2.8 直角三角形全等的判定课件 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2.8直角三角形全等的判定 知识回顾 问题1 判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？ SSS SAS ASA AAS 2 新知探究 问题2 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？ △ABC与△AˊBC BC=BC AB=AˊB ∠C＝∠C △ABC与△AˊBC不全等 C B A Aˊ 3 新知探究 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 已知线段a，c(如图)，用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，BC＝a，AB＝c。 1.作∠PCQ＝Rt∠。 P C Q 2.以点C为圆心，a为半径作弧， 3.以点B为圆心，c为半径作弧， a B A 4.连结AB， △ABC就是所求作的三角形。 作法： 交射线CQ于点B。 交射线CP于点A。 c a c a c 追问：如果其中一边的对角是直角呢？ 问题2 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？ 4 新知探究 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等。 已知：如图2-42，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠C＝∠Cˊ＝Rt∠，AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ。 求证：Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ。 已有条件： AB＝AˊBˊ AC＝AˊCˊ 分析： BC＝BˊCˊ ∠A＝∠Aˊ 联想方法： SSS SAS 图2-42 5 新知探究 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 已知：如图2-42，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠C＝∠Cˊ＝Rt∠，AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ。 求证：Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ。 证明： 因为， 所以 ， 又因为， 所以。 ， ， ｛ ， 所以△ABC≌△AˊBˊCˊ(SSS)。 因为 所以。 因为， 图2-42 6 新知探究 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等。 已知：如图2-42，在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠C＝∠Cˊ＝Rt∠，AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ。 求证：Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ。 D Rt△ADC≌Rt△AˊBˊCˊ Rt△ADC≌Rt△ABC 分析： 图2-42 7 新知探究 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 已知：如图2-42，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠C＝∠Cˊ＝Rt∠，AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ。 求证：Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ。 D 证明： 如图，延长BC至D，使CD＝BˊCˊ， 连结AD。 因为AC＝AˊCˊ(已知)， ∠ACD＝∠Cˊ＝Rt∠， 所以△ADC≌△AˊBˊCˊ(SAS)， 所以AD＝AˊBˊ(全等三角形的对应边相等)。 因为AB＝AˊBˊ(已知)， 所以AD＝AB。 又因为AC⊥BD， 所以BC＝CD(等腰三角形三线合一)。 而AC＝AC(公共边)， 可得△ADC≌△ABC(SSS)， 所以△ABC≌△AˊBˊCˊ。 构造法 图2-42 8 新知形成 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”。) 符号语言： 在Rt△ABC和Rt△AˊBˊCˊ中， AB＝AˊBˊ， AC＝AˊCˊ， 所以Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ(HL)。 ｛ 因为 因为∠C＝∠Cˊ＝Rt∠， 图2-42 9 新知应用 例 已知：如图2-44，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE。求证： 点P在∠AOB的平分线上。 B A P D E 1 2 O PD＝PE ∠1＝∠2 Rt△PDO≌Rt△PEO 图2-44 OP＝OP 要证 只需证 分析： 10 新知应用 例 已知：如图2-44，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别 是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， 所以∠PDO＝∠PEO＝Rt∠。 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP＝OP(公共边)， PD＝PE(已知)， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 所以∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上(角平分线的定义)。 如图，作射线OP。 B A P D E 1 2 ｛ O 因为 图2-44 11 新知应用 例 已知：如图2-44，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 B A P D E O 回顾角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线性质定理的逆定理： 符号语言： 因为PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE， 所以点P在∠AOB的平分线上。 图2-44 P到角两边的距离相等。 12 新知应用 练一练 （书本P88 作业题A组 第3题） 已知：如图，∠B＝∠E＝Rt∠，AB＝AE，∠1＝∠2。求证：∠3＝∠4。 Rt△ABC≌Rt△AED ∠3＝∠4 要证 只需证 AC＝AD AB＝AE ∠1＝∠2 分析： 13 新知应用 证明: 因为∠1＝∠2， 所以AC＝AD， 因为∠B＝∠E＝Rt∠， 在Rt△ABC和Rt△AED中， AC＝AD， AB＝AE， 所以Rt△ABC≌Rt△AED（HL）。 所以∠3＝∠4。 ｛ 因为 练一练 （书本P88 作业题A组 第3题） 已知：如图，∠B＝∠E＝Rt∠，AB＝AE，∠1＝∠2。求证：∠3＝∠4。 14 课堂小结 证明 实验 猜想 归纳 代数证法 几何证法 （3）你还收获了什么？ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”。) （1）本节课我们学习了直角三角形的哪个判定方法？ （2）我们如何得到这个定理的？ 直角三角形5种判定方法：HL ，SSS ，ASA ，AAS， SAS 角平分线性质定理的逆定理证明角相等。 $