广东深圳市龙岗区龙城高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高二期末数学试卷，以龙城中学课表排列、新能源汽车调查等真实情境为载体，覆盖函数、概率统计、圆锥曲线等核心知识，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求导、排列组合、圆与直线位置关系|结合校园情境（课表排列）考查应用能力| |多选题|3/18|随机变量分布、二项式定理、函数零点|设置多维度选项考查逻辑辨析| |填空题|3/15|正态分布、椭圆离心率、期望计算|聚焦数学语言表达（如离心率求解）| |解答题|5/77|数列求和、独立性检验、导数应用、双曲线综合|16题以新能源汽车调查考查数据观念，19题设计双曲线定点证明与存在性探究，体现逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试试卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设函数，则（   ） A． B． C． D． 2．龙城高级中学高二某班周二上午安排语文、数学、物理、自习和英语五节课，要求数学课和自习课必须相邻，则该班周二上午可能的课表排法有（    ）种. A．12 B．24 C．48 D．120 3．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．龙城高级中学的同学5月利用教室平板向豆包提问统计情况如下：文史类占总提问的40%，回答正确率为90%；理学类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，豆包回答这两类问题正确的概率为（    ） A．0.72 B．0.8 C．0.84 D．0.9 5．已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（    ） A．-1 B．-2 C． D． 6．已知随机变量服从二项分布即，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知为等比数列的前项和，且公比．若将除以7所得余数记为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．设集合，那么集合中满足条件 “”的元素个数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 0 1 2 9．已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知二项式，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中系数大于的项共有项 B．展开式中所有项的二项式系数之和为 C．展开式中的常数项为 D．展开式中所有项的系数的绝对值之和为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．，使得在上有且仅有一个零点 B．，函数均有单调递减区间 C．当时，过点有且只有一条直线与曲线相切 D．，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 13．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 14．甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，甲或乙选中的选修课门数记为，则的数学期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知数列的前n项和为，，且数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 16.（15分）为了更好了解深圳市居民对新能源汽车的接受程度，深圳市某汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 (1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验判断选择新能源汽车与年龄是否有关联； (2)该汽车协会根据统计数据，用最小二乘法得到深圳市新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与的样本相关系数，并据此判断深圳市新能源汽车销售量与年份的线性相关性的强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： 17．（15分）已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 18. （17分）某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． (1)(i)求和； (ii)证明：对任意正整数s，t恒成立． (2)若平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券．求平台赠送该用户的优惠券金额的期望． 19．（17分）已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． (1)求的方程； (2)已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； (3)设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 高二年级 数学学科 第 页，共4页1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二期末数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C D B B D BC BCD ACD 12.0.2 13. 14. 7.【详解】由等比数列，得.从而， 所以， 由二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2，即. 8.【详解】分以下三种情况讨论， （1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有个元素； （2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； （3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； 综上所述，集合共有个元素. 故选D. 9.【详解】依题意，解得，所以A选项错误，B正确. ，所以 ，C选项正确. ， 所以，所以D选项错误. 10.【详解】二项式的展开式通项为，其中． 对于A，系数大于0时需满足，即为偶数，可取，共项，A错误； 对于B：展开式所有项的二项式系数之和为，B正确； 对于C：令，解得，代入得常数项为，C正确； 对于D：展开式所有项系数的绝对值之和等价于的所有项系数和，令，得，D正确． 11. 对求导可得， 选项A：，当时，，则在上单调递增， 此时在上没有零点； 令，解得或. 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即. 若在上有且仅有一个零点，则，解得，故A正确； 选项B当时，恒成立， 函数在上单调递增，没有减区间，故B错误； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程可得， 即，解得， 所以有且仅有一条直线与曲线相切，故C正确； 选项D：当时，关于点对称. ,故D正确. 14.【解法1】的可能取值为3,4,5,6，则 ，， ，. . 【解法2】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，，则， 又， 则． 15.【详解】（1）由，得， ………………………………………1分 当时，，……………………………4分 因为时，满足上式， …………………………………………………………5分 所以数列的通项公式为. ……………………………………………………6分 （2）证明：，……………………………9分 所以 ，……………………………………………………………………12分 因为，所以，所以.………………………………………13分 （说明：由，可直接得13分） 16.【详解】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 …………………………………………………………2分 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关．………………………………………3分 则， …………………………………6分 因此依据的独立性检验，没有充分的证据认为不成立，故成立，即选择新能源汽车与年龄无关； …………………………………8分 （2）因为，………………………9分 所以， …………………………………………………12分 又， 所以，…………………………………………………………14分 故与线性相关性较强． ………………………………………………………………15分 17.【详解】（1）因为， 所以，，即切点为，又，…………………2分 所以切线方程为， ………………………………………………3分 当时，；当时，. ……………………………………………5分 切线与坐标轴围成的三角形面积为.……………………………………6分 （2）因为，函数有两个零点， 等价于曲线与直线有两个交点， ……………………………7分 又，……………………………………………………8分 当时，，所以在上单调递减，………………………9分 当时，，所以在上单调递增，………………………10分 所以时，取得极小值， ……………………………………11分 又时，， ………………………………………………………12分 且当时，，当时，， ………………………………13分 所以的图象如下所示： ……………………………………14分 由图可得实数的取值范围为．………………………………………15分 18. 【详解】（1）（i）则，………………………………2分 ；……………………………………………………………4分 (ii)解法1：由题意知即求前辆车都没有接单的概率. .…………………………………………………………………6分 对任意的正整数s，t．…10分 解法2：由题意知，， 所以，对任意的正整数s，t． ……………………………10分 （2）由（1）知，， ………13分 平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为， …………………………14分 则，……………………………………………15分 所以，………………………………………………………16分 即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元.……………………………………………17分 19.【详解】（1）设，到渐近线的距离为1，则．解得， 由已知及，解得，， 所以的方程为． ……………………………………………3分 （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零，设其方程为，……4分 与联立，消去并整理得， ……………………5分 则，且，即，且． ……………………6分 设，，则， 则，，， ……………………7分 直线的方程为， ……………………8分 令，得， ……………………9分 所以直线过定点． ………………………………………………………………10分 （3）设过点，与只有一个公共点，且与的渐近线不平行的直线方程为， ……………………………………………………11分 与联立，消去整理，得. …12分 则，且，即， ………13分 整理得， ……………………………………………………14分 设的斜率分别为，则是上面关于的方程的两个实根， 所以，整理得， ………………………………………15分 所以动点在椭圆上，且点为其右焦点， ………………………………16分 所以存在定点（椭圆的左焦点），使得，为定值． ……………………………………………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $