精品解析：黑龙江省牡丹江市初中课改联盟第三子联盟2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2024-2025学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 一组邻角互补的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 D. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 4. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则这组数据下列说法正确的是（　　） A. 平均数是30岁 B. 中位数是31岁 C. 众数是29岁 D. 方差是2 5. 如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A. B. C. 只有两条边长为无理数 D. 边上的高为 6. 关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A. 图象必经过 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 若，在图象上，则 D. 图象向上平移1个单位长度得解析式为 7. 将一个小圆柱形的空水杯固定在一个大圆柱形的空水杯中，看作一个容器，对准小圆柱形的空水杯匀速注水，如图所示，在注水过程中，则容器的最高水位h（）与注水时间t（）的函数图象大致为图中的（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，边长为1的正方形中，点E、F分别在上，交于点M，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 13. 已知一组数据3、7、8、x、4的中位数是4，那么这组数据的唯一众数是________． 14. 已知函数是正比例函数，则___________． 15. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k的值是___． 16. 如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 17. 如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ． 18. 如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是___________． 19. 正方形中，点为对角线上的一个动点，连接，并延长交射线于点，连接，若为等腰三角形，则_________． 20. 如图①，“快乐勾股树”是以含的直角三角形的三边向外作正方形得到的图形，图①中阴影三角形是“快乐三角形”．快乐三角形，快乐三角形，快乐三角形，…，重复数次操作后，按照图②方式摆放，已知图②中，，则快乐三角形的面积是___________． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点），请你仅用无刻度的直尺，完成下面的画图（只保留作图痕迹，不写作法）． （1）画一个以为边的正方形，顶点均在格点上； （2）直接写出正方形的面积为___________． 23. 定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． （1）在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） （2）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 24. 2025年1月，DeepSeek人工智能成功出圈，使我国的AI技术在全球人工智能领域备受关注，对人类社会、经济、文化、科技等领域产生深远影响．某校为了提高学生的科技创新能力，开展“万物皆可AI”为主题的校园创客大赛，为了解学生“最喜爱的创客项目”的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（规定每人必须选择且只能选一项），并将调查结果绘制成如下统计表和不完整的统计图． 组别 A B C D E 项目名称 创意设计（） 动漫设计（） 机器人（Robotics） 手工创意（） 创意程序设计（） 根据以上信息，请回答下列问题： （1）本次抽样调查共随机抽取了___________名学生； （2）请将图①和图②补充完整； （3）在扇形统计图中，B组对应的圆心角度数为___________； （4）若该校共有学生1200人，根据调查数据，估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有多少名． 25. 在菱形中，点E是直线BD上一点，当时，如图①，易证：．当时，如图②；当时，如图③，请分别写出线段之间的数量关系、并选择图②或图③进行证明． 26. 2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： （1）求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； （2）为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 27. 一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； （2）求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 28. 定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． （1）求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； （2）动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2024-2025学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式；根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数中的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意； D、 被开方数不含分母，且因式和的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法和乘除运算，根据二次根式的性质和二次根式的加法和乘除运算法则求解即可． 【详解】A．，故错误． B．，故B正确． C．，故C错误． D．（除非），故D错误． 故选：B． 3. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 一组邻角互补的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 D. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，相邻两角互补的四边形不一定是平行四边形，如梯形；再结合特殊四边形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形中相邻两角互补只能推出一组对边平行，但无法保证另一组对边平行，因此不一定是平行四边形（例如梯形），故选项A不正确； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B正确； C、有一个角为直角的平行四边形是矩形，故选项C正确； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项D正确； 故选：A． 4. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则这组数据下列说法正确的是（　　） A. 平均数是30岁 B. 中位数是31岁 C. 众数是29岁 D. 方差是2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，通过计算数据的平均数、中位数、众数和方差，逐一判断各选项的正确性即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、平均数为，故A错误； B、排序为：29，29，31，31，31，32，故中位数为，故B正确； C、数据中出现次数最多的为31，故众数是31，故C错误； D、方差为：，故D错误； 故选：B． 5. 如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A. B. C. 只有两条边长为无理数 D. 边上的高为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 6. 关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A. 图象必经过 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 若，在图象上，则 D. 图象向上平移1个单位长度得解析式为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，包括点是否在图象上、图象所经过的象限、函数的单调性以及图象的平移，根据一次函数的定义和性质逐一判断各选项． 【详解】A．当时，， ∴点不在图象上，A错误； B．∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误； C．∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴，故不成立，C错误； D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确． 故选：D． 7. 将一个小圆柱形的空水杯固定在一个大圆柱形的空水杯中，看作一个容器，对准小圆柱形的空水杯匀速注水，如图所示，在注水过程中，则容器的最高水位h（）与注水时间t（）的函数图象大致为图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象．根据用一注水管向空水杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的函数图象． 【详解】解：一注水管向小圆柱形的水杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大圆柱形的水杯内流，这时水位高度不变， 当两个水杯水面高度一致后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比变慢． 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 连接、，根据四边形是菱形，可得，，是等边三角形，又点M恰好为边的中点，得，在中，，设，则，在中，有，即可解得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点， ∴， 在中，， 设，则， ∵沿翻折得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：A． 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，再由的图象可得的符号，比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由正比例函数的图象可知，故此选项正确； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误． 故选：A． 10. 如图，边长为1的正方形中，点E、F分别在上，交于点M，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】过作，证明，则，通过角度代换可证明①正确；连接交于，可证明，则，根据正方形对角线相等且平分则可证明③正确；作交于，，，可证明，，则可证明④正确；延长至，使，连接，可证明，则设， 因为正方形边长为1，则，由勾股定理得，整理可证明⑤正确；可证，因为，所以，则，故②正确． 【详解】解：过作， ∵在正方形中， ∴，， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ， 故，①正确； 连接交于， ∵在正方形中， ，， ， 由①得， ， ∵， ， 又∵， ， ， ，故③正确； 作交于，，， 则四边形和四边形皆为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∵, 皆为等腰直角三角形， ， 由勾股定理可得， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 延长至，使，连接， ， ，， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， 设， ∵正方形边长为1， ∴， 由勾股定理得 ， 即，故⑤正确； ∵， ， ， ， 即 ，故②正确． 综上①②③④⑤都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解二元方程，掌握相关知识、灵活作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知一组数据3、7、8、x、4的中位数是4，那么这组数据的唯一众数是________． 【答案】3或4##4或3 【解析】 【分析】根中位数是4，可得x=3或4，再根据众数的定义判断即可． 【详解】解：因为一组数据3、7、8、x、4的中位数是4， 当数据重新排列为：3、x、4、7、8 所以x=3或4， 所以这组数据的唯一众数是3或4． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 14. 已知函数是正比例函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为（其中），因此指数必须为 1 且系数不为零，由此计算即可得解，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k的值是___． 【答案】或 【解析】 【详解】试题分析：把y=0代入y=kx+b得ax+b=0，解得，∴B点坐标为（，0）． 把A（1，2）代入y=kx+b得k+b=2，则b=2﹣k．∴B点坐标为（，0）． ∵S△AOB=4，∴|，即|或． 16. 如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据图像求不等式的解集．直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图像可知，关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 17. 如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积求法，三角形面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线，找准有最小值时的点位置是解题的关键．先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作于，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ，， 四边形为菱形， 点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于，过点作于，则， ，， ， 即， 解得， 为的中点，， 为的中位线， ， 故的最小值为． 故答案为：． 19. 正方形中，点为对角线上的一个动点，连接，并延长交射线于点，连接，若为等腰三角形，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：当点E在BC的延长线上时，首先利用等腰三角形的性质得出CP=CE，易得，由正方形的性质得出，再证明，得出，进一步得出的度数；当点E在BC上时，同理得出结论． 【详解】解：当点E在BC的延长线上时，如下图： 为等腰三角形，则CP=CE， ∴ ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点E在BC上时，如下图， 为等腰三角形，则PE=CE， ∴ ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，数形结合，利用方程思想和分类讨论是解答此题的关键． 20. 如图①，“快乐勾股树”是以含的直角三角形的三边向外作正方形得到的图形，图①中阴影三角形是“快乐三角形”．快乐三角形，快乐三角形，快乐三角形，…，重复数次操作后，按照图②方式摆放，已知图②中，，则快乐三角形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质． 作，交的延长线于点H，则，由勾股定理求出，从而，再求出，利用三角形面积公式求出，然后得出即可求解． 【详解】作，交的延长线于点H，则， ∵由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算即可求出答案； （2）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 22. 如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点），请你仅用无刻度的直尺，完成下面的画图（只保留作图痕迹，不写作法）． （1）画一个以为边的正方形，顶点均在格点上； （2）直接写出正方形的面积为___________． 【答案】（1） 如图，正方形即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，勾股定理及其逆定理，正方形的判定和性质． （1）根据勾股定理及其逆定理、正方形的判定作图即可； （2）根据正方形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 由勾股定理可知，， ∴， 即， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 23. 定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． （1）在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） （2）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 【答案】（1）④ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“等直四边形”的定义是解此题的关键． （1）根据“等直四边形”的定义并结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项分析即可得解； （2）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再结合三角形内角和定理证明出，即可得证． 【小问1详解】 解：①平行四边形的对角线不一定相等，故不符合题意； ②矩形的对角线相等但不一定垂直，故不符合题意； ③菱形的对角线垂直但不一定相等，故不符合题意； ④正方形的对角线相等且互相垂直，故符合题意； 故答案为：④； 【小问2详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是“等直四边形”． 24. 2025年1月，DeepSeek人工智能成功出圈，使我国的AI技术在全球人工智能领域备受关注，对人类社会、经济、文化、科技等领域产生深远影响．某校为了提高学生的科技创新能力，开展“万物皆可AI”为主题的校园创客大赛，为了解学生“最喜爱的创客项目”的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（规定每人必须选择且只能选一项），并将调查结果绘制成如下统计表和不完整的统计图． 组别 A B C D E 项目名称 创意设计（） 动漫设计（） 机器人（Robotics） 手工创意（） 创意程序设计（） 根据以上信息，请回答下列问题： （1）本次抽样调查共随机抽取了___________名学生； （2）请将图①和图②补充完整； （3）在扇形统计图中，B组对应的圆心角度数为___________； （4）若该校共有学生1200人，根据调查数据，估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有多少名． 【答案】（1）20 （2）见解析 （3） （4）估计该校学生最喜爱A组和D组学生约有660名． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体的知识，本题难度不大，属于基础题型，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）从两个统计图中可以得到A组的有5名，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出D组的人数即可补全条形统计图，分别求得各组的占比可补全扇形统计图； （3）用乘以样本中B组所占的百分比即可求解； （4）样本估计总体，用1200人乘以样本中A组和D组所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：D组的人数为（名）， B组所占的百分比为， C组所占的百分比为， D组所占的百分比为， E组所占的百分比为， 补全图形如图： ； 【小问3详解】 解：（名）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计该校学生最喜爱A组和D组学生约有660名． 25. 在菱形中，点E是直线BD上一点，当时，如图①，易证：．当时，如图②；当时，如图③，请分别写出线段之间的数量关系、并选择图②或图③进行证明． 【答案】 如图②，． 证明：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴ ； 如图③，． 证明：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理等知识． 图②：连接交于点O，由菱形的性质得，进而证明，，求出，然后根据求解即可； 图③：连接交于点O，由菱形的性质得，进而证明，，求出，然后根据求解即可． 【详解】略 26. 2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： （1）求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； （2）为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 【答案】（1）每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； （2），总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台；最少费用是万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，则每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据题意列出一次函数解析式，并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米， ∴每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同， ∴， 解得：， ， 即每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； 【小问2详解】 解：∵购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，购进A型护冰机器人x台， ∴购进B型护冰机器人台， ∵B型护冰机器人不超过6台， ∴， 即， ∵每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元，购买总费用y万元， ∴， 可知随增大而增大， ∵， ∴总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台， 最少费用是（万元）． 27. 一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； （2）求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 【答案】（1）120，120 （2）； （3）甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据图象知点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米，据此可求得甲车行驶的速度；再求得各路段的距离； （2）先求得点，，利用待定系数法求解即可； （3）分四种情况讨论，根据题意结合图形列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 先明确折线N-P-R-E-F是甲车的对应图象，线段是乙车的对应图象， 其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程； 点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米； 又∵乙车在甲车出发1小时后出发，则甲车行驶1小时的路程为120千米， ∴(千米/小时)， 故甲车行驶的速度为120千米/小时； 段表示甲车在A地滞留1个小时， 点P表示甲车到达乙地， 此时，则甲车的行驶时间为小时； ∴B、A两地的距离为(千米)； 点M表示乙车达终点C地，则A、C两地的距离为480千米， ∴B、C两地的距离为 (千米)； 故答案为：120，120； 【小问2详解】 解：点P表示甲车到达A地，B、A两地相距360千米， 则点， 段表示甲车在A地滞留1小时，则点； 点E表示甲车由A地返回B地，用时(小时)， ∴点， 则甲车从A地返回B地对应线段为， 设的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴的解析式为； 【小问3详解】 解：由图象可知， ∴点， ∴乙车的速度为(千米/小时)， 设甲车出发t小时，两车相距40千米，则乙车行驶小时； 由（1）知，B、A两地距离360千米，B、C两地相距120千米，A、C两地相距480千米，甲车的速度为120千米/小时， ①在甲车由B→A过程中(此时两车相向而行）， 当时，甲车列达A地，（）， 由题意得或， 解得或； ②在甲车在A地滞留1小时时，此时， 当时，甲到达A地， 此时乙与A地的距离也就是它的路程为， ∴此段甲、乙两车不可能相距40千米，舍去； ③在甲车由A→C且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C时，即点M处，， 故此时，此段时，乙车先到达终点C， 由题意得， 解得，此段不符合题意舍去； ④乙车到达终点之后()， 此时乙车停在C地， 当甲，乙两车相距40千米时， 由题意得， 解得； 综上，甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 28. 定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． （1）求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； （2）动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）原一次函数中，根据“守望一次函数”定义求出， 代入解析式即可；联立原函数与“守望一次函数”求出“守望点”C的坐标； （2）分两种情况讨论，当在上运动，当在上运动，分别用含有的代数式表示 的底与高，进而表示出面积； （3）在（2）条件下，当时，在点处，根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况进行讨论，当时，当时，当时分别求解即可． 【小问1详解】 解： 其中 ，其“守望一次函数”为： 代入 得： ∴的 “守望一次函数”为 ； 联立原函数与“守望一次函数”求交点C： 解得 ， 故C点坐标为 ； 【小问2详解】 解：， 令，求得， 令，求得， ∴，， 作， 由勾股定理得，， ∵， 即， ， 的运动速度每秒个单位长度， 当在上运动，即时，， ； 当在上运动，即时，， ； 综上，函数解析式为： ； 【小问3详解】 解：在（2）条件下，当时，在点处，点N在坐标轴上， 根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形， 当时，如图，在原点处， 此时； 当时，如图， 设， ∴， ， ， ， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 当时，如图， 设， ∴， ∵， ， 解得：， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数，矩形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $