2.2基本不等式----2026年初升高新高一数学人教A版必修一预习过关检测

**基本信息** 本练习围绕基本不等式，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，以教材原题为依托，强化运算能力与推理意识，构建从单一知识点到参数综合的递进巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点直接应用|选用人教A版习题（如选择1-2），聚焦基本不等式求最值| |发展层|综合条件转化应用|结合函数变形（如选择5）、教材复习题（填空13），培养逻辑推理| |提升层|参数与多维度应用|设置含参数问题（选择8）、多问解答题（19），发展创新意识与数学表达|

2.2基本不等式（2026年初升高必修一数学预习过关检测） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、【人教A版必修一习题2.2第1题（1）】已知，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先变形为，再利用基本不等式求最值； 【详解】，，，当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为。 【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”. 2、【人教A版必修一习题2.2第1题（2）】的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值. 【解析】由知.当或时，；当时，，由基本不等式可得.当且仅当，即当时等号成立.综上，的最大值为. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”. 3．下列函数中，最大值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，因此无最大值，A错；，最小值为0，最大值为1，B错；，，无最大值，D错，只有C正确、 4、【人教A版必修一第2.2节练习第4题】已知，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，在时，将代数式变形为，利用基本不等式的变形可求出的最大值，综合可得出结论. 【详解】当时，.当时，，， ，当且仅当，即时取等号.的最大值为，此时. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题. 5．函数（）的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为， 6．若正数、满足，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知正数、满足，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为. 7．设，，，则（ ） A．有最大值8 B．有最小值-12 C．有最大值16 D．有最小值12 【答案】C 【解析】∵，∴，当且仅当，即时，有最小值8.而，当且仅当时有最大值16. 8．已知正数满足，且的最小值为2，则a的值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题意，正数满足， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，令，由，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、已知，则的值可以为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】CD 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故.故选. 10．已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（ ） A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a=b=时取得最小值 D．当a=b=时取得最大值 【答案】AC 【详解】因为，所以==· =5+2，当且仅当时，即a=b=时，等号成立.所以a=b=时，代数式取得最小值9. 11、已知，，，则下列说法正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  【详解】已知，，，选项 A：因为，将代入，可得，当且仅当时，等号成立，所以 A 正确。选项 B：由不等式链，把代入得，当且仅当时，等号成立，所以 B 正确。选项 C： 由，由，得，所以， 则，当且仅当时，等号成立，所以，而，所以 C 错误。 选项 D：，由，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以 D 正确。故选。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为， 13、【人教A版必修一P58页复习参考题二第5题】若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.则ab的取值范围为_______. 【分析】根据基本不等式化为关于二次不等式，解得范围，即得ab的取值范围. 【详解】由于，所以有，即，所以. 14．人教B版（2020年）必修一P81页练习题2-2C第3题：已知，则的最小值为_______． 【答案】5 【详解】因为，所以， 即，因为，所以。则。那么，即y的最小值为5。当且仅当时，等号成立， 即，解得。故函数的最小值为5，此时。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、【人教A版必修一第2.2节例2】已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 证明：因为x，y都是正数，所以. （1）当积等于定值P时，，所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值S时，，所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值. 16．已知，且. （1）求的最大值；（2）求的最小值. 【答案】（1）最大值为；（2）最小值为5. 【详解】（1）因为所以，即当且仅当取等号. 又，所以当时，的最大值为 （2）因为且. 当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5. 17．（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）已知，则的最大值为？ （3）函数 的最小值为？ 【答案】（1）；（2）1；（3） 【详解】 （1），当且仅当，即时，取等号.故所求的值为. （2）因为，所以，则. 当且仅当，即时，取等号.故的最大值为1. （3）. 当且仅当，即时，取等号.故函数的最小值为. 18、【人教A版（2019年）必修一P46页练习第2题】已知都是正数，且.求证： （1）；（2）. 【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证； （2）由基本不等式得，可得证. 【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2） ，，，当且仅当时取等号，但， 因此不能取等号，. 19．已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）最小值为；（2）最小值为；（3）最小值为. 【详解】，即，，，，， （1）因为、是正数，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为. （2）因为，，所以，，则，当且仅当、时等号成立，故的最小值为. （3）因为，，，所以 ，当且仅当、时等号成立，故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式（2026年初升高必修一数学预习过关检测） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、【人教A版必修一习题2.2第1题（1）】已知，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、【人教A版必修一习题2.2第1题（2）】的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列函数中，最大值为的是（ ） A． B． C． D． 4、【人教A版必修一第2.2节练习第4题】已知，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数（）的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．若正数、满足，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 7．设，，，则（ ） A．有最大值8 B．有最小值-12 C．有最大值16 D．有最小值12 8．已知正数满足，且的最小值为2，则a的值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、已知，则的值可以为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10．已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（ ） A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a=b=时取得最小值 D．当a=b=时取得最大值 11、已知，，，则下列说法正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的最小值是___________. 13、【人教A版必修一P58页复习参考题二第5题】若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.求ab的取值范围. 14．人教B版（2020年）必修一P81页练习题2-2C第3题：已知，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、【人教A版必修一第2.2节例2】已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 16．已知，且. （1）求的最大值；（2）求的最小值. 17．（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）已知，则的最大值为？ （3）函数 的最小值为？ 18、【人教A版（2019年）必修一P46页练习第2题】已知都是正数，且.求证： （1）；（2）. 19．已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $