精品解析：广东清远市2025-2026学年第二学期高二年级供题训练数学试卷

2025～2026学年第二学期高二年级供题训练 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲、乙、丙、丁各自研究两个变量的样本数据，得到样本相关系数分别为，，，，则成对样本数据的线性相关程度最强的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以乙的线性相关程度最强. 2. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. 8.5 m/s B. 10 m/s C. 16 m/s D. 21.25 m/s 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】已知，求导得. 所以 m/s. 3. 现安排甲、乙、丙三位老师到，，，四个实验室工作，每位老师只能选择一个实验室，每个实验室不限制人数，则所有可能的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理求解即可． 【详解】甲、乙、丙三位老师依次选择，每位老师都有四个实验室可选， 所以共有种安排方法． 4. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 5. 已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的性质及方差的性质求解即可. 【详解】由题意可设，， 所以，解得. 若服从两点分布，则， 所以， 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用组合数性质求出的值，再利用组合数的性质计算即可. 【详解】因为，则， 所以 . 7. 在某高校社团活动中，名学生志愿者被安排到策划、宣传、后勤三项不同的工作中，若每项工作至少安排人，每人必须参加且只能参加一项工作，则不同的安排方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，再分配，进而根据分步乘法原理即可求解． 【详解】名学生志愿者被安排三项不同的工作，每项至少安排人， 则分组方式为（一组人，两组各人），或（两组各人，一组人）， 第一步：先分组，分组方式共有种； 第二步：再分配，三组被安排到三项不同的工作，即将三组全排列，共有分配方式种， 第三步：根据分步乘法原理，不同的安排方案共有种． 8. 生活中有各种不同的进制，在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7这八个数字来表示数值．例如，八进制数换算成十进制数是．那么八进制数换算成十进制数，则十进制数除以6所得的余数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】八进制数换算成十进制数为： ， 除以余，则除以余， 为奇数时，除以余， 为偶数时，除以余， 是偶数，故除以余， 故除以余． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个盒内有大小形状一样的四个粽子，其中两个为豆沙馅，两个为蛋黄馅，每次从盒中随机取出1个粽子，取出的粽子不放回，若事件为“第一次取到的粽子为蛋黄馅”，事件为“第二次取到的粽子是豆沙馅”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项 A，第一次共 4 个，蛋黄馅2 个, ， A 正确； 选项 B，事件：第一次蛋黄馅、第二次豆沙馅, ，B 正确； 选项 C，，C 正确； 选项 D，是第一次取豆沙馅，拿走 1 个豆沙后，剩余 3 个（1 个豆沙馅， 2 个蛋黄馅）， 所以,D 错. 10. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集的数据如下表所示．根据最小二乘法，得到的经验回归方程为，则（ ） 零件数（个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间（） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 A. 变量与正相关 B. 回归直线一定过点 C. D. 预测该车间用时可加工零件约217个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正相关的性质、样本中心点的性质，结合代入法进行求解即可. 【详解】A：由表格中的数据可知：随着变量的增加，变量也增加，因此变量与正相关，所以本选项说法正确； B：因为， ， 所以回归直线一定过点，因此本选项说法不正确； C：把代入中，得，所以本选项正确； D：把代入中，得，解得，所以本选项正确. 11. 设函数，则下列说法正确的是（） A. 当时， B. 曲线关于点对称 C. 若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 D. 若函数的导数为，的图象与轴交于，，三点，是函数图象上异于，，的一点，直线，，的斜率存在且分别为，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项：取中点换元，结合的取值范围判断与差值进而判断是否正确；B选项：代入中心对称定义式验证是否成立；C选项：联立方程后转化为二次方程根的分布，排除重根对交点个数的影响；D选项：对三次函数因式分解并设零点，借助韦达定理化简斜率之和，与导函数表达式对比. 