论为②③④，共三个， 故选C． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴且． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 12. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，根据已知条件先求出该多边形的内角和，再利用多边形内角和公式列方程求解边数即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 函数图象恒过定点，即无论m取何值，该点坐标都满足方程，因此将方程整理为关于m的表达式，令m的系数为零，求解x，再代入求y． 【详解】解： ， ∵对于任意实数m，图象都过定点， ∴令，解得． 将代入解析式，得． ∴定点P的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，，再根据同角的余角相等可得出，即可证，最后结合全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：如图， ∵a，b，c都为正方形，a，c的面积分别为2和10， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴b的面积． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 16. 如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点F，使得，连接，由中位线定理得到，由勾股定理求出，由D是平面内的一个动点得到，求出，当且仅当C、D、F三点共线时，有最小值，有最大值，由得到的最小值为，的最大值为，即可到的最大值与最小值的差． 【详解】解：延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵D是平面内的一个动点， ∴， ∴，即， 当且仅当C、D、F三点共线时， 有最小值，有最大值， ∵， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、最短路径问题等知识，熟练掌握勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键． 17. 在矩形中，P为上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点E，射线交矩形的边于点F，若．，当F为矩形边的中点时，的长为_________． 【答案】4或 【解析】 【分析】分①当F为中点时或②当F为中点时，两种情况讨论，①根据线段中点性质、折叠的性质，解得，再由勾股定理计算的长，设，在中，由勾股定理结合一元一次方程，解得；②连接，由中点性质和勾股定理解得，再根据翻折的性质得到，设，在与中，由勾股定理分别计算的平方，联立两个方程即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ①当F为中点时，， 由翻折性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设， 则， ∴在中，由勾股定理得， ， 解得：， 故； ②当F为中点时，如图所示，连接， 为中点， ， 又∵四边形是矩形， ， ∴在中，由勾股定理得：， 又由翻折性质得， ， 设， 则， 在中，， ， 在中，， ， 解得：， 故， ∴综上，的长为4或． 18. 如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，利用三角函数可计算出，从而计算出，，，总结出规律，再求出线段的长． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴点的纵坐标为，代入，得， ∴， 同理，，， ∴总结规律可得，， ∴． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、化简绝对值和二次根式、乘方，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可； （3）先计算二次根式的乘法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立解得，即可得点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据两函数图象和点A的坐标即可得到不等式解集． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得， ∴ ∴点A 的坐标为． 【小问2详解】 解：当 时，， 解得， 则点坐标为； 当 时，， 解得， 则点坐标为． ， 的面积． 【小问3详解】 解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴当时，的取值范围是． 22. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c （1）上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】（1），，见解析； （2）； （3）估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，，，补全箱线图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）用800乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： 【小问2详解】 解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 23. 甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】（1）30；40 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得； （2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． 【小问2详解】 解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． 【小问3详解】 解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24. 为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ （2）该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件 （2）共有三种进货方案：方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件；方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件；方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件． （3）甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700元 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，依题意，购进两种商品的两种组合对应的总花费列方程组即可求解； （2）设甲种商品购进件，乙种商品购进件，根据总花费不超过给定值、甲商品数量与20的差大于乙商品数量的，可列一元一次不等式组，再由为整数，求得，即可得到进货方案； （3）设所获利润为W元，据利润公式列出总利润关于甲商品进货数量的函数表达式，根据一次函数的性质结合第（2）问中未知数的取值范围，即可确定最大利润对应的进货方案和最大利润值． 【小问1详解】 解：设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元． 根据题意，得 解得， 答：甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件． 【小问2详解】 设甲种商品购进件，乙种商品购进件． 根据题意，得 解得． 为整数， ． 共有三种进货方案： 方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件； 方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件； 方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件． 【小问3详解】 设所获利润为W元． ， ， 随的增大而增大， ∴当取最大值时，W有最大值， ∴当时，元． 答：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700元． 25. 已知四边形和四边形都是正方形，O为中点，在正方形绕点O旋转过程中，D，E，G三点始终共线，连接，．当点F在边上时如图①，易证：． （1）当点E，F，G在正方形外部时，如图②，线段，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （2）当点E，F，G在正方形内部时，如图③，线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1）猜想：， 证明：连接， 四边形、是正方形， 、、、， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到、、、，进而得到，证明，则，从而得出结论； （2）根据正方形的性质结合、、之间的关系证明，则，从而得出结论； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）可知，、、、 ，即 在和中， ， ， ， ， ． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． （1）求直线的函数解析式及的长； （2）连接，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，N为平面直角坐标系中任意一点，是否存在以B，M，N，P四个点为顶点的菱形？如存在，直接写出N点坐标． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先求出点，的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，然后求出点的坐标，由此即可得的长； （2）先求出点到的距离，再求出，且，分两种情况：①和②，利用三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况：①当以点为顶点的菱形是菱形时，②当以点为顶点的菱形是菱形时，③当以点为顶点的菱形是菱形时，利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为； 将代入函数得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由上已得：，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设点到的距离为， ∴， 解得， 由题意得：点从点运动到点所需时间为（秒），点从点运动到点所需时间为（秒）， ∴， ∵的面积为， ∴， ①当时，则， ∴， ∴的面积； ②当时，， ∴的面积； 综上，与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：由上已得：，，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ①如图，当以点为顶点的菱形是菱形时， ∴，， ∴， ∴；点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， ∴， ∴； ②如图，当以点为顶点的菱形是菱形时， ∴，， ∵， ∴点在轴上， ∴， ∴； ③如图，当以点为顶点的菱形是菱形时， ∴，， ∴， ∴；点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得， ∴； 综上，存在以四个点为顶点的菱形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题的难点在于正确列出菱形的所有情况，做到不遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $