贵州贵阳市清华中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性测试数学试题

贵阳市清华中学2025-2026学年高二下 4月阶段性测试数学试题 姓名： 满分：150分时间：120分钟得分： 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)已知集合U={x∈ZIx2-4≤0，M={-1,1,N={1,2, 则(CuM)UN=() A.{0,1,2} B.{-2,0,2} C.{-2,2} D.{-2,0,1,2 2.（本题5分)若复数z=1-i的共轭复数为z,则+z=() A.2-2i B.2+2i C.-1+i D.3-i 3.(本题5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a5+ag=15,则 Sg=() A.45 B.27 C.20D.18 4.(本题5分)在x(1十x)6的展开式中，含x3项的系数为( A.30 B.20 C.15 D.10 5.(本题5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a+b= 2 ccosB,则C=() A.8 B.9 C. p.答 6.(本题5分)某班在星期三上午有四节课，下午有两节课，现要安排 一天中语文、数学、英语、物理、化学和体育6节课的课程表，要求数学必 须排在上午，体育排在下午.则不同的排法总数是() A.192 B.120 C.96 D.72 7.(本慰5分)已知F,F2是双曲线蜡-兰=1的左、右焦点，在双曲线 上存在点P满足∠F1PF2=2,且2PF1l=3PF2,则双曲线的渐近线方 程为() A.y=±2x B.y=±V2x C.y=±V3x D.y=±2V3x 8.(本题5分)已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在点(1，f(1)处的切线为 l,若与圆(x+2)2+y2=1相切，则a的值为() A.1或3 B.V5或-2 C.1或好 D.2或 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)下列求导数运算结果正确的是() A.(cos)'=-sin写 B.(xsinx)=sinx +xcosx C.(Inx)= x D. ('= 10.(本题6分)已知函数f(x)=x2-mx+lnx是单调递增函数，则m 的取值可以是( ) A.-2V2 B.2V3 C.-3v2 D.2W5 11.(本题6分)已知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,ω>0，lpl<) 的部分图象如图所示，则() 57元 A.x=-是f()的一条对称轴 B.函数f)在，引上的值域为[引 C.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标 不变，得到的函数图象关于点(，0)对称 D.函数y=f(x)在[0,2π上既有2个极大值点，也有2个极小值点 三、填空题（共15分） 12.(本题5分)若f(x)=x3-x+3在x=1处的切线为l,直线的倾 斜角为6，则os0-2sin6 cos0+sin 13.(本题5分)设点F为抛物线y2=4x的焦点，过(5,0)的直线交抛物 线于A,B两点，若引AF=5,则△ABF的面积是 14.(本题5分)已知函数f(x)=e*-3x+a有零点，则a的取值范围是 第1页共2页 回 第2页共2页 四、解答题（共77分） 15.（本题13分)四名男生与三名女生共七名同学站成一排 ()若女生甲既不站排头，也不站排尾，共有多少种不同的站法？ (2)若三名女生互不相邻，不同站法有多少种？ (3)求女生甲与男生乙之间恰好相隔一人的概率. 16.(本题15分)(13分)在(2反-)的展开式中， (1)求第3项的二项式系数及系数： (2)求含x2的项的系数. 17.(本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形， ∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD,E是PC的中点 C δ (1)证明：AC1平面BDE. (2)若AB=AP=2,求二面角P-BD-E的余弦值. 18.(本题17分)已知椭圆C:茶+茶=1(a>b>0)的焦距为2，且过点 A(V2,). (1)求椭圆C的方程 (2)设B为椭圆C的右顶点，过点P(1,0)的直线1与椭圆C交于M,N两 点（异于点B).记直线BM,BN的斜率分别为k1,k2,证明：k1k2为定值 第3页共4页 ◎ 第4页共4页 19.(本题17分)已知函数f(x)=ax2-xnx(x>0) (1)若a=2,求f(x)在x=e处的切线方程； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的范围： (3)若f(x)=ax2-xnx有两个极值点，求a的范围. 《2026年4月17日高中数学作业》参考答 案 题 6 7 10 号 答 案 0 C B A D BC IAC 题 11 号 答 ACD 案 1.D 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、 并集的定义求解 【详解】解不等式x2-4≤0，得-2≤x≤2， 则U={-2,-1,0,1,2},而M={-1,1}, 因此CwM={-2,0,2},又N={1,2},所以 (CwM0UN={-2,0,1,2} 故选：D 2.B 【分析】根据复数的除法及加法运算计算即 可 【详解号+z=品+1+i= Q-0a+9+1+ i=2+2i 故选：B. 3.A 【分析】己知数列等差，用角标和性质和等 差数列求和公式求解即可， 【详解】因为{am}是等差数列，则a2+ag= 2a5=a1+ag,由已知a2+a5+ag=15, 可得a5=5,所以a1+ag=10, 所以5g=9x(a1+a2=9x10=45. 2 2 答案第1页 故选：A. 4.C 【分析】利用导数与函数单调性间的关系， 直接求出f(x)在[0，上的单调性，即可求解 【详解】因为f(x)=cosx-1≤0在区间 [0,上恒成立，当且仅当x=0时，取等号， 所以f(x)在区间[0，可上单调递减，则f(x) 在[0，而上的最小值是f(m)=sinπ-=-π， 故选：C 5.B 【分析】根据条件求得等比数列的通项为 a=(-2)”-1,进而可直接得出这10个数， 利用古典概率公式，即可求解。 【详解】易知等比数列的通项为an= a1q-1=(-2)n-1, 所以这10个数为1，-2,4，-8,16，- 32,64-128,256,-512, 则从这10个数中随机抽取一个数，这个数 小于8的概率是P= 故选：B. 6.A 【分析】根据“特殊元素优先法”进行排列即 可 【详解先从上午的4节课中选一节排数学， 有A}=4种排法： 再从下午的两节课中选一节排体育，有A2= 2种排法； 最后剩余4门课，没有限制条件，排法有 A1=24种排法. ,共8页 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法种 数有：4×2×24=192种. 故选：A 7.D 【分析】设PF2=m,结合双曲线的定义 可得m-m=2a,可求得|PFl= 6a,|PF2l=4a,结合勾股定理可得36a2+ 16a2=4c2,求解即可. 【详解】设PF2=m,又2PF1|=3PF2, 所以PF=m, 又P在双曲线上的一点，所以PF一 lPF2l=2a,所以m-m=2a, 所以m=4a,所以PFl=m= 6a,|PF2|=4a, 因为∠P1PF2=所以PP+|PF22= |F1F22,所以36a2+16a2=4c2, 所以36a2+16a2=4a2+4b2,所以g=12, 所以=2V3, 所以双曲线的渐近线方程为y=士2V3x. 故选：D. 8.c 【分析】利用导函数求出切线斜率，进而可 求出切线方程，再利用圆心到直线的距离等 于半径列方程可求出a的值. 【详解】由题意，f)=是+a,则f)= a-1, 因为f(1)=0+a=a,所以切线过点(1，a), 答案第2页 斜率为a-1, 则直线的方程为y-a=(a-1)(x-1)即 (a-1)x-y+1=0. 所以圆心(-2,0)到直线的距离d= 上2a-10+1=3-2al=1, a-02+ V(a-1)2+1 整理得3a2-10a+7=0,解得a=或1 故选：C 9.BC 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐 项求解判断！ 【详解】对于A,(cos)'=0,A错误： 对于B,(xsinx)'=sinx+xCOSx,B正确； 对于C,)=C正确： 对于D(的= 2xet-x2e= 2x-x2 (e)2 e,D错误 故选：BC 10.AC 【分析】由函数f(x)=x2-mx+lnx是单 调递增函数，可得f'(x)≥0在(0，+∞)上恒 成立，再利用分离参数法求解即可 【详解】f(x)=2x-m+1(x>0), 因为函数f(x)=x2-mx+lnx是单调递增 函数， 所以f(x)=2x-m+1≥0在(0，+0)上 恒成立， 即m≤2x+二在(0，+∞)上恒成立， 因为2x+≥22x1=22, X ,共8页 当且仅当2x=,即x=时取等号， 所以2x+的最小值为2W2, 所以m≤2V2 故选：AC 11.ACD 【分析】根据图象求三角函数解析式的方法 可得f)=sin(2x+),利用代入检验法 可判断A;利用图象法求三角函数的值域可 判断B;利用三角函数的图像变换及代入检 验法可判断C:利用图象法可判断D. 【详解】由图知A=1,子铝-后-子 所以7=得=，由ω>0可得w=2, f(段)=sim(2×+p）=0,即sim(g+ p)=0, p<可得p= 所以f()=sin(2x+8) 对于A:f()=sin(吾+月= sin(-习)=-1， 所以x=-是f(x)的一条对称轴，故A正确： 对于B:xe[o,月，2x∈0，可，2x+e 6周 所以sin(2x+)e21所以函数f() 在0，上的值域为[-1 ,故B错误； 对于C:函数f(x)的图象上所有点的横坐标 伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 答案第3 可得g()=sin(x+8),9(g)=sin(e+ 月-sinr=0, 所以g()的图象关于点(，0)对称，故C正 确： 对于D：x∈[0,2,2xe[0,4,2x+e 62, y=sinx在，上的图象， 可知函数y=f(x)在[0,2m上既有2个极大 值点，也有2个极小值点，故D正确： 6 故选：ACD. 12.-1 【分析】利用导数与切线斜率的关系以及同 角三角函数的关系求解 【详解】因为f(x)=x3-x+3,所以 f(x)=3x2-1, 所以f'(1)=2,即tan6=2, 所以o-29-2 cos0+sine cosa2=1-2tan8>一1， 1+tan C08 故答案为：-1. 13.18 【分析】设直线AB方程，设A(xA,yA), B(xB,yB),联立直线和抛物线方程，结合抛 物线定义以及韦达定理，得出A,B坐标，以 及直线AB方程，利用两点之间距离公式和 点到直线的距离公式，即可求出结果 ,共8页 【详解】由题知，设直线AB为x=my+5, 联f,女5.得y20=0 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+1=5,xA=4, 所以y房=4×4，yA=士4，不妨令yA=-4, 则-4×yB=-20,yB=5, 所以x=单=草-4+5=4m,m=号 所以A(4-4,B(臣，5)，直线AB为x= y+5,即4x-y-20=0, 所以IAB引=、 (4-)+(-4-5-厘， 又F(1,0)到直线AB距离为4-四=16厘 √17 17 所以△ABF的面积为xyx16E=18 2 4 17 B 故答案为：18 14.(-∞，3n3-3] 【详解】求函数f(x)的导数得f'(x)=e*-3, 令f'(x)=ex-3=0,则x=ln3, .函数f(x)在(-oo,ln3)上单调减，在 (n3,+oo)上单调递增， ,当x→-o时，ex-3x→+o;当x→+∞ 时，ex-3x→+oo, .由题意可知f0n3)=en3-3ln3+a≤0， .a≤3ln3-3. 故答案为：(-∞，3ln3-3] 答案第4 15.(1)3600 (2)1440 (3层 【分析】(1)先排首位，再排末尾，剩下位 置全排列即可求解： (2)利用插空法即可求解： (3)由古典概型概率公式即可求解. 【详解】(1)由已知可以分步完成：第一步， 先排首位，有C种方法；第二步，排末位， 有C种方法：第三步，其余5个位置（包括 甲)有A种方法，从而完成的方法总数是： N=C6×Cg×A=3600 (2)依题意，分两步完成：第一步，先排 男生，有A4种方法，且形成了5个空位，第 二步，从这5个空位中任取3个位置来站女 生，有A种方法，则完成这个事件的方法总 数是： N=A4×A3=1440 (3)由题意，7人站成一排的总数是A☑， 又甲，乙之间隔一人的情况有5种，甲乙互 换位置有A种，将3人看成一个人，共有5 个人进行全排列，共A种，从而甲乙之间隔 一人的概率为： P 5×A3×Aξ5 A7 27 16.(1)a=30,b=18,有关 (2)年龄段在20至50岁的观众抽取6人，年 龄段大于50岁的观众抽取2人. 6号 【分析】(1)根据2×2列联表的性质可确 ,共8页 定a,b的值，再根据数据的比值判断收看科 技节目的观众是否与年龄有关， (2)根据分层抽样的概念，强调每个个体 被抽到的可能性相同，进行名额分配. (3)利用对立事件概率和为1求事件的概 率 【详解】(1)由表格数据知90+a=120 →.a=30;90+b=108→b=18. 由数据知年龄段在20至50岁的观众关注科 技类的人数大大超过关注文艺类的人数，而 年龄段大于50岁的观众关注科技类的人数 大约相当于所调查人数的三分之一、从而可 知收看科技节目的观众显然与年龄有关 (注：本问只要说出任何理由均可给分) (2)设年龄段在20至50岁的观众抽取x 人，年龄段大于50岁的观众抽取y人，由 (1)知a=30,根据分层抽样原则： 8x y 1209030→x=6,y=2 即年龄段在20至50岁的观众抽取6人，年 龄段大于50岁的观众抽取2人. (3)由(2)知：年龄段在20至50岁的观 众抽取6人，年龄段大于50岁的观众抽取2 人，考虑对立事件，若甲，乙都不抽取，则 有C种情况，则甲，乙两人至少有一个被抽 取的概率为 p-1-8-品 17.(1)证明见解析 暖 【分析】(1)连接AB1与A1B交于点M,连 答案第5 接MD,证明MD为△AB1P的中位线，得到 MDIB1P,又因为B1P丈平面BAD,得到 B1PI平面BA1D (2)以A1B1,A1C1,A1A为X,y,z轴，建立起 空间直角坐标系A1-xyz,求出平面A1B1D 的法向量和平面B1PD的法向量，利用法向 量的数量积运算得到二面角A1一B1D-P 的夹角的余弦值. 【详解】(1)证明：如图，连接AB1与A1B 交于点M,连接MD,由四边形ABB1A1是平 行四边形，知M为AB1的中点。 由题意AC II C1P→∠CAD=∠DPC1,D为 CC1的中点→CD=DC1,∠ACD=∠DC1P, B (ZCAD=∠DPC1 由{∠ACD=∠C1PD→△ACD≌△DC1P→ （CD=DC1 AD=DP. 即D为AP的中点， MD为△AB1P的中位线，则MDIB1P, 又B1P￠平面BA1D, ∴B1PI平面BAD. (2)由题意，在矩形AA1B1B中，AB1与A1B 互相平分，又AB1⊥A1B则四边形AA1B1B 为正方形，从而AA1=A1B1 万，共8页 7 D B 又BC=2V2,AB=AC=2,则得AB2+ AC2=BC2, AB1AC.从而A1B1,A1C1,A1A两两垂直， 且A1A=A1B1=2. 现分别以A1B1,A1C1,A1A为x,y,z轴，建立起 空间直角坐标系A1-xyz,则有 A1(0,0,0),B1(2,0,0),D(0,2,1),P(0,40) ∴A1B1=(2,0,0),A1D=(0,2,1),设平面 A1B1D的法向量为元=(x,y,Z), 由元4，a=0,→2x=0 (m.A1D=092y+z=0, 取y=1,则m=(0,1,-2) 又B1D=(-2,2,1),PD=(0,-2,1) 设平面B1PD的法向量为元=(a,b,c), 由 n:B1D=0,→-2a+2b+c=0, -2b+c=0 n·PD=0 取b=1,可得元=(2,1,2)， ∴.c0s0= o+14= 网阿 3×V5 5 18.(Q听+苦-1 (2)①证明见解析，定值为1；②4 【分析】(1)根据三角形边长关系以及椭圆 上的点坐标求出a2,b2,从而得到椭圆方程； (2)①根据题意设直线l1与L2的方程，分别 与椭圆方程联立求得点A,B的坐标，再根据 答案第6 斜率公式计算即可得到定值；②利用两点间 距离公式，结合基本不等式求最值 【详解】(1)由题意F1Q|=IFzQ1,则 △F1QF2是等腰直角三角形，即得b=c,从 而a2=2b2 又椭圆过点P(2,1)则有意+京=1解得a2= 1 6,b2=3 椭圆C的方程：若+号=1 6 (2) 0 ①由(1)知椭圆C的方程为号+号=1，设 直线l1的方程：y=k(x-2)+1,则l2的方 程是y=-k(x-2)+1. 令A(x1y1),B(x2,y2), y=k(x-2)+1, 由 若+号-1 可得(1+2k2)x2+ (4k-8k2)x+8k2-8k-4=0, 则有名1‘xp=2-跳4 1+2k2 Xp=2x= 4k2-4k-2 1+2k2,y1=k(x1-2)+ 1=-2k2-4k+1 1+2k2, 1+2k2,y2=二2k2+4k+1 同理得x2=2+桃-2 1+2k2, -2k2+4k+1-2k2-4k+1 kAB=2业= 1+2k21+2k2 X2-X1 ==1 4k2+4k-24k2-4k-2—8k 1+2k21+2k2 即直线AB的斜率为定值，且定值为1. ,共8页 ②由①知 A(代2,2 ,B (4k2+4k-2-2k2+4k+1 1+2k2 1+2k2 1+2k2 则AB1=(x2-x)2+y2-y)2= 128k2 128 V(1+2k☒ 422+4 又4k2+京≥24，当且仅当42=即当k= 土时等号成立， 所以AB1≤=4，即AB到的最大值为4 19.(1)y=(4e-2)x-2e2+e (2,+o） 30<a< 【分析】(1)根据导数的几何意义求出切线 的斜率，再求出切点，即可写出切线的点斜 式方程： (2)f(x)≥0等价于ax-nx≥0恒成立， 令g(x)=ax-nx,则不等式恒成立等价于 g(x)min≥0成立，利用导数求出函数g(x) 的最小值代入不等式即可求得a的范围； (3)由题意知f(x)有两个变号零点，f(x)= 0台2a=血x+1,利用导数判断函数h()的 单调性从而画出h(x)的图象，求出使y=2a 与y=h(x)的图象有两个不同的交点的a的 取值范围 【详解】(1)由题意知x>0,当a=2时， 有 f(x)=4x-Inx+1),f'(e)=4e-2, 答案第7页 又f(e)=2e2-e, ∴f(x)在x=e处的切线方程为y=(4e 2)(x-e)+2e2-e, 即y=(4e-2)x-2e2+e (2)x>0,f(x)=ax2-xInx x(ax- Inx), 从而f(x)≥0台ax-lnx≥0.令g(x)= ax -Inx, 得g(w)=a-1--,当a≤0时，g()< 0,g(x)在(0，+o)上单调递减， x→+o时g(x)→-o,不符合条件，从而 a>0 当a>0时，令g()>0→x>&,则g() 在(0，)上单调递减，在(，+∞）上单调递增， 则由g()≥g(月=1-n2=1+lma≥ 0→a≥8 当f()≥0恒成立时，a的范围，+∞) (3)由已知得f(x)=2ax-nx-1,又 f(x)=0台2a=+1, x 令h()=中(x>0),则h()=空> 0→0<x<1, 故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单 调递减，所以h(x)≤h(1)=1, 又n()=0→x=是即y=h(G)的图象与x 轴只有唯一交点 y=h(x)的图象如图所示： ,共8页 y=h(x) 从而f(x)有两个极值点等价于y=2a与y= h(x)的图象有两个不同的交点，由图知 0<2a<1即0<a<2 答案第8页，共8页