【详解】已知，求导得， 选项A： 设， 令，则， 于是，代入， 化简得：， 当时， ，所以；且，故， 两者相乘得，即，所以， 即时，不成立，选项A错误. 选项B：，， 因此，满足中心对称定义，曲线关于点对称B选项正确； 选项C：联立和，整理得： 恒为一个交点，要使总共有个不同交点，需二次方程有两个不等且不等于的实根： ； 排除为二次方程根：， 此时二次方程根为，仅2个交点， 而，说明包含了这个不符合的点，C选项错误； 选项D： 设三个零点为，由韦达定理得，对任意点， 斜率： 求和得： 又，故，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】0.2 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，则， ， . 所以. 13. 某校开展数学竞赛培训，培训结束后进行测试，假设每名学生测试通过的概率均为，且每名学生测试是否通过相互独立．现从该活动中随机抽取名学生的测试情况，记这名学生中测试通过的人数为随机变量，的期望和方差分别为，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】每名学生测试通过概率独立且相等，因此通过人数 服从二项分布 ， 由二项分布的性质，期望 ，方差 ， 代入 ：，， 又，代入得：， 化简得 ，解得 ， 因此的最小值为. 14. 某科技公司计划向甲、乙两个研发中心派遣研发人员，其中算法工程师、硬件工程师、测试工程师三类岗位各有8个派遣名额．每类岗位的名额需全部分配，且每个研发中心每类岗位至少派遣1人，则甲研发中心所得到的三类岗位名额的个数之和等于乙研发中心所得到的三类岗位名额的个数之和的分配方法有______种．（用数字作答） 【答案】37 【解析】 【分析】先根据总名额数量确定甲、乙研发中心各自的总名额；因为每类岗位共8个名额，要分给两个中心且每个中心至少1个，所以要满足甲研发中心三类岗位名额之和等于乙的，即甲三类名额总和为12，设甲的算法、硬件、测试工程师名额分别为，问题转化为求不定方程的符合约束的正整数解的个数，可使用隔板法确定单类岗位分配的名额对应关系；问题转化为求满足“甲的算法工程师名额+甲的硬件工程师名额+甲的测试工程师名额=12”，且每个名额取值在1到7之间的正整数解的组数，再结合每个解对应的分配方法计数，可使用不定方程的解的个数求解. 【详解】三类岗位总名额为 ，要求甲研发中心所得到的三类岗位名额的个数之和等于乙研发中心所得到的三类岗位名额的个数之和， 因此甲中心三类名额总和必为 12； 设甲中心三类岗位的名额分别为 x，y，z，由题意：每个中心每类岗位至少1人，最多7人（乙中心至少1人）， 因此问题转化为求不定方程：  的正整数解的个数， 每个解对应一种不同分配方法（三类岗位不同，不同顺序为不同方法）； 不考虑上限 时，，正整数解的个数由隔板法得：， 不符合条件的情况：若存在变量 ，假设 ，令 ，则， 方程变为，正整数解个数为， 同理的情况各6种，共  种， 不存在两个及以上变量同时的情况（和最小为 ）， 故符合条件的解的个数为 ，即分配方法共37种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的展开式中项的系数． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求解即可； （2）此系数由三部分组成，利用展开式分别求出中常数项系数，再分别与相乘再相加即可. 【小问1详解】 令，得① 令，得② 由得． 【小问2详解】 的展开式中项的系数来自三类乘积， 即1乘的项，系数为； 乘的项，系数为； 乘的常数项，系数为； 三类系数相加得总系数为. 16. 已知函数的图象在点处的切线为，直线：． （1）若，求直线的方程； （2）若，且，求的单调区间． 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）先求导函数得，由，则，解得，求出切点和斜率利用点斜式即可得到直线的方程； （2）由，则，解得，所以，对函数求导，利用导数分析单调性即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， 易知直线：的斜率为1， 若，则，解得， 所以，， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知，若，则，解得， 所以，所以， 所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 17. 某新型芯片需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有8个，其中不合格的零件占总数的，从这批零件中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． （1）求的值； （2）对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为50元，每发现1个不合格品，需额外支出70元的处理费用．设本次检测的费用和处理费用的和为元，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 150 220 290 【解析】 【分析】（1）求解； （2）设抽到的不合格的零件数为，建立与的关系. 【小问1详解】 根据题意，这8个零件中有2个不合格零件，6个合格零件， ； 【小问2详解】 由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为0，1，2， 由题知，， 则，，， 所以随机变量的分布列为 150 220 290 ． 18. 某校组织“阅读伴我行”活动，意在增强学生的自主阅读意识，让阅读成为一种习惯．老师借此活动随机调查了50名学生每周自主阅读平均时间与本学期语文平均成绩，并将调查结果整理如下： 本学期语文平均成绩 每周自主阅读平均时间 不低于110分 低于110分 不低于 18 2 低于 6 24 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断学生的语文成绩与自主阅读时间有关联？ （2）高二某学生每天早上坚持晨读半小时，晨读科目为语文或英语．已知他第一天选择语文的概率为，选择英语的概率为．若他前一天选择语文，则后一天继续选择语文的概率为；若前一天选择英语，则后一天选择语文的概率为． （ⅰ）求该学生第二天选择语文的概率； （ⅱ）求从第1天到第15天中，该学生选择语文的概率小于选择英语概率的天数． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关联 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1． 【解析】 【分析】(1)作出列联表并写出零假设，代入相应公式求出值，根据与临界值的大小作出判断；（2）（ⅰ）第二天选语文分两种情况：第一天选语文且第二天也选语文、第一天选英语且第二天选语文，利用全概率公式进行计算；（ⅱ）记该学生第天选择语文的概率为，用全概率公式推导递推关系，然后构造等比数列求的通项，根据题中条件得出，代入通项化简不等式，分奇偶讨论，找出内满足条件的n. 【小问1详解】 （1）列联表如下： 本学期语文平均成绩 每周自主阅读平均时间 不低于110分 低于110分 合计 不低于 18 2 20 低于 6 24 30 合计 24 26 50 零假设：学生的语文成绩与自主阅读时间没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即学生的语文成绩与自主阅读时间有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 （2）（ⅰ）设表示该学生第天选择语文， 表示该学生第天选择英语， 则，，，， 所以该学生第二天选择语文的概率为． （ⅱ）记该学生第天选择语文的概率为，，， 根据题意得，，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ， 由题意，只需，即， 则，即， 当为偶数时，显然不成立； 当，，，…，时，考虑的解， 当时，显然成立； 当时，显然不成立， 由单调递减得，，…，时，显然也不成立， 综上，从第1天到第15天中，该学生选择语文的概率小于选择英语概率的天数为1． 19. 已知函数． （1）当时，求在上的零点个数； （2）证明：存在唯一极大值点，不存在极小值点； （3）当时，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2）证明：函数的定义域为． ， 令，得， 令，． 因为为增函数，为增函数， 所以在上单调递增，且， 当，；当，； 故对任意，直线与函数有且仅有一个交点， 设交点横坐标为， 当时，，则， 即，则在上单调递减； 当时，，则， 即，则在上单调递增； 所以存在唯一极大值点，不存在极小值点． （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到具体函数，因为函数零点对应方程的解，所以先求函数的导函数分析单调性，再结合端点函数值的符号判断零点个数； （2）先求的一阶导函数，因为极值点对应的变号零点，所以再构造函数求导，分析该函数的单调性、极限情况，确定零点的个数及左右符号变化，进而判断极值点类型； （3）代入化简不等式，因为不等式对任意恒成立，所以将不等式变形为新函数恒成立的问题，求的导函数，分类讨论参数b的取值，结合的值是否满足条件求解b的范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，，所以，， 所以，所以在上单调递减， 此时， 所以在上的零点个数为0． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，恒成立，即恒成立， 令，则， ①若，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时恒成立； ②若，由，得或， 所以当或时，，此时单调递增， 当时，，单调递减，且当时，，不满足题意； ③若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递增，且当时，，不满足题意； ④若，由，得或， 所以当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，，不满足题意； 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高二年级供题训练 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲、乙、丙、丁各自研究两个变量的样本数据，得到样本相关系数分别为，，，，则成对样本数据的线性相关程度最强的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. 8.5 m/s B. 10 m/s C. 16 m/s D. 21.25 m/s 3. 现安排甲、乙、丙三位老师到，，，四个实验室工作，每位老师只能选择一个实验室，每个实验室不限制人数，则所有可能的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在某高校社团活动中，名学生志愿者被安排到策划、宣传、后勤三项不同的工作中，若每项工作至少安排人，每人必须参加且只能参加一项工作，则不同的安排方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 生活中有各种不同的进制，在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7这八个数字来表示数值．例如，八进制数换算成十进制数是．那么八进制数换算成十进制数，则十进制数除以6所得的余数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个盒内有大小形状一样的四个粽子，其中两个为豆沙馅，两个为蛋黄馅，每次从盒中随机取出1个粽子，取出的粽子不放回，若事件为“第一次取到的粽子为蛋黄馅”，事件为“第二次取到的粽子是豆沙馅”，则（ ） A. B. C. D. 10. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集的数据如下表所示．根据最小二乘法，得到的经验回归方程为，则（ ） 零件数（个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间（） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 A. 变量与正相关 B. 回归直线一定过点 C. D. 预测该车间用时可加工零件约217个 11. 设函数，则下列说法正确的是（） A. 当时， B. 曲线关于点对称 C. 若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 D. 若函数的导数为，的图象与轴交于，，三点，是函数图象上异于，，的一点，直线，，的斜率存在且分别为，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 13. 某校开展数学竞赛培训，培训结束后进行测试，假设每名学生测试通过的概率均为，且每名学生测试是否通过相互独立．现从该活动中随机抽取名学生的测试情况，记这名学生中测试通过的人数为随机变量，的期望和方差分别为，，若，则的最小值为______． 14. 某科技公司计划向甲、乙两个研发中心派遣研发人员，其中算法工程师、硬件工程师、测试工程师三类岗位各有8个派遣名额．每类岗位的名额需全部分配，且每个研发中心每类岗位至少派遣1人，则甲研发中心所得到的三类岗位名额的个数之和等于乙研发中心所得到的三类岗位名额的个数之和的分配方法有______种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的展开式中项的系数． 16. 已知函数的图象在点处的切线为，直线：． （1）若，求直线的方程； （2）若，且，求的单调区间． 17. 某新型芯片需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有8个，其中不合格的零件占总数的，从这批零件中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． （1）求的值； （2）对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为50元，每发现1个不合格品，需额外支出70元的处理费用．设本次检测的费用和处理费用的和为元，求随机变量的分布列与数学期望． 18. 某校组织“阅读伴我行”活动，意在增强学生的自主阅读意识，让阅读成为一种习惯．老师借此活动随机调查了50名学生每周自主阅读平均时间与本学期语文平均成绩，并将调查结果整理如下： 本学期语文平均成绩 每周自主阅读平均时间 不低于110分 低于110分 不低于 18 2 低于 6 24 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断学生的语文成绩与自主阅读时间有关联？ （2）高二某学生每天早上坚持晨读半小时，晨读科目为语文或英语．已知他第一天选择语文的概率为，选择英语的概率为．若他前一天选择语文，则后一天继续选择语文的概率为；若前一天选择英语，则后一天选择语文的概率为． （ⅰ）求该学生第二天选择语文的概率； （ⅱ）求从第1天到第15天中，该学生选择语文的概率小于选择英语概率的天数． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数． （1）当时，求在上的零点个数； （2）证明：存在唯一极大值点，不存在极小值点； （3）当时，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $