河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

★2026年7月9日 2025—2026学年普通高中高二下学期期末教学质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列的前项和公式为，则 A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 5．若随机变量，则 A． B． C． D． 6．某数学建模活动小组为测量郑州市寿圣寺双塔塔尖之间的距离，构建了如图所示的几何模型（点，分别代表两座塔的塔尖位置）．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为 A．80米 B．120米 C．米 D．米 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为 A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围可能为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．为了解某款新型“智能手环”的销售状况，创新实践小组对该产品上半年的销售情况进行了调查，部分数据为：1月份销量万件，2月份销量万件，3月份销量万件．已知第二季度销量比第一季度多万件．设月份为，销量为（万件），经过回归计算得到线性回归方程为，则下列说法正确的有 A． B．该组数据的线性相关系数为，故相关性很弱 C．根据回归方程，推测月份销量为万件 D．月份销量的残差为 10．已知，是概率均不为的随机事件，下列说法正确的有 A．若，则事件与事件互为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 11．声音的合成在音乐、信号处理中十分常见．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，记，则下列说法正确的有 A．的最小正周期为 B．在区间上恰有个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为_________． 13．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 14．在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 16．（15分）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． （1）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的标准方程． （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 18．（17分）某学校举办书法比赛，共有幅作品．评委首先按质量从高到低排序，最优者为第1名，次优者为第2名，…，最差者为第名．一周后，评委遗忘之前排序，再次对这幅作品按质量排序．设第一次排序中排名为的作品在第二次排序中的名次为（是，，…，的一个排列）．定义用以衡量两次排序的偏离程度． （1）当时，若评委两次排序完全随机（即所有排列等可能），求的所有可能取值集合． （2）取，假设评委仅凭随机猜测排序，且各轮测试相互独立． ①求的分布列与数学期望． ②若某评委在连续三轮测试中，每次都有，计算这一事件发生的概率．根据该概率，能否认为该评委具有较好的质量鉴别能力？请说明理由． 19．（17分）已知函数，，． （1）讨论在上的单调性． （2）若任意都有恒成立，求实数的取值范围． （3）已知数列满足，其前项和为，利用（2）中的结论，证明：对任意正整数，都有． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年普通高中高二下学期期末教学质量检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．CD 11．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．3 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为． 因为，，所以，即． 因为，所以． 联立解得或（舍去）． 4分 所以，． 6分 （2）由（1）知，，所以单调递增． 所以①， 则②． ①-②，得，所以． 10分 因为，所以解不等式，即（*）． 逐项验证（*）式， 当时，，成立；当时，，成立； 当时，，成立；当时，，成立； 当时，，不成立． 所以满足的最大正整数为4． 13分 16．【解析】（1）取的中点，连接，则．以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过点作平行的直线为轴，建立空间直角坐标系． 由题意，得，，则，，，， ，． 2分 设，由，，，得，即． 4分 所以，．若，则，即．解得，满足，符合题意． 所以存在，使得． 6分 （2）若，则． 7分 设平面的一个法向量为，则由，，得即令，则，，得． 10分 设平面的一个法向量为，则由，，得即令，则，，得． 13分 设平面与平面所成的锐二面角为，则由夹角公式可得． 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 15分 17．【解析】 （1）由题意，得焦距，即，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，即，得．所以． 所以椭圆的标准方程为． 5分 （2）法一：设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即），代入椭圆方程，得，即． 设，，则，①． 8分 由，，得直线的方程为，直线的方程为，联立解得交点的横坐标②． 10分 将，，代入②得③． 11分 由①得，即④． 12分 将④代入③中，得． 14分 所以点的横坐标为4，即点在定直线上． 15分 法二：设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即），代入椭圆方程，得，即．设，，则，，可得①． 8分 由，，得直线的方程为，直线的方程为．联立②， 10分 消去，并整理得．将①代入等式左边，得．比较，系数，得解得． 14分 所以点的横坐标为，即点在定直线上． 15分 法三（仿射变换）：作变换，，则椭圆变为圆． 8分 点，，保持不变．过的直线变为过的直线，与圆交于．由圆的几何性质（相交弦定理或相似三角形）可知（同法二），直线与的交点的横坐标恒为． 12分 变换回原坐标，横坐标不变，则点的横坐标为，即点在定直线上，即点在定直线上，该定直线的方程为． 15分 18．【解析】（1）当时，的各种排列方式如下表： 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 0 2 2 4 4 4 所以的所有可能取值集合为． 4分 （2）①当时，所有排列共有种．首先需要计算每个排列的值．由于对称性，可以按置换的轮换结构或直接枚举．考虑到在，，，中奇数和偶数各有两个，则，中的奇数个数等于，中的偶数个数，那么与的奇偶性相同．所以必为偶数．而，且易知，所以的所有可能取值为，，，，． 6分 所以，，， ， 9分 所以的分布列为 0 2 4 6 8 所以的数学期望． 13分 ②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则． 15分 因为各轮测试相互独立，所以． 考虑到，该可能性非常小，根据概率的实际推断原理，这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生，从而我们认为该评委具有较好的质量鉴别能力． 17分 19．【解析】（1）由题意，得．记，定义域为，则．当，即时，，此时在上单调递增；当，即时，令，得，且在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 5分 （2）由（1）知，当时，在上单调递增，所以．所以在上单调递增，则，符合题意． 当时，在上单调递减，则．所以在上单调递减，，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 9分 （3）由（2）知，当时，对任意，恒成立，则．令，得．两边取对数，得．因为，所以． 11分 对于，，，…，，求和得．因为当时，有（设，则，且，所以在上恒成立）， 所以． 13分 又，且， 所以， ． 15分 因为， 所以． 所以． 所以对任意正整数，都有． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $