精品解析：河南信阳市罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期期末考前模拟测试数学试题

罗山县高级中学2025-2026学年度高二下期期末考前模拟测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 168 D. -168 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项为． 令，解得， 故的展开式中的系数为． 故选：C 2. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则（ ） A. －5或1 B. －5 C. －3 D. －3或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列， 所以，所以， 化简整理得，解得，或， 所以或． 故选：A 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 4. 若，，，则事件与事件满足（ ） A. 互为对立事件 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A，通过对立条件判断；B，通过并集的概率公式求解；C,D，通过条件概率公式求解并判断. 【详解】选项A，因为，所以，又，所以，两者不为对立事件，错误. 选项B，，错误. 选项C，，所以，正确. 选项D，，错误. 5. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】先确定分配人数只能是2，2，1，分组时注意除以消除重复，最后将3组全排列到3个不同社区 【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：， 则不同安排方法共有 6. 若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件设，，再利用和之间的关系即可求出. 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，且每次移动是相互独立的，共移动8次，则下列说法正确的是（ ） A. 质点回到原点的概率为 B. 质点回到原点的概率为 C. 质点位于6的位置的概率为 D. 质点位于6的位置的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】通过质点回到原点可知质点向右移动次，向左移动次，根据二项分布的概率公式，可判断AB；通过质点位于的位置可知质点向右移动次，向左移动次，根据二项分布的概率公式，可判断CD. 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每次等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动次，且每次移动是相互独立的，则. 质点回到原点，则， 所以质点回到原点的概率是，AB错； 当质点位于的位置时，则， ， 所以质点位于的位置的概率是，C错，D对. 8. 已知双曲线的两条渐近线分别为，点分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设于，作轴于H，利用，即可求出. 【详解】设于，作轴于H， 联立与，得， 因为P在第一象限，所以， 由渐近线的对称性可知，， 又，所以， 则， 又在中，，所以， 即，则，解得双曲线的离心率为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知等比数列的前项和为，公比为，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】，， 所以解得，，A错误. 因此,解得，B正确. ， ，解得，C错误. ，D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的求解步骤求解；对于B，由方差可得这组数的均值，据此得到总和即可；对于C，根据二项分布求出，再利用方差的线性关系计算即可；对于D，根据正态分布的对称性计算概率即可． 【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27， 由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数， 即，故A错误； 对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确； 对于C，易得，则，故C正确； 对于D，若服从正态分布， 则，故D正确． 11. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】求得导函数，即可求得切线的斜率，进而将代入函数解析式可知点在曲线上，即可由点斜式得切线方程. 【详解】曲线， 则， 所以， 将代入函数解析式可得，即点在曲线上， 所以该函数在点处的切线方程是， 即切线方程为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的集合意义，切线方程的求法，属于基础题. 13. 若数列的前项和，则的通项公式是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过，分类讨论可求得通项公式. 【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 14. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将题意转化为，即存在两个不同的零点，设，分和，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案. 【详解】令，得， 设，显然在上单调递增， 而，则， 依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】（1）连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 16. 已知数列的首项的前项和为，且． （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由的关系，通过作差法即可求证； （2）通过求导，结合错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又，即 所以数列是公比和首项均为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1），所以， 所以， 所以， 设 所以， 所以， 所以， 所以． 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】(1)对a分类讨论求解单调性. (2)通过不等式恒成立条件化简构造新函数，并通过单调性求解a的范围. 【小问1详解】 因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 18. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 4 期望为【解析】 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数表达式，进一步即可求解最小值； （2）的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以当时，的最小值为． 【小问2详解】 由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望． 19. 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式可求出，然后根据离心率求出，进而可得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理，将直线的方程表示出来，进而可求得定直线的方程；（ii）根据直线的斜率将表示出来，然后利用基本不等式的性质求出最大值. 【小问1详解】 由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗山县高级中学2025-2026学年度高二下期期末考前模拟测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 168 D. -168 2. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则（ ） A. －5或1 B. －5 C. －3 D. －3或1 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则事件与事件满足（ ） A. 互为对立事件 B. C. D. 5. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 6. 若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，且每次移动是相互独立的，共移动8次，则下列说法正确的是（ ） A. 质点回到原点的概率为 B. 质点回到原点的概率为 C. 质点位于6的位置的概率为 D. 质点位于6的位置的概率为 8. 已知双曲线的两条渐近线分别为，点分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（       ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知等比数列的前项和为，公比为，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程是__________ 13. 若数列的前项和，则的通项公式是________． 14. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 16. 已知数列的首项的前项和为，且． （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数． 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围. 18. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 19. 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $