专题2-5 对数与对数函数（5重难点题型+高考真题）--2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 专项以对数与对数函数为核心，通过分题型整合定义、性质及解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链，精选高考真题与模拟题，突出方法迁移与数学思维培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数运算、方程与不等式|8题|定义与运算法则（换底公式、性质应用）|从对数定义到运算性质，推导方程与不等式求解逻辑| |对数函数图像与性质|6题|图像特征与单调性分析（分底数讨论）|结合函数定义，通过图像对比揭示性质，培养几何直观| |比较对数式大小|4题|单调性法、中间值法（0,1分界）|运用函数性质解决大小比较，发展推理能力| |解对数方程或不等式|9题|数形结合、等价转化、同构思想|将方程不等式转化为函数问题，强化模型意识| |对数函数性质综合应用|6题|实际问题建模（半衰期、充电增长等）|综合运用性质解决跨学科问题，提升应用意识|

专题2-5 对数与对数函数 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、求函数值、对数的运算 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 8．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案. 【详解】当时，，解得：， 当时，，解得：（舍去）， 所以方程的解为. 故答案为：. 重难点题型1 对数运算、对数方程与对数不等式 对数式的运算： (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】对数的运算 【详解】. 2．（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】本题主要考查指数型函数模型的应用，以及利用对数运算求解方程，先根据已知初始值确定模型中的参数，再利用衰减规律建立方程，通过取对数将指数方程转化为线性方程，代入参考数据计算得出结果. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 3．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 5．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 【答案】/0.5 【难度】0.75 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【答案】16 【难度】0.72 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 7．（2025·上海闵行·一模）若（，），且，则_______. 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先求证，再化简得出即可求出. 【详解】函数的定义域为， 由题意得，， 则， 因为，故， 因为，则. 故答案为： 8．（2025·湖南永州·模拟预测）已知正数满足，则__________. 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【详解】因为 ， 所以.故答案为：16 重难点题型2 对数函数的图像与性质 对数函数的定义及图像： (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 1．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较指数幂的大小、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 2．（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 3．（2026·江苏南京·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得. 【详解】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A 4．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、求对数型复合函数的定义域、对数函数图象的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由，排除BC；利用导数探讨函数的性质排除D即可. 【详解】依题意，，恒成立，即函数的定义域为R， 当时，，则，即，BC不满足； 当时，令，则， 令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，，，D不满足，A满足. 故选：A 6．（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、指数函数图像应用、对数函数图象的应用 【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可. 【详解】因为图象过，故由图象可得， 又图象过，故由图象可得， 又图象过，故由图象可得. 故，，，故. 故选：B 重难点题型3 比较对数式的大小 1．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小. 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的性质，让这3个数和临界值比较，判断大小. 【详解】，且，所以， ，，即， 所以. 4．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 重难点题型4 解简单的对数方程或不等式 （1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； （2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. （3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 1．已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，反之，若，则，即“”“”， 因为“”时满足“”，而“”时不一定有“”， 即“”时一定有“”，而“”不能得到“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·江西南昌·三模）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】比较对数式的大小、对数函数单调性的应用 【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断. 【详解】函数， 因为是减函数，是增函数，所以是减函数， 又因为，所以，故，即. 3．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． 4．（2026·湖南·三模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因函数是定义域为的偶函数，且， 所以由或， 所以原不等式的解集为． 5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、分段函数的性质及应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 6．（2025·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、由对数函数的单调性解不等式 【分析】设至少经过小时后才能安全驾驶，由题意可得，进而求解即可. 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 7．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的，化简可得，利用换底公式得到最终结果. 【详解】由题意，， 设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的， 则有，所以， （天）， 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的. 8．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】确定函数是偶函数，运用导数判断函数的单调性，将不等式，化简为，即，解得即可得到的取值范围． 【详解】由， 函数是定义在上的偶函数，又， 令且，则，故在上递增， 所以，即在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上递增，则上递减， ，则， ，即，即， 在上单调递增， ，即，解得． 故答案为：． 9．（2023·辽宁·三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，再根据函数的单调性，求解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数， 所以函数为奇函数，关于原点对称， 设，则， 因为， 所以即为上的增函数， 故在上单调递增， 因为，所以1，解得， 实数的取值范围为． 故答案为： 重难点题型5 对数函数性质的综合应用 1．（2026·福建龙岩·三模）已知函数的定义域为，满足，当时，．若，则实数的值为（   ） A． B．4 C．或 D．2或4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】利用得出函数的对称轴，再结合已知条件分情况讨论的取值范围，进而求解的值. 【详解】由可得函数的图象关于直线对称， 当时，因为时，，且， 则，将方程变形得. 设，则方程变为，化简得. 解得或（舍去）， 所以，得. 当时，因为函数的图象关于直线对称，所以. 此时，则， 根据对数换底公式进行变形得. 设，则方程变为，化简得. 解得或（舍去），所以，解得. 综上，实数的值为或4. 2．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 3．已知函数，则的解集为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【解析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可； 【详解】解：当时，，因为，所以解得， 当时，时，因为，所以，解得 综上可得不等式的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题. 4．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________． 【答案】4052 【难度】0.72 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算 【分析】化简的表达式即可求得答案. 【详解】显然，注意到时， 于是． 5．（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】函数与方程的综合应用、求幂函数的解析式、求函数零点或方程根的个数、对数的运算 【分析】先设出幂函数的解析式，结合已知条件求其指数，再利用对数运算性质化简得到的解析式，最后通过换元结合指数函数单调性求解方程. 【详解】设幂函数（为常数），由，得， 两边取自然对数得，故， 因此 ， 由 ， 可得， 因为 在定义域上单调， 因此，又， 故 ， 将 代入得： ， 令 ，方程转化为： ， 化简得， 两边同除，得 当时，左边 ，满足等式， 设，由解析式可知其在上单调递减， 因此 有唯一解， 由 ，解得， 即方程的实数解为. 6．（2026·河北·一模）国家发展改革委等部门印发的《电动汽车充电设施服务能力“三年倍增”行动方案(2025—2027年)》中提出，到2027年底，在全国范围内建成2800万个充电设施，提供超3亿千瓦的公共充电容量，满足超过8000万辆电动汽车充电需求，实现充电服务能力的翻倍增长.已知某城市现有1万个充电桩，为响应国家号召，打算接下来一年内新建3万个充电桩，此后每年新建的数量都比上一年增加25%，若该城市计划将充电桩总量提升至79万个，则至少需经过________年.(结果保留整数，参考数据： ) 【答案】10 【难度】0.76 【知识点】求等比数列前n项和、由对数函数的单调性解不等式、等比数列的定义、对数的运算性质的应用 【分析】由题意，可知每年新建的充电桩的数量构成等比数列，列出不等式，利用等比数列的求和公式与对数函数的单调性求解即得. 【详解】因该城市现有1万个充电桩，第一年新建3万个，之后每年新建数量比上一年增加25%， 则每年新建的充电桩的数量构成等比数列，其首项为，公比为， 设经过年，充电桩总量达到79万个. 依题意，，即， 化简得，即， 两边取常用对数，得，因， 代入可得，因，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-5 对数与对数函数 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 8．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________． 重难点题型1 对数运算、对数方程与对数不等式 对数式的运算： (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 2．（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 3．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 5．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 7．（2025·上海闵行·一模）若（，），且，则_______. 8．（2025·湖南永州·模拟预测）已知正数满足，则__________. 重难点题型2 对数函数的图像与性质 对数函数的定义及图像： (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 1．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型3 比较对数式的大小 1．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 解简单的对数方程或不等式 （1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； （2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. （3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 1．已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·江西南昌·三模）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·三模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 8．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为______． 9．（2023·辽宁·三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是__________． 重难点题型5 对数函数性质的综合应用 1．（2026·福建龙岩·三模）已知函数的定义域为，满足，当时，．若，则实数的值为（   ） A． B．4 C．或 D．2或4 2．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 3．已知函数，则的解集为________. 4．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________． 5．（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 6．（2026·河北·一模）国家发展改革委等部门印发的《电动汽车充电设施服务能力“三年倍增”行动方案(2025—2027年)》中提出，到2027年底，在全国范围内建成2800万个充电设施，提供超3亿千瓦的公共充电容量，满足超过8000万辆电动汽车充电需求，实现充电服务能力的翻倍增长.已知某城市现有1万个充电桩，为响应国家号召，打算接下来一年内新建3万个充电桩，此后每年新建的数量都比上一年增加25%，若该城市计划将充电桩总量提升至79万个，则至少需经过________年.(结果保留整数，参考数据： ) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $