2.7.1 勾股定理-课件-2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过“小明搬画”实际问题导入，引导学生观察门框宽高与画宽的关系，进而思考直角三角形三边数量关系。随后以动手剪拼四个全等直角三角形拼图的方式探究定理推导，结合典例分析和同步练习，构建从情境到探究再到应用的学习支架。 其亮点在于注重数学核心素养培养，通过动手拼图发展几何直观与空间观念，结合车速检测、楼梯滑动等实际问题建模，强化模型意识与应用意识，融入《九章算术》古算题渗透数学文化。学生能提升探究与运算能力，教师可借助系统练习和实例丰富教学，提高课堂效率。

浙教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 2.7.1 勾股定理 第2章　特殊三角形 2.7.1 勾股定理 同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 勾股定理适用的三角形是（） A. 任意三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边，下列勾股定理公式正确的是（） A. $$a^2+b^2=c^2$$ B. $$a^2+c^2=b^2$$ C. $$b^2+c^2=a^2$$ D. $$a+b=c$$ 3. 已知Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4，则斜边长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在直角三角形中，斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边长为（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1、2、3 B. 3、4、5 C. 2、3、4 D. 4、5、6 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 勾股定理：直角三角形两条________的平方和等于________的平方。 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，b=8，则c=________。 8. 勾股数是指满足勾股定理的一组________整数。 9. 等腰直角三角形的直角边长为2，则斜边长为________。 10. 已知直角三角形斜边为10，一条直角边为6，则该三角形面积为________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）在Rt△ABC中，∠C=90°。 （1）已知a=9，b=12，求斜边c的长；（2）已知c=25，a=7，求直角边b的长。 12.（20分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC=9，求BC的长以及三角形的面积。 13.（22分）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，求：（1）斜边长；（2）斜边上的高。 参考答案及解析 选择题：1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 解析：3. $$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$；4. $$13^2-5^2=169-25=144=12^2$$；5. 3、4、5是最基础、最常用的一组勾股数。 填空题：6. 直角边、斜边 7. 10 8. 正 9. $$2\sqrt{2}$$ 10. 24 解析10. 另一直角边=$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$，面积=$$\frac12\times6\times8=24$$。 解答题 11. 解：（1）由勾股定理得：$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$$； （2）由勾股定理变形得：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$。 12. 解：∵∠C=90°，由勾股定理得： $$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$$。 三角形面积：$$S=\frac12\times AC\times BC=\frac12\times9\times12=54$$。 13. 解：（1）由勾股定理：$$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10(\text{cm})$$，斜边长为10cm； （2）设斜边上的高为h，利用面积相等：$$\frac12\times6\times8=\frac12\times10\times h$$，解得$$h=4.8\text{cm}$$。 课堂导入 小明家装修时需要将一幅2.5米宽的画斜着搬进房间，门框的宽度是2米，高度是1.5米。他能成功搬进去吗？" 1.5米 斜边 2.5米 斜边 "直角三角形的三条边之间是否存在某种数量关系？" 2米 新知探究 剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。 同学们自己动手拼一拼 新知探究 设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。 a b-a 小正方形的面积：（b-a）2 蓝色部分面积：2ab 大正方形的面积：c2 新知探究 比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？ 大正方形的面积=蓝色部分的面积+小正方形的面积 c2=2ab+（b-a）2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2 所以c2=a2+b2 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么c2=a2+b2 古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。 a b c A 返回 1． 在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，则AC的长为(　　) 中考考法 6 例1. 已知：a，b，c满足． （1）求a、b、c的值； （2）请判断以a、b、c为边构成的△ABC的形状，并说明理由 典例分析 几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可 （1）解：， |a-12|=0, ， ∴a-12=0，b-5=0，c-13=0，a=12，b=5,c=13 本题主要考查的是绝对值、平方以及二次根式的非负性 例1. 已知：a，b，c满足． （1）求a、b、c的值； （2）请判断以a、b、c为边构成的△ABC的形状，并说明理由 典例分析 根据（1）所求可证明a2+b2=c2，则可证明直角三角形 （2）解：以a、b、c为边构成的△ABC是直角三角形，理由如下：a=12，b=5，c=13 ∴a2+b2=122+52=144+25=169，c2=132=169 ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形 本题主要考查利用勾股定理判断直角三角形 返回 C 2． 运用图形验证著名的勾股定理的方法，体现了数形结合的思想．下列图形中，能证明勾股定理的图形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 中考考法 9 例2 如图，已知矩形OABC的边OA在数轴的正半轴上，O为原点，BC=3，AB=1，连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为 . 典例分析 根据矩形的性质，可以得到∠OAB=90°，OA=BC=3，然后根据勾股定理可以得到OB的长，从而可以得到OD的长 解：∵四边形OABC是矩形，BC=3，∴∠OAB=90°，OA=BC=3 ∵AB=1，∴OB=，∴OD=OB= 例3 一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角0.7米（即AO=0.7m），由于楼梯滑动，底部滑动了1.3米（即AD=1.3米），楼梯的高度为2.5米（即AB=2.5m），则楼梯下滑了________米．（即求BC的长）． 典例分析 解：在Rt△AOB中，BO==2.4 在Rt△COD中，CO==1.5 ∴BC=BO-CO=2.4-1.5=0.9米 根据勾股定理分别求得BO、CO的长，根据BC=BO-CO，即可求解 0.9 16 返回 3． [2025宁波期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，若AB＝5，AD＝4，则△ABC的周长为________． 中考考法 12 4． 返回 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为________． 中考考法 13 5． 返回 C 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 中考考法 14 6． 返回 如图，数轴上方是边长为1个单位长度的正方形网格，△AOB的顶点均在格点上，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为________． 中考考法 15 7． 某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 若超速，则每小时超速了多少千米？ 中考考法 16 返回 【解】这辆小汽车超速了．理由如下： 根据题意，得AC＝30米，AB＝50米，∠C＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2， 则502－302＝402，所以BC＝40米， 所以这辆小汽车行驶速度为40÷2＝20(米/秒)＝72(千米/时)． 因为72＞60，所以这辆小汽车超速了， 每小时超速了72－60＝12(千米)． 中考考法 8． 返回 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是________． 中考考法 18 9． 返回 36或84 在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为________． 中考考法 19 10． 返回 B 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3.将△ABC折叠，使点C与边AB的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为(　　) 中考考法 20 11． 返回 [2025宁波期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，D，E分别为AB，AC上的动点，若BC＝1，则CD＋DE的最小值是__________． 中考考法 12． 【解】如图①，Rt△ABC即为所求．(画图不唯一) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图①中画一个直角三角形， 使它的三边长都是有理数； 中考考法 (2)在图②中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 如图②，Rt△DEF即为所求．(画法不唯一) 返回 中考考法 13． 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝ 1尺．将芦苇向水池岸边牵引，尖端达到 岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． 中考考法 (1)求水池的深度OD； 中考考法 中考考法 返回 中考考法 课堂小结 求边长：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边（注意区分直角边和斜边）。 实际建模：解决梯子靠墙、航海距离、旗杆高度等现实问题，建立直角三角形模型。 勾股定理的实际应用 定理表述：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 几何意义：直角三角形的三边关系，体现为以三边为边长的正方形面积关系。 适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接套用。 勾股定理的基本内容 赵爽弦图法：通过四个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，利用面积关系证明定理。 面积割补法：通过不同方式计算同一图形的面积 勾股定理的几何证明方法 01 03 04 02 A．5 B. C．3 D. －1 4或 A.　　B.　　C．2　　D. 【解】设水池的深度OD为x尺，则芦苇的高度OC＝OD＋CD＝(x＋1)尺，由题知OE＝OC＝(x＋1)尺． 因为O为AB的中点，且AB＝1丈＝10尺， 所以DE＝OA＝AB＝×10＝5(尺)． 在Rt△EDO中，由勾股定理，得OD2＋ED2＝OE2， 即x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12. 答：水池的深度OD为12尺． (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n(n<a)，则水池的深度OD(OD＝b)可以通过公式b＝计算得到．请说明刘徽解法的正确性． 【解】由题知芦苇的高度OC＝OD＋CD＝b＋n，OE＝OC， 所以OE＝b＋n.因为O为AB的中点，且AB＝2a， 所以DE＝OA＝AB＝a. 在Rt△EDO中，由勾股定理，得OD2＋ED2＝OE2， 即b2＋a2＝(b＋n)2，整理，得b＝. 所以刘徽的解法是正确的． $