精品解析：河南省信阳市固始县永和高中联考2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年永和中学第二学期高二年级期末考试 数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短. 【详解】令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 故选：A 5. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 96 B. 144 C. 480 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择， 所以共有种涂色方案. 故选：B 6. 已知函数 则 在处的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用曲线在某一点的切线求解切线方程即可. 【详解】 令， 则，， 所以在处的切线方程为， 即. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据及将已知化简，再根据辅助角公式结合余弦函数的性质求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】 ， ， 因为， 所以， 所以， 即，即， 所以或，， 所以， 故， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：给值求值的方法： （1）直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角的和或差的形式； （2）常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称之为常值代换，其中要特别注意的是“”的代换，如，，等，、、、、等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用； （3）角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有： ，，， ，， ，等. 8. 若抛物线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是的焦点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可. 【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆右焦点为， 则根据题意得轴， ，则，则，当时，，则， 则，代入椭圆方程得，结合，不妨令； 解得，则其离心率， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 曲线关于直线对称 D. 函数为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照余弦函数的性质逐一进行判断. 【详解】的值域为，的最小正周期，A，B均正确. 因为，所以曲线不关于直线对称，C错误. 因为，所以为奇函数，D正确. 故选：ABD 10. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B. C. 若 ，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由两边同时取倒数即可证明 是等差数列，判断选项A；从而得到的通项公式，即可判断选项B；由，裂项相消即可求解判断选项C；由 是等差数列，其前项和为，即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 即，所以 是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； ，所以，故B错误； 若 ， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：AC. 11. 今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为 B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为 C. 甲获得奖品的概率为 D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得. 【详解】设，，，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件， 设表示再抽到的小球的颜色是红的事件， 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为： ，故A正确； 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为： ，故B错误； 由题意可知，， ，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为： ，故C正确； 因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同， 则， ， ， 所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】通过赋值法即可求解. 【详解】将代入原式得：①， 将代入原式得：②， ①②得：，即. 故答案为： 13. 已知曲线（为自然对数的底数）在处的切线，与曲线相切，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出曲线在处的切线方程，再根据该直线与相切，可求的值. 【详解】由，当时，. 又，所以. 所以曲线在处的切线方程为：即. 由与相切， 所以抛物线的顶点在轴上. 所以. 故答案为：0 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式列出方程求解. 【详解】由，得；由，得，而， 由，得， 即，解得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 3月9日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重､管好体重，健康饮食､积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的想法，随机调查了400名居民，得到如下列联表： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 （1）求的值，并完成上述列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？ （3）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）, 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 （2）有关 （3） 【解析】 【分析】（1）由表，得，可得，再填表即可； （2）根据列联表，求得值，再与临界值表对照下结论； （3）先求“有减肥想法”的概率为，再用二项分布期望公式计算. 【小问1详解】 列联表中部分数据补充如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 400 由上知，有，可得， 完成列联表如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 【小问2详解】 零假设为：性别与是否有减肥的想法无关， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故能认为性别与是否有减肥的想法有关； 【小问3详解】 由表格中的数据知，从男性居民中抽取1人，其“有减肥想法”的概率为， 的取值可以是0，1，2，3，4，且， 所以. 16. 已知数列满足，数列满足. （1）求数列的前项和； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求和. （2）由恒成立的不等式分离参数，构造新数列，探讨春单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，， 则，令， 于是， 两式相减得：， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 整理得，令，显然，， 当时，，当时，，于是， 因此，，则， 所以的取值范围是. 17. 如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点． （1）求证：平面平面； （2）M为底面圆O的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 设交于点，因为为圆锥底面的直径， 所以由垂径分线定理可知， 又因为为底面圆O的内接正三角形， 所以，即点是的中点， 又因为点E为线段中点，即是三角形的中位线， 所以， 由题意面， 所以面， 又因为面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 显然可取平面的一个法向量为， 因为，等边的边长为， 所以由正弦定理得圆的半径为，从而，即， 而，所以，即， 因为为等边三角形，是三角形的中位线， 所以，即， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 从而. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值： （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； （3）若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】（1）； （2）增函数，理由见解析，最大值为，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在上是奇函数，则， 即，可得，解得，故. 【小问2详解】 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况分析判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）（i）设点和点，不妨设，然后根据导数的几何意义分别求出在两点处的切线，的方程，假设与重合，然后列方程组消去，得，化简后构造函数讨论即可；（ii）先解决对于，不等式恒成立，令，则在上恒成立，由，解得，然后利用证明当时，在上恒成立，从而可求出，使得成立时，的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，则当时，，单调递增； 则当时，，单调递减； 综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 （i）由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得，. 两式消去，得，则， 令，，由， 所以在上单调递增，所以，即无解， 所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，先解决对于，不等式恒成立， 令，，则在上恒成立， 由，解得. 下面证明当时，在上恒成立. 则当时，，令， 则， 则当时，由，，则， 则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为. 所以，使得成立时，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为求对于，不等式恒成立，即求原命题的否定后的的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年永和中学第二学期高二年级期末考试 数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 96 B. 144 C. 480 D. 600 6. 已知函数 则 在处的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是的焦点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 曲线关于直线对称 D. 函数为奇函数 10. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B. C. 若 ，则 D. 11. 今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为 B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为 C. 甲获得奖品的概率为 D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，则________ 13. 已知曲线（为自然对数的底数）在处的切线，与曲线相切，则______． 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 3月9日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重､管好体重，健康饮食､积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的想法，随机调查了400名居民，得到如下列联表： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 （1）求的值，并完成上述列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？ （3）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列满足，数列满足. （1）求数列的前项和； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点． （1）求证：平面平面； （2）M为底面圆O的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值： （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； （3）若函数满足不等式，求出的范围． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $