精品解析：黑龙江省大庆市让胡路区大庆第一中学2025—2026学年初二年级下学期期末考试（数学）试卷

2025—2026学年初二年级下学期期末考试（数学）试卷 卷面分值：120 答题时间90分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. a，b，c为的三边，下列条件能判断是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A.∵，∴是直角三角形； B.∵，∴不是直角三角形； C.∵，，，，∴不是直角三角形； D. ； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：点位于第二象限． 3. 下列各组数中，是方程2x+y＝7的解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：把x＝1，y＝5代入方程左边得：2+5＝7，右边＝7， ∴左边＝右边， 则是方程2x+y＝7的解． 故选C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 学校至善服务队有6位学生参加志愿者服务次数分别为：10，8，9，7，9，9，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵出现次，出现次，出现次，出现次， ∴出现的次数最多， ∴这组数据的众数为． 5. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. 当时，原式，选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，． 6. 一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A. 6 B. 3 C. 9 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，需正确理解题意并转化为方程，根据数量关系列式即可． 【详解】解： “一人一个多一梨”：若每个老头分1个梨，梨的数量比人数多1，即 ， “一人两个少两梨”：若每个老头分2个梨，梨的数量比所需少2，即所需梨数 比实际梨数 多2，故 ，整理得 ， ∴方程组为：， 故选：C． 8. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 9. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①同位角相等； ②若，，则； ③如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补； ④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】需根据平行线的公理、性质逐一核对每个命题的条件是否完整，即可得出结论． 【详解】解：逐个判断命题真假： ① 只有两直线平行时，同位角才相等，该命题缺少前提条件，是假命题； ② 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，即若，，则，该命题是真命题； ③ 只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，是假命题； ④ 该命题缺少“在同一平面内”的前提，因此是假命题； ⑤ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出平行线，该命题缺少前提，是假命题； 综上，真命题共1个，故选A． 10. 已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式依次求出前几个对称点的坐标，找出坐标的循环周期，再计算2026除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：设， ∵点关于点的对称点为，是的中点， ∴ ， ， 解得，，即 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴点的坐标每次循环一次， ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴． 12. 已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，即方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为的整式方程，据此列出关于，的方程，求解得到，的值后代入计算即可． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程． ，． 解得，． ． 13. 如果点P在y轴正半轴上，且它到x轴的距离为2，那么点P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在轴正半轴上，可得点P的横坐标为0，纵坐标为正数，结合点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的横坐标为0，纵坐标大于0． ∵点P到x轴的距离为2， ∴点P的纵坐标为2， ∴点P的坐标为． 14. 若点与点关于y轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标特征． 根据关于y轴对称的点坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此m与1互为相反数． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数， 即， 故答案为：． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 16. 若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 17. 关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 18. 如图，点A、B、C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】解析 本题可以利用A、B、C以及直线与y轴交点这4个点的坐标来分别计算阴影部分的面积,可将m看做一个常量. 【详解】将A.B.C的横坐标代入到一次函数中; 解得A(-1,m+2),B(1,m-2),C(2,m-4). 由一次函数的性质可知,三个阴影部分三角形全等,底 边长为2-1=1,高为(m-2)-(m-4)=2, 可求的阴影部分面积为:S=. 所以应填:3. 【点睛】此题为一次函数综合题，解题关键在于利用全等三角形性质 19. 如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“2性质”方程的定义和方程解的定义，列出关于,的二元一次方程组，求解得到,后即可计算出，考查二元一次方程组的求解． 【详解】解：将原方程整理为符合“2性质”要求的形式，得 ， 该方程是具有“2性质”的方程，满足， 可得， 整理得， 是该方程的一个解，代入原方程得， ， 整理得， 由①得，代入②得， ， 展开计算得， 解得把代入，得 ， 因此． 20. 如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点，此时，周长最小，为线段的长度，根据直线解析式求出交点坐标，得出相关线段的长度，根据轴对称的性质得出相等的边和角，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，作点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点， 此时，，周长最小，为线段的长度， 当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 根据轴对称的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴周长的最小值是． 三、解答题（共7小题，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式、二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用零次幂、绝对值、二次根式的性质、负整数次幂化简，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法先消去，求出后再计算的值； （2）先将第一个方程去分母整理为整数系数方程，再用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：（1）， ①得：， ③②得：， 解得，， 把代入①得： ， 解得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解： ①两边同乘去分母得：， ②得：， ③④得：， 解得， 把代入②得： ， 解得， 所以原方程组的解为． 23. 已知点，解答下列各题． （1）若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； （2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，，轴， ∴点和点横坐标相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 24. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 25. 某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________，这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________； （2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． （3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 【答案】（1）40，，， （2） （3）该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人 【解析】 【分析】本题主要考查数据的分析： （1）本次接受调查的初中学生人数为人；根据题意得；这组数据中出现次数最多的数据为；这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和； （2）这组每天在校体育活动时间数据的平均数； （3）该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人． 【小问1详解】 本次接受调查的初中学生人数（人）． 根据题意，得 解得 这组数据中出现次数最多的数据为，所以众数为． 这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和，所以这组数据的中位数为． 故答案为：，，， 【小问2详解】 【小问3详解】 （人） 所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人． 26. 2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车．据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． （1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； （2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆． ①设购进“晨光”型汽车辆，80辆车全部售完的获利为W万元，求W与的关系式； ②根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和“清风”型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】（1）“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元； （2）①；②该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使最大，最大为450万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设“晨光”型汽车进货单价为万元，“清风”型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①根据题意得出；②求得，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设“晨光”型汽车的进货单价为万元，“清风”型汽车的进货单价为万元， 由题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元； 【小问2详解】 解：①设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆， ； ②由题意得：， ， 随的增大而减小， 当，取最大值，最大值， 此时，， 答：该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使最大，最大为450万元． 27. 在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点． （1）如图，点的坐标为_________，点的坐标为________； （2）如图，过点作轴的平行线，是上一点，且位于轴上方，若，求点坐标； （3）如图，点是轴正半轴上的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由点的坐标以及勾股定理求出相关线段的长度，根据线段垂直平分线的性质列出方程求解； （2）假设，利用割补法列出方程求解； （3）根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质以及轴对称的性质进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴假设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵点位于轴的正半轴， ∴； 假设， ∵垂直平分线段， ∴， ∴由勾股定理得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作矩形， ∵过点作轴的平行线，是上一点，且位于轴上方， ∴假设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为； 【小问3详解】 解：①如图，当时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点在轴上，且， 设， ∴， 解得， ∴， ∴； ②如图所示，当时，点在直线上， ∵， ∴， 作，在轴上， ∴， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年初二年级下学期期末考试（数学）试卷 卷面分值：120 答题时间90分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. a，b，c为的三边，下列条件能判断是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组数中，是方程2x+y＝7的解的是（　　） A. B. C. D. 4. 学校至善服务队有6位学生参加志愿者服务次数分别为：10，8，9，7，9，9，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A. 6 B. 3 C. 9 D. 4.5 7. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 9. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①同位角相等； ②若，，则； ③如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补； ④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 12. 已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 13. 如果点P在y轴正半轴上，且它到x轴的距离为2，那么点P的坐标是______． 14. 若点与点关于y轴对称，则______． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 16. 若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 17. 关于，的方程组有无数多个解，则___． 18. 如图，点A、B、C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是_____． 19. 如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 20. 如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______． 三、解答题（共7小题，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解方程组： （1）； （2）． 23. 已知点，解答下列各题． （1）若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； （2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的立方根． 24. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 25. 某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________，这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________； （2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． （3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 26. 2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车．据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． （1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； （2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆． ①设购进“晨光”型汽车辆，80辆车全部售完的获利为W万元，求W与的关系式； ②根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和“清风”型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 27. 在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点． （1）如图，点的坐标为_________，点的坐标为________； （2）如图，过点作轴的平行线，是上一点，且位于轴上方，若，求点坐标； （3）如图，点是轴正半轴上的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $