重难点专训11 导数解答题题型归纳（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型突破-分层训练”构建导数解答题系统训练，通过核心策略与变式拓展培养数学思维与问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法技巧|10策略+4技巧|切线求法、分类讨论、构造函数等6大核心策略，含易错警示|从导数几何意义到综合应用，形成“概念-方法-应用”递进链条| |10类题型|每题型1典例+2变式|极值点偏移对称构造、双变量比值换元等专项技巧|题型与方法一一对应，覆盖单调性、零点、不等式证明等高频考点| |分层训练|30题（巩固15+提升15）|结合北京模拟题，强化解题规范与创新应用|从基础巩固到综合创新，适配一轮复习梯度需求|

重难点专训11 导数解答题题型归纳 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 导数的几何意义之切线问题 3 题型2 利用导数研究具体函数的单调性 4 题型3 利用导数研究含参函数的单调性 5 题型4 利用导数求极值与最值 6 题型5 利用导数证明不等式 7 题型6 利用导数解决恒成立与能成立有解问题 8 题型7 利用导数研究函数的零点与方程的根 9 题型8 利用导数研究双变量问题 10 题型9 利用导数解决极值点偏移问题 11 题型10 导数与其他知识点杂糅问题 12 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 1、导数解答题的基本思路是： （1）明确题目要求——是求单调区间、极值最值、证明不等式、研究零点，还是求参数范围； （2）根据目标选择解题路径——求导、构造、分离参数、分类讨论等； （3）将问题转化为导数符号分析、函数最值比较或图象交点问题； （4）综合运用多种导数工具，规范书写推理过程，确保逻辑完整。 2、导数解答题六大核心题型的解题策略： （1）切线问题 求曲线在某点处的切线方程：先求导得斜率 ，再用点斜式写出切线方程。若切点未知，设切点 ，由切线过已知点建立关于 的方程求解。切线条数问题等价于切点方程的根的个数。 （2）单调性与极值最值问题 求导后解 ，划分单调区间。极值需检查导数在零点两侧的符号变化，最值需比较极值与区间端点值。含参时按参数对导数零点的影响分类讨论，注意定义域对单调区间的限制。 （3）利用导数证明不等式 将不等式移项构造辅助函数 ，证明其最小值大于0或最大值小于0。常用策略：直接作差法、分离构造法（两端分别求最值）、放缩法（利用常见不等式如 、 替换超越式）、隐零点代换法（极值点无法求出时整体化简）。 （4）恒成立与能成立问题 转化为函数最值关系。恒成立 ；能成立 。核心方法：分离参数法（参数易分离时）、分类讨论法（参数无法分离时）、端点效应法（端点处取等时，先必要后充分）、必要性探路法（特殊值缩小讨论范围）。 （5）零点与方程根问题 利用导数研究函数单调性与极值符号，结合零点存在性定理判定零点个数与分布。含参零点问题常用分离参数转化为水平直线与函数图象的交点问题。隐零点问题通过“设而不求、整体代换”化简极值或不等式。 （6）双变量与极值点偏移问题 双变量问题通过主元法、差值换元（设 ）、比值换元（设 ）将多变量转化为单变量函数。极值点偏移用对称构造法（构造函数 ）或对数均值不等式 处理，核心是化双变量为单变量。 3、实用技巧与答题规范： （1）求导后先看能否因式分解，若能则零点清晰，直接列表讨论；若不能则考虑二阶导数判断一阶导符号，或判断隐零点存在性； （2）分类讨论时按参数对导数零点个数及位置的影响划分，做到不重不漏；讨论完毕后需综合结论，不能只写各类结果； （3）列表表示单调性时，表头依次为 、 的符号、 的单调性，极值点处标注 的取值； （4）端点处若取不到，需用极限符号表示（如 ），并说明极限值对最值判断的影响。 4、易错点与关键提醒： （1）定义域优先，所有求导和讨论必须在定义域内进行；当参数影响定义域时，优先讨论定义域的变化； （2）分类讨论的标准要统一，不能在同一题中交叉使用不同标准；讨论时优先处理参数在关键点（使导数为0或使定义域改变）处的取值； （3）证明不等式时，若一次构造无法直接求导，可先对不等式取对数、乘除正数等恒等变形后再构造，但必须注明变形依据； （4）零点存在性定理只能判定有零点，结合单调性才能判定唯一性；若区间端点处函数值同号，不能直接判断无零点，需结合极值进一步分析； （5）注意“恒成立”与“能成立”的逻辑区别，以及“任意”与“存在”的组合命题（如“任意 ，存在 ”与“存在 ，任意 ”的转化方式不同）； 题型通法及变式提升 题型1 导数的几何意义之切线问题 【典例1-1】（25-26高三·北京·二轮复习），函数.当时，求曲线在点处的切线方程. 核心口诀：切点坐标是关键，导数即斜率先算；点斜式写切线方程，切点未知设参列方程。 高分技巧： 已知切点求切线：若切点为 ，则切线斜率 ，切线方程为 。这是最基本的考法，直接套公式即可； 已知斜率求切点：已知切线斜率为 ，令 解方程得切点横坐标 ，代回原函数得纵坐标，再写切线方程。若解出的切点不唯一，说明存在多条切线； 已知切线过某点求切线（切点未知）：设切点为 ，切线方程为 。将切线经过的点 代入，得 ，解关于 的方程求切点，再回代写切线。注意：过某点不一定该点就是切点，这是最常见的陷阱； 切线存在的条件（切点处可导）：若函数在某点不可导（如尖点、断点），则切线不存在。选填中遇到绝对值函数或分段函数，需先判断可导性； 切线与坐标轴围成面积：切线在 轴、 轴上的截距可求，进而计算与坐标轴围成的三角形面积。核心公式：切线 与两坐标轴围成的面积为 （）； 两曲线公切线问题：若直线 同时与曲线 和 相切，设两个切点分别为 和 ，则斜率相等：，且同一条直线的截距也相等：，联立方程组求解； 切线与曲线交点个数（切线的穿越性）：若切线穿过曲线（即切点两侧曲线位于切线两侧），则切点为拐点；若切线不穿过曲线，则切点为极值点附近。选填中可据此判断切点性质。 易错警示：“过某点的切线”中该点不一定是切点，必须设切点参数列方程；切点横坐标若有多个，需逐一验证是否确实在曲线上；公切线问题中两切点可能重合也可能不同，需分类讨论；切线斜率不存在时（垂直于 轴），切线方程为 ，需单独处理。 【典例1-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数.求曲线在点处的切线方程. 【变式1-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．求曲线在点处的切线方程. 【变式1-2】（25-26高三·北京·二轮复习）设函数，直线是曲线在点处的切线．求证：不经过点. 题型2 利用导数研究具体函数的单调性 【典例2-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数，求的单调区间. 核心口诀：定义域先行，求导定符号； 增， 减。 高分技巧： 定义域优先：求导前必须先确定函数的定义域，单调区间必在定义域内。对数函数真数 ，分式分母 ，根号内 等限制需标注； 解不等式 和 ：求出导数后，分别解两个不等式。解集与定义域取交集，即为单调递增区间和单调递减区间； 导函数恒正/恒负：若 在定义域上恒成立，则函数在整个定义域上单调递增（如 ，，仅在个别点取等，仍为严格增函数）； 复合函数求导的链式法则：。先确定外层和内层，分别求导后相乘。选填中可简化计算：内层增且外层增 → 复合增；内层增外层减 → 复合减（同增异减）； 分段函数单调性：需分别判断各段内的单调性，并检查分段点处函数值的大小关系是否满足整体单调性要求。若函数在定义域上单调递增，则分段点左侧函数值 ≤ 右侧函数值； 含绝对值函数的单调性：先去绝对值化为分段函数，再分别求导判断各段单调性，最后合并； “导数为零但不变号”的处理：若 但 在 左右两侧符号相同，则 不是极值点，不影响单调区间的划分。 易错警示：导数大于零是函数单调递增的充分不必要条件——若函数单调递增，可能在某些点导数为零（如 ）；解 时需注意分母不能为0；分段函数整体单调性需检查分段点处的连续性；定义域若为多个不连续的区间，应分别写出单调区间，不可用并集符号连接。 【典例2-2】（25-26高三·北京·二轮复习）设函数，曲线在点处的切线方程为．设函数，求的单调区间. 【变式2-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数（）.若，求函数的单调区间. 【变式2-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)已知，直接写出函数的零点个数． 题型3 利用导数研究含参函数的单调性 【典例3-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．讨论的单调区间； 核心口诀：参数位置要盯紧，分类讨论界分明；导数为零解含参，临界点处定区间。 高分技巧： 分类讨论的标准：含参函数的导函数一般为含参方程，分类讨论的临界点为： 参数使导数方程无解、有重根、有两个不同根的时刻； 参数使导函数最高次项系数为0的时刻（二次函数开口方向变化）； 参数使定义域发生变化的时刻（如真数 ）； 二次型导函数分类：若 （含参），需讨论： 时退化为一次函数； 与 开口方向不同； 判别式 的正负决定 是否有实数零点； 根的大小关系决定导函数符号的区间划分； 指数型/对数型导函数分类：若导数含 或 ，通常需对参数在区间端点处的取值进行讨论。常见技巧：将导数变形为 或 形式，利用 或 的单调性判断； 导函数隐零点时参数范围确定：若 无法显式求解，利用零点存在定理先确定隐零点所在区间，再在该区间内判断参数与函数值的关系； 分离参数后利用函数图象：若求参数在某区间上使函数单调，可分离参数转化为恒成立问题，再利用图象交点判断参数的临界值； “先必要后充分”验证：由单调性条件得到参数范围后，需代回原函数验证导数符号是否确实满足要求，避免增解。 易错警示：分类讨论必须做到“不重不漏”，每种情况均需覆盖；讨论的临界点需在定义域内才有意义；二次型导函数中两根大小关系需明确（如 ），若含参则需额外讨论；参数范围需与定义域取交集；选填中可先取特殊参数值排除错误选项，再精确定位。 【典例3-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【变式3-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【变式3-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 题型4 利用导数求极值与最值 【典例4-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．求函数在区间上的最大值和最小值. 核心口诀：极值看驻点，两侧变号是关键；最值比较极值和端点，闭区间连续必有最值。 高分技巧： 极值的定义与判定（第一判定法）：若 在 两侧左正右负，则 为极大值点；左负右正为极小值点。核心是分析导数符号变化，而非仅令导数为0； 极值的第二判定法（驻点处）：若 且 ，则 为极小值点；若 ，为极大值点；若 ，判定失效，需用第一判定法或更高阶导数； 闭区间上的最值：求闭区间 上连续函数的最值，先求所有极值点（驻点+不可导点）处的函数值，再与端点值 比较，最大者为最大值，最小者为最小值； 开区间或无穷区间上的最值：若函数在开区间上连续且存在唯一极值点，则该极值即为最值；若存在多个极值点，需比较各极值并分析端点极限（ 和 ）； 含参函数的最值讨论：参数影响极值点的位置和个数。需先求导，对参数分类讨论，确定极值点，再比较极值和端点值（注意端点值也含参），最后得到关于参数的最值函数； 不可导点的极值：绝对值函数、分段函数在分段点处可能不可导，但可能是极值点。需用极值定义直接判断——比较该点左右邻域的函数值； 极值点的个数与导函数零点个数关系：若函数可导且导数无重根，极值点个数 = 导函数零点个数；若有重根，则重根处可能不是极值点（如 ， 但非极值）。 易错警示：导数为0的点不一定是极值点（需验证两侧变号）；极值点是局部概念，最值是整体概念，两者不可混淆；不可导点也可能是极值点（如 在 处）；开区间上函数可能没有最大值或最小值；含参最值问题中，参数变化可能导致极值点与端点的相对位置变化，需分段讨论。 【典例4-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【变式4-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数 . (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在上的最大值和最小值. 【变式4-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 题型5 利用导数证明不等式 【典例5-1】（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 核心口诀：移项构函数，求导看单调；端点定符号，最小值大于零。 高分技巧： 作差构造函数法：将待证不等式移项为 ，利用导数求 的最小值，证明其最小值 （或 ）。核心是分析 的符号确定 的单调区间和极值； 利用经典不等式放缩：熟知 、、（）、 等，在证明过程中直接引用，可将复杂函数简化为简单函数； 切线放缩法：若函数为凹向上（），则 在其切线上方；若为凸向上（），则在其切线下方。利用这一几何性质，将函数放缩为一次函数，简化证明； 转化两个函数的最值比较：若 与 分别求导更简单，可分别求 和 ，证明 。此法适用于 在 上方的恒成立问题； 利用单调性直接去“”：若不等式两边为同一函数形式 ，且 单调递增，则直接转化为 ；若 单调递减，则转化为 ； 对数不等式链：（），在含 的不等式证明中极为实用，可快速放缩； “端点效应”辅助证明：若 ，只需证明 即可得 ，简化证明过程。 易错警示：作差构造后求导若无法直接判定符号，需求二阶导甚至更高阶；切线放缩需确认凹凸方向，方向反了不等号就反了；经典不等式直接引用时需确认适用范围（如 对所有实数成立，而 仅对 成立）；两个函数分别求最值时，最大值和最小值需在同一区间内独立求得。 【变式5-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【变式5-2】（2026·北京·三模）已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与x轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (3)当时，求证：． 题型6 利用导数解决恒成立与能成立有解问题 【典例6-1】（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点的个数，并说明理由； (3)若，成立，求a的取值范围. 核心口诀：恒成立转最值，能成立反向看；分离参数是首选，分类讨论保周全。 高分技巧： 恒成立问题： 恒成立 ⇔ ； 恒成立 ⇔ ； 能成立（有解）问题：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ （方向与恒成立相反）； 分离参数法：将参数从不等式中分离出来，使不等式一边只含参数，另一边只含 ，转化为求含 函数的最值问题。这是最优先考虑的解法； 分离参数失效时直接构函数：若参数无法完全分离，构造 ，对参数 分类讨论，分析 的最值符号； 端点效应（必要性探索）：若不等式在区间端点处取等号，可由端点处函数值或导数值先求出参数的必要范围，再验证充分性。此法可减少分类讨论的种类； 全称量词与存在量词嵌套：若问题为“对任意 ，存在 ”，则先固定 ，求关于 的存在性条件（转化为最值），再对 求恒成立条件； 选填中的特殊值排除法：代入区间端点和特殊值（如0,1,-1），快速排除不符合的选项，再对剩余选项精确验证。 易错警示：恒成立与能成立的最值方向容易混淆，可记忆“恒成立求最值：大于小于要分清；能成立求最值：方向正好反过来”；分离参数时若除以含 的表达式，需确认其正负，否则需分类讨论；若最值在端点处取不到（开区间），需用极限描述，注意等号是否可取。 【典例6-2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【变式6-1】（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【变式6-2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 题型7 利用导数研究函数的零点与方程的根 【典例7-1】（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数，直线是曲线在点处的切线. (1)当时，求直线的方程； (2)求证：函数有唯一零点； (3)记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围. 核心口诀：零点个数看单调，极值符号定多少；分离参数转交点，图象分析最明了。 高分技巧： 单调区间法（核心通法）：求定义域→求导→定单调区间→在每个单调区间上用零点存在定理判定。关键：每个单调区间内最多一个零点，因此零点总数 = 有零点的单调区间数； 极值符号分析法：若函数先增后减（极大值 ），则： ：无零点； ：一个零点（在极大值点）； ：需看两端极限，可能两个零点或一个（若一端也趋向0）； 分离参数转化为交点：令 分离得 ，零点个数 = 水平直线 与曲线 的交点个数。利用 的值域、单调区间、极值、渐近线画图判断； 含参零点的分类讨论：参数变化影响 的单调区间和极值，需将参数分区间讨论。每段内按上述零点判定法分析； 零点存在定理的应用：若函数在区间上连续且端点值异号，则该区间上至少有一个零点。结合单调性可得唯一零点； 隐零点参与零点个数判定：若导数为零的点无法显式求解，但极值符号可通过隐零点估值确定，结合端点极限判断零点个数； 奇偶性简化零点讨论：奇函数零点关于原点对称，只需讨论 ；偶函数关于 轴对称，只需讨论 。 易错警示：零点存在定理只能证明存在性，不能证明唯一性（需结合单调性）；端点处若函数无定义需取极限；分离参数时需确保分母不为0且变形等价；含参讨论时需将所有临界参数值找全（导数零点、定义域边界、参数使函数类型变化处）。 【典例7-2】（25-26高三上·北京东城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于的方程在上无解． 【变式7-1】（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，其中. (1)求的最大值； (2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且； (3)对于（2）中的，证明：. 【变式7-2】（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 题型8 利用导数研究双变量问题 【典例8-1】（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 核心口诀：双变量，找约束；消元化归单变量，主元构造定最值；极值偏移对称构，比值换元巧变形。 高分技巧： 利用约束消元：若 满足 或 或 ，将目标式转化为关于单变量的函数； 主元法：若双变量之间无显式约束，可将一个变量视为主元，另一个视为参数，先对内层求最值，再对外层求最值（嵌套最值）； 极值点偏移的对称构造：已知 ， 为极值点，要证 ，构造 ，判断 在极值点一侧的符号； 比值换元法：令 ，将 用 表示，目标式化为单变量函数； 利用拉格朗日中值定理：若需证明 ，由中值定理转化为证明 ； 构造“和积”关系：若 是某方程的两根，利用韦达定理构造 ，，将目标式化为单变量。 易错警示：消元时需严格推导新变量的定义域；比值换元中 的范围需根据 确定（如 或 ）；极值点偏移中 必须是唯一极值点；主元法中“固定参数”并非真正常数，最终仍需对其求最值。 【典例8-2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【变式8-1】（2026·北京昌平·一模）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 【变式8-2】（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 题型9 利用导数解决极值点偏移问题 【典例9-1】（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 核心口诀：极值点左右分，对称构造证偏移；比值换元化单参，对数平均速解题。 高分技巧： 对称构造法（通法）：已知 ， 为极值点。构造 （），求导判定 的符号。若 ，则 ，又因 且 在右侧单调，可得 ，即 ； 比值换元法：令 ，由 将 用 表示，目标式 、、 等化为关于 的单变量函数，求导证明； 对数平均不等式法（含 型）：（，），直接套用快速证明加法型偏移； 指数型偏移取对数转化：含 的结构，取对数后将指数型转化为加法型或一般型处理； 乘积型偏移对数化：证 等价于证 ，即加法型偏移； 差值型偏移：证 ，令 ，构造 判定符号； 平方型/立方型偏移化归：，，化归为加法型与乘积型的组合。 易错警示：对称构造中 需在定义域内；比值换元后 的表达式若为隐式，需证明 的单调性；对数平均不等式仅适用于 ；各类型偏移之间可通过恒等式相互转化，选择最简路径。 【变式9-1】（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对于，讨论与的大小； (3)当时，证明：方程存在两个根，，且. 题型10 导数与其他知识点杂糅问题 【典例10-1】（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【典例10-2】（2026·北京西城·一模）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． (1)求函数的单调区间； (2)设，研究函数的零点个数； (3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 【变式10-1】（2026·北京东城·二模）已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. (1)求的值； (2)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (3)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 【变式10-2】（2026·北京丰台·二模）已知函数是的导函数. (1)若，求的值； (2)若存在最大值，求的取值范围； (3)设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．若，求曲线在点处的切线方程. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 3．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； 5．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 创新提升 6．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 7．（2026·北京顺义·三模）已知函数， (1)求曲线在点的切线方程； (2)若，求的极值； (3)设直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 8．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 9．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)若为的极值点，求实数的值； (2)若，讨论的单调区间； (3)若，证明：当时，曲线在处的切线总在曲线的上方. 10．（25-26高三上·北京房山·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 11．（25-26高三上·北京西城·期末）已知函数满足，其中． (1)求的值； (2)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； (3)若存在，使得对于任意，且，都有，求实数的取值范围． 12．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 13．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知函数．曲线在点切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：． 14．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知，， (1)当时，求曲线在处的切线； (2)若函数有两个极值点，求a的取值范围； (3)若函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 15．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 16．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 17．（2026·北京海淀·一模）设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 18．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 19．（2026·北京海淀·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线经过点的切线条数； (2)当时，求证：对任意； (3)若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 20．（2026·北京朝阳·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当时，判断曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，并说明理由． 21．（2026·北京房山·二模）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； (2)若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； (3)对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 22．（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 23．（2026·北京顺义·二模）已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 24．（2026·北京·模拟预测）设函数，已知曲线在点处的切线为，． (1)求和的值； (2)求的单调区间； (3)已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 25．（2026·北京大兴·三模）已知函数. (1)若曲线与直线相切于点，求a，b的值； (2)若关于的方程有两个不同的解， （i）直接写出的取值范围，并求证：； （ii）判断与的大小关系，并说明理由. 26．（2026·北京·三模）已知函数． (1)设在处的切线为，求与直线的交点坐标； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 27．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 28．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数 ． (1)若 ，求函数 的极值； (2)若 时， ，求 的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围． 29．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 30．（2026·北京·三模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线斜率； (2)求证：对任意，恒成立； (3)设函数，曲线在点处的切线为，直线与轴，轴分别交于点，．求使得成立的整数的最小值．（参考数据：，，） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训11 导数解答题题型归纳 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 导数的几何意义之切线问题 3 题型2 利用导数研究具体函数的单调性 5 题型3 利用导数研究含参函数的单调性 8 题型4 利用导数求极值与最值 12 题型5 利用导数证明不等式 16 题型6 利用导数解决恒成立与能成立有解问题 21 题型7 利用导数研究函数的零点与方程的根 29 题型8 利用导数研究双变量问题 34 题型9 利用导数解决极值点偏移问题 40 题型10 导数与其他知识点杂糅问题 44 重难专题分层过关练 52 巩固过关 52 创新提升 56 解题方法及技巧提炼 1、导数解答题的基本思路是： （1）明确题目要求——是求单调区间、极值最值、证明不等式、研究零点，还是求参数范围； （2）根据目标选择解题路径——求导、构造、分离参数、分类讨论等； （3）将问题转化为导数符号分析、函数最值比较或图象交点问题； （4）综合运用多种导数工具，规范书写推理过程，确保逻辑完整。 2、导数解答题六大核心题型的解题策略： （1）切线问题 求曲线在某点处的切线方程：先求导得斜率 ，再用点斜式写出切线方程。若切点未知，设切点 ，由切线过已知点建立关于 的方程求解。切线条数问题等价于切点方程的根的个数。 （2）单调性与极值最值问题 求导后解 ，划分单调区间。极值需检查导数在零点两侧的符号变化，最值需比较极值与区间端点值。含参时按参数对导数零点的影响分类讨论，注意定义域对单调区间的限制。 （3）利用导数证明不等式 将不等式移项构造辅助函数 ，证明其最小值大于0或最大值小于0。常用策略：直接作差法、分离构造法（两端分别求最值）、放缩法（利用常见不等式如 、 替换超越式）、隐零点代换法（极值点无法求出时整体化简）。 （4）恒成立与能成立问题 转化为函数最值关系。恒成立 ；能成立 。核心方法：分离参数法（参数易分离时）、分类讨论法（参数无法分离时）、端点效应法（端点处取等时，先必要后充分）、必要性探路法（特殊值缩小讨论范围）。 （5）零点与方程根问题 利用导数研究函数单调性与极值符号，结合零点存在性定理判定零点个数与分布。含参零点问题常用分离参数转化为水平直线与函数图象的交点问题。隐零点问题通过“设而不求、整体代换”化简极值或不等式。 （6）双变量与极值点偏移问题 双变量问题通过主元法、差值换元（设 ）、比值换元（设 ）将多变量转化为单变量函数。极值点偏移用对称构造法（构造函数 ）或对数均值不等式 处理，核心是化双变量为单变量。 3、实用技巧与答题规范： （1）求导后先看能否因式分解，若能则零点清晰，直接列表讨论；若不能则考虑二阶导数判断一阶导符号，或判断隐零点存在性； （2）分类讨论时按参数对导数零点个数及位置的影响划分，做到不重不漏；讨论完毕后需综合结论，不能只写各类结果； （3）列表表示单调性时，表头依次为 、 的符号、 的单调性，极值点处标注 的取值； （4）端点处若取不到，需用极限符号表示（如 ），并说明极限值对最值判断的影响。 4、易错点与关键提醒： （1）定义域优先，所有求导和讨论必须在定义域内进行；当参数影响定义域时，优先讨论定义域的变化； （2）分类讨论的标准要统一，不能在同一题中交叉使用不同标准；讨论时优先处理参数在关键点（使导数为0或使定义域改变）处的取值； （3）证明不等式时，若一次构造无法直接求导，可先对不等式取对数、乘除正数等恒等变形后再构造，但必须注明变形依据； （4）零点存在性定理只能判定有零点，结合单调性才能判定唯一性；若区间端点处函数值同号，不能直接判断无零点，需结合极值进一步分析； （5）注意“恒成立”与“能成立”的逻辑区别，以及“任意”与“存在”的组合命题（如“任意 ，存在 ”与“存在 ，任意 ”的转化方式不同）； 题型通法及变式提升 题型1 导数的几何意义之切线问题 【典例1-1】（25-26高三·北京·二轮复习），函数.当时，求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】代入的值，计算切点坐标，利用导数求切线斜率，求出切线方程即可. 【详解】当时，，则有， 又，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 核心口诀：切点坐标是关键，导数即斜率先算；点斜式写切线方程，切点未知设参列方程。 高分技巧： 已知切点求切线：若切点为 ，则切线斜率 ，切线方程为 。这是最基本的考法，直接套公式即可； 已知斜率求切点：已知切线斜率为 ，令 解方程得切点横坐标 ，代回原函数得纵坐标，再写切线方程。若解出的切点不唯一，说明存在多条切线； 已知切线过某点求切线（切点未知）：设切点为 ，切线方程为 。将切线经过的点 代入，得 ，解关于 的方程求切点，再回代写切线。注意：过某点不一定该点就是切点，这是最常见的陷阱； 切线存在的条件（切点处可导）：若函数在某点不可导（如尖点、断点），则切线不存在。选填中遇到绝对值函数或分段函数，需先判断可导性； 切线与坐标轴围成面积：切线在 轴、 轴上的截距可求，进而计算与坐标轴围成的三角形面积。核心公式：切线 与两坐标轴围成的面积为 （）； 两曲线公切线问题：若直线 同时与曲线 和 相切，设两个切点分别为 和 ，则斜率相等：，且同一条直线的截距也相等：，联立方程组求解； 切线与曲线交点个数（切线的穿越性）：若切线穿过曲线（即切点两侧曲线位于切线两侧），则切点为拐点；若切线不穿过曲线，则切点为极值点附近。选填中可据此判断切点性质。 易错警示：“过某点的切线”中该点不一定是切点，必须设切点参数列方程；切点横坐标若有多个，需逐一验证是否确实在曲线上；公切线问题中两切点可能重合也可能不同，需分类讨论；切线斜率不存在时（垂直于 轴），切线方程为 ，需单独处理。 【典例1-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数.求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】由导数的几何意义可知,由函数解析式可知.利用点斜式就可以求出切线方程. 【详解】因为, 所以, 所以,又. 所以曲线在点处的切线方程为. 【变式1-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】先求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； 【详解】，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 【变式1-2】（25-26高三·北京·二轮复习）设函数，直线是曲线在点处的切线．求证：不经过点. 【答案】证明见解析 【分析】写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； 【详解】，切线的斜率为， 则切线方程为，假设切线经过， 将代入则， 即，则，， 令， ，在上单调递增，， 在无零点，这与假设得到的矛盾， 故直线不过. 题型2 利用导数研究具体函数的单调性 【典例2-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数，求的单调区间. 【答案】增区间为和；减区间为 【分析】先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可. 【详解】，的定义域为， 则， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 所以的增区间为和；减区间为. 核心口诀：定义域先行，求导定符号； 增， 减。 高分技巧： 定义域优先：求导前必须先确定函数的定义域，单调区间必在定义域内。对数函数真数 ，分式分母 ，根号内 等限制需标注； 解不等式 和 ：求出导数后，分别解两个不等式。解集与定义域取交集，即为单调递增区间和单调递减区间； 导函数恒正/恒负：若 在定义域上恒成立，则函数在整个定义域上单调递增（如 ，，仅在个别点取等，仍为严格增函数）； 复合函数求导的链式法则：。先确定外层和内层，分别求导后相乘。选填中可简化计算：内层增且外层增 → 复合增；内层增外层减 → 复合减（同增异减）； 分段函数单调性：需分别判断各段内的单调性，并检查分段点处函数值的大小关系是否满足整体单调性要求。若函数在定义域上单调递增，则分段点左侧函数值 ≤ 右侧函数值； 含绝对值函数的单调性：先去绝对值化为分段函数，再分别求导判断各段单调性，最后合并； “导数为零但不变号”的处理：若 但 在 左右两侧符号相同，则 不是极值点，不影响单调区间的划分。 易错警示：导数大于零是函数单调递增的充分不必要条件——若函数单调递增，可能在某些点导数为零（如 ）；解 时需注意分母不能为0；分段函数整体单调性需检查分段点处的连续性；定义域若为多个不连续的区间，应分别写出单调区间，不可用并集符号连接。 【典例2-2】（25-26高三·北京·二轮复习）设函数，曲线在点处的切线方程为．设函数，求的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】根据切线斜率求出，再根据的正负性求出单调区间. 【详解】因为， 且曲线在点处的切线方程为， 所以，，得， 则， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和， 单调递增区间为和. 【变式2-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数（）.若，求函数的单调区间. 【答案】单调递增区间为，无单调递减区间 【分析】求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； 【详解】当时，，函数定义域为， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，此时，故 当时，，此时，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 【变式2-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)已知，直接写出函数的零点个数． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)1 【分析】（1）求导，设切点为，由导数几何意义得到方程，解得，得到切点坐标，求出切线方程； （2）先求定义域，令得，令得或，从而求出单调区间； （3）令，则或，从而可得零点个数. 【详解】（1）由题意的， 而切线的倾斜角是0，则切线斜率为， 设切点为，则，解得， 故，故切点坐标为， 故该切线方程为； （2）在中，令，解得， 故定义域为， 由（1）知，，令得， 令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； （3）令，则或， 当时，即，解得， 当，即，解得， 因为函数定义域为， 所以函数零点的个数为1. 题型3 利用导数研究含参函数的单调性 【典例3-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．讨论的单调区间； 【答案】答案见解析 【分析】求导，分与讨论即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 核心口诀：参数位置要盯紧，分类讨论界分明；导数为零解含参，临界点处定区间。 高分技巧： 分类讨论的标准：含参函数的导函数一般为含参方程，分类讨论的临界点为： 参数使导数方程无解、有重根、有两个不同根的时刻； 参数使导函数最高次项系数为0的时刻（二次函数开口方向变化）； 参数使定义域发生变化的时刻（如真数 ）； 二次型导函数分类：若 （含参），需讨论： 时退化为一次函数； 与 开口方向不同； 判别式 的正负决定 是否有实数零点； 根的大小关系决定导函数符号的区间划分； 指数型/对数型导函数分类：若导数含 或 ，通常需对参数在区间端点处的取值进行讨论。常见技巧：将导数变形为 或 形式，利用 或 的单调性判断； 导函数隐零点时参数范围确定：若 无法显式求解，利用零点存在定理先确定隐零点所在区间，再在该区间内判断参数与函数值的关系； 分离参数后利用函数图象：若求参数在某区间上使函数单调，可分离参数转化为恒成立问题，再利用图象交点判断参数的临界值； “先必要后充分”验证：由单调性条件得到参数范围后，需代回原函数验证导数符号是否确实满足要求，避免增解。 易错警示：分类讨论必须做到“不重不漏”，每种情况均需覆盖；讨论的临界点需在定义域内才有意义；二次型导函数中两根大小关系需明确（如 ），若含参则需额外讨论；参数范围需与定义域取交集；选填中可先取特殊参数值排除错误选项，再精确定位。 【典例3-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）求的导函数，分，，，分类讨论求和的解集，从而求出函数的单调区间； 【详解】（1）当时，，，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： 最大值 所以在内单调递增，在内单调递减． ②当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． ④当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． 【变式3-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据零点的定义直接求解即可； （2）利用导数与函数单调性质间的关系，分、、三种情况进行讨论，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 若，则，得到或（舍），所以， 所以的零点为. （2）若，，函数的定义域为， 所以，令，得或， 即或， ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式3-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率和，由题意列方程组，求解即得； （2）根据函数在给定区间上为增函数，得到在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而将问题转化为求的最值问题. 【详解】（1）由可得，， 则切线的斜率，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立.记函数，则， 因为，所以，所以在区间上为增函数， 故，所以，所以的取值范围为. 题型4 利用导数求极值与最值 【典例4-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】最大值1；最小值. 【分析】求出函数的导数，分析可得导数小于0，判断原函数单调性，利用单调性求最值. 【详解】， 设， 则. 当时，，所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 核心口诀：极值看驻点，两侧变号是关键；最值比较极值和端点，闭区间连续必有最值。 高分技巧： 极值的定义与判定（第一判定法）：若 在 两侧左正右负，则 为极大值点；左负右正为极小值点。核心是分析导数符号变化，而非仅令导数为0； 极值的第二判定法（驻点处）：若 且 ，则 为极小值点；若 ，为极大值点；若 ，判定失效，需用第一判定法或更高阶导数； 闭区间上的最值：求闭区间 上连续函数的最值，先求所有极值点（驻点+不可导点）处的函数值，再与端点值 比较，最大者为最大值，最小者为最小值； 开区间或无穷区间上的最值：若函数在开区间上连续且存在唯一极值点，则该极值即为最值；若存在多个极值点，需比较各极值并分析端点极限（ 和 ）； 含参函数的最值讨论：参数影响极值点的位置和个数。需先求导，对参数分类讨论，确定极值点，再比较极值和端点值（注意端点值也含参），最后得到关于参数的最值函数； 不可导点的极值：绝对值函数、分段函数在分段点处可能不可导，但可能是极值点。需用极值定义直接判断——比较该点左右邻域的函数值； 极值点的个数与导函数零点个数关系：若函数可导且导数无重根，极值点个数 = 导函数零点个数；若有重根，则重根处可能不是极值点（如 ， 但非极值）。 易错警示：导数为0的点不一定是极值点（需验证两侧变号）；极值点是局部概念，最值是整体概念，两者不可混淆；不可导点也可能是极值点（如 在 处）；开区间上函数可能没有最大值或最小值；含参最值问题中，参数变化可能导致极值点与端点的相对位置变化，需分段讨论。 【典例4-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1). (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点. 【详解】（1）由题意得，， 则， ，即切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即. （2），， 时，定义域为，，无极小值； 当时，定义域为. 令，即，则， 所以， 解得或， 当时，，解得或， 在区间和上， 单调递增； ，解得且， 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为. 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【变式4-1】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数 . (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)极大值是2，极小值是. (3)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）根据函数的导数的正负性与函数的单调性的关系进行求解即可； （2）根据函数极值的定义，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数最值的定义，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）对函数求导得. 当或时，；当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为，令，解得或. 由（1）知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 所以当时，取极大值为，当时，取极小值为. （3）由（1）知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 因为， 所以在上的单调递增区间为和，单调递减区间为. 而， 所以在上的最大值为2，最小值为 【变式4-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由极值点的定义可得出，可求出a的值，可得出函数的解析式，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出实数a的值； 【详解】（1）因为， 则，，故， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，所以， 此时，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，单调递增，则，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. 题型5 利用导数证明不等式 【典例5-1】（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）对求导，整理得，令，有两个极值点等价于有两个变号零点，分和讨论判断单调性和极值结合零点存在性定理求解； （3）令，利用导数证明，令，利用导数证明，得证. 【详解】（1）当时，，则， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点. 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，，因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点. （3）令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以，即. 核心口诀：移项构函数，求导看单调；端点定符号，最小值大于零。 高分技巧： 作差构造函数法：将待证不等式移项为 ，利用导数求 的最小值，证明其最小值 （或 ）。核心是分析 的符号确定 的单调区间和极值； 利用经典不等式放缩：熟知 、、（）、 等，在证明过程中直接引用，可将复杂函数简化为简单函数； 切线放缩法：若函数为凹向上（），则 在其切线上方；若为凸向上（），则在其切线下方。利用这一几何性质，将函数放缩为一次函数，简化证明； 转化两个函数的最值比较：若 与 分别求导更简单，可分别求 和 ，证明 。此法适用于 在 上方的恒成立问题； 利用单调性直接去“”：若不等式两边为同一函数形式 ，且 单调递增，则直接转化为 ；若 单调递减，则转化为 ； 对数不等式链：（），在含 的不等式证明中极为实用，可快速放缩； “端点效应”辅助证明：若 ，只需证明 即可得 ，简化证明过程。 易错警示：作差构造后求导若无法直接判定符号，需求二阶导甚至更高阶；切线放缩需确认凹凸方向，方向反了不等号就反了；经典不等式直接引用时需确认适用范围（如 对所有实数成立，而 仅对 成立）；两个函数分别求最值时，最大值和最小值需在同一区间内独立求得。 【变式5-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)①； ②证明：∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②略 【变式5-2】（2026·北京·三模）已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与x轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (3)当时，求证：． 【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)曲线在处的切线方程为令，得，整理得： 当时，，且， 则 因此 即 令，， 令，. 时，，单调递增；时，，单调递减. ，故对所有成立，在上单调递减. ，故时，； 时，； 时，. 由，得. 当时，，故； 当时，，故； 当时，. 综上，对所有，成立. 【分析】（1）先求的导函数，因为讨论单调性需根据导函数的符号变化，所以对参数分类讨论，结合导函数的零点分析的单调区间； （2）因为在上单调递增等价于对任意恒成立，分离参数分情况假设即可； （3）先根据切线方程求出与、的关系，因为，所以可先求出的表达式，合的性质推导与的符号关系，最终证明不等式. 【详解】（1）设，求导得 当时，恒成立，故在上单调递增. 当时，令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）在上单调递增，等价于对所有恒成立. 当时，，恒成立. 当时，恒成立.令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 时，取得最小值，故. 当时，恒成立. 在单调递减，且时，时，故. 综上，的取值范围是. （3）略 题型6 利用导数解决恒成立与能成立有解问题 【典例6-1】（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点的个数，并说明理由； (3)若，成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对求导，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解； （2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解； （3）问题转化为在上恒成立，利用导数求右侧的取值范围，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，，则，所以切点为， 由，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即； （2）由题意知的定义域为，， 令， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 时，，在单调递增，无极值点； 时，，设方程的两根为， 所以，此时， ， ， ， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有两个极值点； 当时，，设方程的两根为， 所以，此时，而， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有一个极值点； 综上： 当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点. （3）由成立等价于在上恒成立. 令且，则， 令且，则， 所以在上单调递增，则，故， 所以在上单调递增，时，时， 所以，则. 核心口诀：恒成立转最值，能成立反向看；分离参数是首选，分类讨论保周全。 高分技巧： 恒成立问题： 恒成立 ⇔ ； 恒成立 ⇔ ； 能成立（有解）问题：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ （方向与恒成立相反）； 分离参数法：将参数从不等式中分离出来，使不等式一边只含参数，另一边只含 ，转化为求含 函数的最值问题。这是最优先考虑的解法； 分离参数失效时直接构函数：若参数无法完全分离，构造 ，对参数 分类讨论，分析 的最值符号； 端点效应（必要性探索）：若不等式在区间端点处取等号，可由端点处函数值或导数值先求出参数的必要范围，再验证充分性。此法可减少分类讨论的种类； 全称量词与存在量词嵌套：若问题为“对任意 ，存在 ”，则先固定 ，求关于 的存在性条件（转化为最值），再对 求恒成立条件； 选填中的特殊值排除法：代入区间端点和特殊值（如0,1,-1），快速排除不符合的选项，再对剩余选项精确验证。 易错警示：恒成立与能成立的最值方向容易混淆，可记忆“恒成立求最值：大于小于要分清；能成立求最值：方向正好反过来”；分离参数时若除以含 的表达式，需确认其正负，否则需分类讨论；若最值在端点处取不到（开区间），需用极限描述，注意等号是否可取。 【典例6-2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 【变式6-1】（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 【变式6-2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 【答案】(1) (2) (3) 由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，则，所以在区间上单调递增， 要证对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 令， 则，当时，， 又，则，所以当时，， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，即， 故命题得证. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解； （2）先求出的单调区间，进而求出的最小值为，再结合条件可得，再求解不等式，即可求解； （3）利用（2）中的结果，将问题转化成证明对任意，，当时，不等式恒成立，构造函数，利用导数，求出其在区间上的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）易知的定义域为，且， 因为，令，得到，当时，， 当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由题知，存在，使，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，， 故的取值范围为. （3）略 题型7 利用导数研究函数的零点与方程的根 【典例7-1】（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数，直线是曲线在点处的切线. (1)当时，求直线的方程； (2)求证：函数有唯一零点； (3)记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) ， 令可得，列表可得 单调递减 极小值 单调递增 当，，此时函数无零点； 当时，单调递增， 又，， 所以根据零点存在性定理，函数存在唯一零点. (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理可证； （3）先解得，再构造函数，再用导数判断成立的条件可得. 【详解】（1）由，可得，.又因为时，. 因为直线是曲线在点处的切线，所以直线的方程为， 所以，直线的方程为，即. （2）略. （3）由（1）可知直线的方程为， 因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，， 所以令，当时，有. 设，则. 又，所以， 由（2）知，且当，且. 所以当或时，；当或时，. 列表可得 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 当时，，不满足， 当时，，即成立 综上可知，. 核心口诀：零点个数看单调，极值符号定多少；分离参数转交点，图象分析最明了。 高分技巧： 单调区间法（核心通法）：求定义域→求导→定单调区间→在每个单调区间上用零点存在定理判定。关键：每个单调区间内最多一个零点，因此零点总数 = 有零点的单调区间数； 极值符号分析法：若函数先增后减（极大值 ），则： ：无零点； ：一个零点（在极大值点）； ：需看两端极限，可能两个零点或一个（若一端也趋向0）； 分离参数转化为交点：令 分离得 ，零点个数 = 水平直线 与曲线 的交点个数。利用 的值域、单调区间、极值、渐近线画图判断； 含参零点的分类讨论：参数变化影响 的单调区间和极值，需将参数分区间讨论。每段内按上述零点判定法分析； 零点存在定理的应用：若函数在区间上连续且端点值异号，则该区间上至少有一个零点。结合单调性可得唯一零点； 隐零点参与零点个数判定：若导数为零的点无法显式求解，但极值符号可通过隐零点估值确定，结合端点极限判断零点个数； 奇偶性简化零点讨论：奇函数零点关于原点对称，只需讨论 ；偶函数关于 轴对称，只需讨论 。 易错警示：零点存在定理只能证明存在性，不能证明唯一性（需结合单调性）；端点处若函数无定义需取极限；分离参数时需确保分母不为0且变形等价；含参讨论时需将所有临界参数值找全（导数零点、定义域边界、参数使函数类型变化处）。 【典例7-2】（25-26高三上·北京东城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于的方程在上无解． 【答案】(1) (2)（i）极小值为，无极大值； （ii）证明见解析 【分析】（1）代入，将求导，计算出导数斜率，最后写出切线方程. （2）（i）第一问直接代入，求导数零点，算出极值. （ii）将原方程等价变换为，然后构造辅助函数，分析单调性，利用单调性证明. 【详解】（1）由条件得．所以．所以． 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）（i）由条件得，所以． 令，即，解得． 当变化时，变化如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值． （ii）关于的方程等价于， 由于，故 令，所以． 令，则 因为，． 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即． 所以在区间上单调递增． 因为，所以当时，． 故当时，关于的方程在上无解． 【变式7-1】（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，其中. (1)求的最大值； (2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且； (3)对于（2）中的，证明：. 【答案】(1)； (2)证明：当时，由，求导得，函数在上递增， 而，又在区间上有且只有一个零点，则， 因此，且， 由（1）知，函数在上递减，， 因此函数在区间上有且只有一个零点，且，又函数， 且， 因此，又当时，，， 所以，即. (3)证明：由（2）得，即， 不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上递增，则，即，函数在上递增， 因此，即，所以. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值. （2）利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. （3）结合（2）的结论，等价变形所证不等式，构造函数，再利用导数证得即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得最大值. （2）略 （3）略 【变式7-2】（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义求切线即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）易知一个零点是，结合与（2）所求的单调性，讨论，与即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，切线斜率，因此切线方程为. （2）， 当时，，故恒成立，因此 在R上单调递减，无单调递增区间； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）可知当时单调递减，仅1个零点，不符合题意，故； 当时，由（2）知最小值为， 令，，令，解得， 所以当，，单调递增； 当，，单调递减， 所以，故， 故，要保证存在两个根，则且，即. 注意到对任意，，即恒为的一个零点， 因此有两个不同零点且等价于存在另一个零点，且， 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得， 综上的取值范围是. 题型8 利用导数研究双变量问题 【典例8-1】（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减． (3)因为，所以， ①当时，，由（2）知在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， ②当时，令， 则，， 由（2）知 在 上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时， 综上，当时，． 【分析】（1）先求出函数在处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程； （2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （3）构造，通过求导判断其单调性，进而证明不等式． 【详解】（1）由，得， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 令，得；令，得．. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）略 核心口诀：双变量，找约束；消元化归单变量，主元构造定最值；极值偏移对称构，比值换元巧变形。 高分技巧： 利用约束消元：若 满足 或 或 ，将目标式转化为关于单变量的函数； 主元法：若双变量之间无显式约束，可将一个变量视为主元，另一个视为参数，先对内层求最值，再对外层求最值（嵌套最值）； 极值点偏移的对称构造：已知 ， 为极值点，要证 ，构造 ，判断 在极值点一侧的符号； 比值换元法：令 ，将 用 表示，目标式化为单变量函数； 利用拉格朗日中值定理：若需证明 ，由中值定理转化为证明 ； 构造“和积”关系：若 是某方程的两根，利用韦达定理构造 ，，将目标式化为单变量。 易错警示：消元时需严格推导新变量的定义域；比值换元中 的范围需根据 确定（如 或 ）；极值点偏移中 必须是唯一极值点；主元法中“固定参数”并非真正常数，最终仍需对其求最值。 【典例8-2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【详解】（1）由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. （3）由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 【变式8-1】（2026·北京昌平·一模）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2) 要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，， 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证． (3) ，求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证. 【分析】（1）利用导数几何意义，切线平行于轴即斜率为零，通过解导数为零的方程并结合函数表达式确定点坐标； （2）将分式不等式转化为函数单调性问题，构造函数并利用导数判断其单调性，从而证明原不等式成立； （3）先通过导数分析函数单调性与极值，结合极限与零点存在定理说明唯一零点；再借助函数单调性，将自变量范围比较转化为函数值大小比较，代入后利用已知参数范围证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． （2）略 （3）略 【变式8-2】（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明：由可得 令，可知是该方程的一个根； 令，则恒成立； 故在上单调递增， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值，； 故，故恒成立； (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义，在一点处的导数值等于在这点处切线的斜率，由此写出切线方程即可； （2）利用导函数的正负判断原函数的单调性，通过单调性变化得到最值，从而证明结论即可； （3）根据第二问函数的单调性，化简，判断绝对值的最值，通过构造函数，利用新函数的单调性，通过不等式计算参数的取值范围． 【详解】（1）当时，，； ，； 故曲线在点处的切线方程为：； （2）略； （3）由（2）可知，对任意的，在上单调递减，在上单调递增； 故在处取最小值，，最大值为， 则成立的充要条件为，，； 令，则，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故， 令， 则，故单调递增，且， 故当时，，， 当时，，， 综上，需满足， 故，解得 综上，m的取值范围为． 题型9 利用导数解决极值点偏移问题 【典例9-1】（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）略 核心口诀：极值点左右分，对称构造证偏移；比值换元化单参，对数平均速解题。 高分技巧： 对称构造法（通法）：已知 ， 为极值点。构造 （），求导判定 的符号。若 ，则 ，又因 且 在右侧单调，可得 ，即 ； 比值换元法：令 ，由 将 用 表示，目标式 、、 等化为关于 的单变量函数，求导证明； 对数平均不等式法（含 型）：（，），直接套用快速证明加法型偏移； 指数型偏移取对数转化：含 的结构，取对数后将指数型转化为加法型或一般型处理； 乘积型偏移对数化：证 等价于证 ，即加法型偏移； 差值型偏移：证 ，令 ，构造 判定符号； 平方型/立方型偏移化归：，，化归为加法型与乘积型的组合。 易错警示：对称构造中 需在定义域内；比值换元后 的表达式若为隐式，需证明 的单调性；对数平均不等式仅适用于 ；各类型偏移之间可通过恒等式相互转化，选择最简路径。 【变式9-1】（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对于，讨论与的大小； (3)当时，证明：方程存在两个根，，且. 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3) 因为的定义域为，，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 则与有2个交点，所以方程存在两个根，， 不妨设，则，且， 由（2）可知：当时，， 则，即， 又因为，，且在内单调递减， 则，所以. 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）利用作差法可得，构造新函数，，利用导数判断单调性，进而分析符号； （3）利用导数判断的单调性和最值，即可证方程存在两个根，结合（2）中大小关系分析证明. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. （2）由题意可知：的定义域为，则， 可得， 因为，且，则， 令，， 则， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 即，可知在内单调递增，且， 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 综上所述：当时，；当时，；当时，. （3）略 题型10 导数与其他知识点杂糅问题 【典例10-1】（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，无极值；时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【详解】（1）当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； （2）由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； （3）由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 【典例10-2】（2026·北京西城·一模）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． (1)求函数的单调区间； (2)设，研究函数的零点个数； (3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)单调递减区间为：，单调递增区间为：. (2)无零点. (3)面积. 【分析】（1）先求定义域，再求导找零点，划分区间判符号，确定单调减区间，再确定单调增区间. （2）提取公因式转化函数，求导找单调性与最小值，判断最小值恒正，推出函数恒正，故无零点. （3）先求切线方程得截距坐标，由等腰直角得边长相等，分类讨论去绝对值，构造函数求零点，算出坐标求面积. 【详解】（1）定义域：，函数求导得. 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述, 单调递减区间为：，单调递增区间为：. （2）由题可知， 所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数. ，令得. ，，单调递减； ，，单调递增. 所以函数有极小值同时也为最小值. 故恒成立，所以无零点. （3）函数求导得. 所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ,右边 . 此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去. 若两边约去 ,得： 令 ,则 ,方程变为：. 情况1: ,即 , 设 , 时, , , 单调递增. 因为 ,故唯一解 即 ,此时 ,. 等腰直角三角形面积. 情况2: ,即 , 设 , 单调递增; , , 单调递减。 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立,方程无解. 综上,方程只有唯一解 , , ,面积 . 【变式10-1】（2026·北京东城·二模）已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. (1)求的值； (2)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (3)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 【答案】(1) (2) 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时， 与的交点位于y轴右侧； (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）联立与的方程，求出交点横坐标，令，判断交点横坐标的正负； （3）求出坐标，根据求出的值，利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【详解】（1），，， ， 因为，所以 ，即，解得； （2）略 （3）由题可知，，， 则， 若，则，解得， 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当 时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 【变式10-2】（2026·北京丰台·二模）已知函数是的导函数. (1)若，求的值； (2)若存在最大值，求的取值范围； (3)设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 由（1）知，可得 因为在处取得最大值，则是的极大值点， 即是的根，则，解得， 把代入得，可得 ， 则曲线在点处的切线方程为 ， 令 ，可得， 又因为 ， 可得 ， 在中，为原点，， 所以， 当时，，令 ， 可得， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以， 因为的面积为，可得，即， 设 ，可得 ， 设 ，可得， 令 ，可得在上单调递增， 所以 ，可得，所以在上单调递增， 所以 ， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以在上无解，即不存在的值，使得的面积为. 【分析】（1）求得 ，将代入和，求得 和，结合 ，即可求解； （2）令，求得，令 ，结合二次函数的性质，分类讨论，求得函数的单调性，进而得到答案. （3）由，得到，根据在处取得最大值，求得，求得切线方程，求得，得到，再由的面积为，得到，设，利用导数求得在上单调递增，得出在上无解，即可得到答案. 【详解】（1）由函数，可得 ， 则 ， ， 因为 ，可得，解得. （2）函数的定义域为,因 ， 令，则 令 ， ①当时，即时， 在上恒成立， 即在上恒成立；所以在上单调递增，无最大值,不合题意； ②当时，即时，二次函数 的图象开口向上， 且对称轴，，所以在上恒成立； 即在上恒成立；则在上单调递增，无最大值，不合题意； ③当时，即时，在的根处取得最大值， 由二次函数的图象开口向下，对称轴， 因为，所以存在，， 当时，，即，在上单调递增； 当时，，即，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 综上可得，实数的取值范围为. （3）略 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数．若，求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； 【详解】当时，， 则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为， 即. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 【答案】(1)； (2)极大值点为，无极小值点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可； （2）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为时，所以，求导得. 所以，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，所以，函数的定义域为， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为，无极小值点. 3．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得到，利用导数的几何意义及点斜式写出切线方程； （2）先求定义域，求导后，即在区间上恒成立，即，求出的最小值，从而得到参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为定义域为，， 要使为增函数，则要满足在区间上恒成立， 又恒成立，所以恒成立，即在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以，得到， 所以的取值范围是. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； 【详解】（1）由函数，函数的定义域为R， ， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为， 令，则，故在上单调递增， 又，，故存在，使得， 当时，，当时，， 所以时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点. 5．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）略 （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 创新提升 6．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 7．（2026·北京顺义·三模）已知函数， (1)求曲线在点的切线方程； (2)若，求的极值； (3)设直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 (3)不存在点，使的面积为，理由如下： 由，得，所以， 又， 所以切线的方程为， 令，得， 所以， 所以切线与轴的交点. 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令， 所以， 所以， 由，得 所以，所以， 令， 所以 ， 所以无解， 故不存在点，使的面积为. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求得函数的单调性可求得极值； （3）求得切线的方程为，进而求得三角形的面积与的函数关系，根据是否有解可得结论. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 可得， 令，可得，解得或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，极大值为 ， 当时，函数取得极小值，极小值为. （3）略. 8．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ） 【分析】（1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； （2）（ⅰ）由题意可得和是的零点，结合韦达定理与导数的几何意义计算即可得解；（ⅱ）借助导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，从而可表示出，结合、的关系计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 故在点处的切线为，， 令，则， 又，故， 故，又，且， 所以， 令，则，又， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为. 9．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)若为的极值点，求实数的值； (2)若，讨论的单调区间； (3)若，证明：当时，曲线在处的切线总在曲线的上方. 【答案】(1) (2)当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为、，增区间为. (3)因为，，故曲线在点处的切线方程为， 令， 因为，故函数的定义域为， 则， 令可得或，其中，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以， 故当时，曲线在点处的切线总在曲线的上方. 【分析】（1）由题意得出，结合可得出的值，然后结合函数极值点的定义检验即可； （2）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）构造函数，求出该函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 因为为函数的极值点，所以， 因为，解得， 检验：当时，， 由可得，即函数的定义域为， ， 令，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以为函数的极大值点，符合题意， 综上所述，. （2）因为，由得，故函数的定义域为， ， ①当时，由于函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，，则，此时函数的减区间为，无增区间； ②当时，令，得，， 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时函数的减区间为、，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为、，增区间为. （3）略 10．（25-26高三上·北京房山·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)单调递增，理由见解析. 【分析】（1）根据求出； （2）化简，再分、、三种情况讨论的单调性； （3）根据，化简得，再判断各因式的正负性. 【详解】（1）由题意得，的定义域为，， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以， 则，经检验，此时切线与轴不重合，符合题意； （2）， 当时，， 若，则，则在上单调递增， 则在上无极值，不符合题意； 若，则，则在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； 若，即，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则在区间上恰有一个极值点， 故的取值范围为； （3）因为，所以，则， 则 因为关于的函数在上单调递减， 则， 因为，，所以， 故，则函数在区间上单调递增. 11．（25-26高三上·北京西城·期末）已知函数满足，其中． (1)求的值； (2)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； (3)若存在，使得对于任意，且，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知曲线在点处的切线斜率， 设函数， 求导，得，令，得， 当变化时，与的变化如下表： 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值， 当时，，得在上无解， 又因为，且函数在上单调递增， 所以，在上有且仅有一解，即有且仅有一条切线的斜率为， 易得曲线在点处的切线为， 因为， 所以在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； (3) 【分析】（1）求导，求出，代入后建立和求解方程； （2）构造函数，通过对其求导分析单调性和利用零点存在定理判断零点个数； （3）通过变形将原不等式问题转化为函数单调性问题，再通过构造函数并准确分析其单调性求出最值来确定的范围. 【详解】（1）求导，得， 则，解得； （2）略 （3）因为当时， ， 所以在上单调递增，即当时，， 故不等式可化为，即， 设，则在上单调递增， 求导，得， 所以对任意，恒成立（有限个使得等号成立）， 即当时，恒成立， 设，其中，则， 由，解得，故在上单调递减， 由，解得，故在上单调递增， 所以当时，， 所以的取值范围是. 12．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】(1)17 (2)0 (3)当时，，当时，. 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，当时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在轴上的截距为17. （2）因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当时，恒成立，所以，所以， 当，恒成立，所以 所以，所以的值是0. （3）当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当时，令， 即，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当时，. 13．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知函数．曲线在点切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：． 【答案】(1)1 (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 由，得，， 而，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，即. 曲线在点处的切线方程为， 令，得，即. 则 ， ， 设， 则， 由于，则，，则，即， 所以函数在上单调递增，则， 即， 由于，则，， 由（2）知，时，，时，， 则，， 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题设直接求解即可； （2）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间； （3）先由导数的几何意义结合题设得到，进而构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由， 则，即，则. （2）由（1）知，，则， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）略 14．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知，， (1)当时，求曲线在处的切线； (2)若函数有两个极值点，求a的取值范围； (3)若函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意利用导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可得解； （2）分、和分析导函数正负情况即可由极值点定义求解； （3）由（2）得到函数单调性和极值情况，再分析极值和函数值的正负情况即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 因此，， 因此切线方程为； （2）当时，定义域为， ， 令，或， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此此时有两个极值点，符合题意； 当时，定义域为， 令，或， 当时，， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 极大值 此时只有一个极值点，不合题意； 当时，， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此此时有两个极值点，符合题意. 综上，的取值范围为； （3）由（2）的单调性得当时，， 故此时至多一个零点，不合题意，舍去； 当时，， ， 因为，，， 因此恒成立，此时至多一个零点，不合题意，舍去， 当时，， 当时，，当时，， 当时，， 此时函数在和上各有一个零点，符合题意； 当时，，函数不会有两个零点，不合题意， 综上，的取值范围为. 15．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在 上单调递减， 所以. (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）略 （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在 上 ，故在 单调递增， 所以 ，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在 单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故 在上有解， 综上，的范围是. 16．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 17．（2026·北京海淀·一模）设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1) 若，则的定义域为，且， 令，可得，解得或（舍去）， 且，则在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线. (2)当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 无极值，理由如下： 因为，且， 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 综上所述：无极值. 【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当时，，且，结合导数的几何意义分析证明； （2）求导，分和两种情况，结合导数分析原函数单调性，注意函数定义域； （3）求导，分和两种情况，结合（2）中的单调性以及的符号分析的符号性，即可判断. 【详解】（1）略 （2）因为，， 令，解得或， 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）略 18．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性； （2）将曲线存在两点关于对称转化为方程存在两个不同实根，然后构造函数分析单调性求解； （3）根据导数的几何意义得到直线的方程，即可得到，然后代入，利用换元法求范围即可. 【详解】（1）令，定义域为R，求导得： ， 因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令，求导得： ， 恒成立， ∴时，，单调递增， 时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. （3）切线斜率，切线方程为， 令得： ， 与垂直，斜率，方程为， 令得： ， 代入所求表达式化简， 全部消去： ， 设，则原式， 对求导得，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， 是关于的增函数， ∴ ， ∴的取值范围为取值范围为. 19．（2026·北京海淀·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线经过点的切线条数； (2)当时，求证：对任意； (3)若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 【答案】(1)3； (2)证明：函数的定义域为R，求导得， 令，求导得， 由，，得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，函数在上单调递增， ， 所以当时，对任意. (3). 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过点的切线方程，进而确定切线条数. （2）求出函数的导数并确定其单调性，由最大值推理得证. （3）由（2）可得是的一个解，再分离参数构造函数，利用导数求出其值域即可求出的范围. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 设切点坐标为，则切线方程为， 而切线过点，因此，整理得， 解得或，当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为， 所以曲线经过点的切线条数为3. （2）略 （3）由（2）知，，， 因此是方程在的解，由方程在上有且仅有1个解， 得当时，无解，由， 得，令函数， 求导得 ，而，则， 函数在上单调递减， 当从小于的方向趋近于时，，又 当时，， 则恒成立，当且仅当时取等号， 即，，且当从大于的方向趋近于时，， 因此函数在上的值域为，由在无解，得， 由关于的方程在区间上有且仅有1个解，得， 所以的最小值为. 20．（2026·北京朝阳·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当时，判断曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由如下： 设曲线上是否存在两个不同的点关于点对称， 即关于点对称，所以， 所以有解， 所以在上有解， 所以，即， 令，因为，所以， 即在上有解. 令，求导得， 因为，所以，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上无解， 故曲线上不存在两个不同的点关于点对称. 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导判断函数的单调性，结合，，，可求得满足的的取值范围； （3）设曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，即关于点对称，进而可得在上有解，构造函数，利用换元法结合导数求解可得结论. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）若，由，可得， 令，，所以有两个正根， 记两正根为，且， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以函数至多三个零点，又， ，， 所以函数有三个零点，所以且， 所以满足的的取值范围为； （3）曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由略 21．（2026·北京房山·二模）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； (2)若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； (3)对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义列式计算得解； （2）构造函数，求导，分和讨论求解； （3）设，，则，，可得，由（2）可得，运算得解. 【详解】（1）设切点为，则，， 由，得切线的斜率， 所以，解得，，， 所以切点的坐标为，. （2）设，则， 当时，，则，即在上单调递增， 对任意的实数，都存在实数，使得； 当时，由，得，即在上单调递增， 由，得，所以在上单调递减， 所以， 所以存在，对任意，，不合题意； 所以的取值范围为. （3）因为与，的交点分别为， 所以可设，，则，， 所以， 由（2）知当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以当，即时，的最小值为. 22．（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）单调递增；（ⅱ） 【分析】(1)求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解 (2)(i)二次求导判断导数的最小值，进而判断原函数的单调性 (ii)与分类讨论，通过二次求导来证明极值点存在 【详解】【小题1】根据题意，，， ，，， 所以所求切线方程为. 【小题2】（ⅰ）时，， ， 设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，， 所以在上单调递增. （ⅱ）由已知， ， ， ①当时， ， 所以在上单调递增，不合题意. ②当时，设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 因为，当， ；当， ， 所以存在，，使 ． 当x变化时，，情况如下： x ＋ 0 － 0 ＋ ↗ ↘ ↗ 所以在上存在唯一的极大值点，符合题意. 综上所述， 23．（2026·北京顺义·二模）已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①极小值为；极大值为； ②证明过程如下 【分析】（1）由两条曲线在一点处的切线相同，则根据导数的几何意义即在该点处的斜率相等，即可求出的值； （2）①先求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性，从而确定极值点； ②通过判断极大值大于，极小值小于，再结合端点的函数值，即可判断零点的个数. 【详解】（1）解：由题意知，，所以点在 两条曲线上， 分别求导得，， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，则， 即，所以. （2）①解：，， 所以， 令，则或， 因为，所以， 又，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取极大值为； 在处取极小值为. ②由①可知，，，， 则，所以. 又在处取极小值为，， 令，则，， 因为，所以，因此在单调递减， 又，所以，即. 因为当时，；当时，，，则， 因此在有1个零点；在存在1个零点；在存在1个零点， 因此，函数有3个不同的零点. 24．（2026·北京·模拟预测）设函数，已知曲线在点处的切线为，． (1)求和的值； (2)求的单调区间； (3)已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 【答案】(1) (2)单调减区间为，没有单调增区间 (3)因为，， 所以，即， 故单调递减，又因为， 所以，即． 【分析】（1）求出导数，结合导数的几何意义列方程组，可得答案； （2）求解导数，根据导数符号判断单调性，得出单调区间； （3）构造函数，通过新函数的导数可得最值，进而可证结论. 【详解】（1）由题意得 因为曲线在点处的切线为 所以，解得，得到． （2）由题意得，的定义域为， 可得， 令，且它与符号相同， 令，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此，即， 所以单调减区间为，没有增区间. （3）略 25．（2026·北京大兴·三模）已知函数. (1)若曲线与直线相切于点，求a，b的值； (2)若关于的方程有两个不同的解， （i）直接写出的取值范围，并求证：； （ii）判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）； 因为的方程有两个不同的解， 所以，且， 所以， 所以. 因为，所以， 所以； （ii），理由见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（i）由的方程有两个不同的解，得到，且，通过计算得到结论；（ii）构造函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得到当时有，不妨设，则，从而得到，通过计算得到 . 【详解】（1）因为，所以， 因为曲线与直线相切于点， 所以，所以，所以， 又，所以. （2）（i）略； （ii）；令， 则，则时，有. 即在上单调递增， 故时，有， 不妨设，则， 则，即，即， 即，又，即， 即：. 26．（2026·北京·三模）已知函数． (1)设在处的切线为，求与直线的交点坐标； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再令，求出交点坐标； （2）利用导数研究函数的单调性； （3）分三种情况讨论求解，设，利用导数研究单调性，解不等式. 【详解】（1）因为，， 所以， ． 所以 ．所以切线为： ． 令，则．所以所求交点为． （2）由（1）知，． 令 ，则， 令，则，列表： 3 0 极大值 所以 ． 所以，故在区间上分别单调递减， 由知， 的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）当时， ，故符合； 当时， ，故符合； 当时， ． 设，则 ， 所以在上单调递减， 所以，所以． 综上所述，所求解集为． 27．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 (3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 28．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数 ． (1)若 ，求函数 的极值； (2)若 时， ，求 的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围． 【答案】(1) 极大值为 ，无极小值； (2) (3) 【分析】（1）先求出函数的定义域，根据导数判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）法一：用推并验证； 法二：借对称性分证明； 法三：换元后分3种情况讨论单调性； （3）由极值点条件得，化简表达式为，进而求出范围. 【详解】（1） 时， 令 或（舍去）或（舍去）      （0，2） 2 （2，4）      + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 ，函数无极小值； （2）法 1： 所以 时， ，所以 ． 当 时， ， ． 综上 的取值范围是 ． 法 2： 因为 ， 所以 关于 对称， 所以 时， 等价于 时， ． 首先： 由 时， 得 ． 其次： 证明 时， 时， ， 当 时， 在 递增， ． 当 时 ① 当 ，即 时， 递增． ② 当 ，即 时， 存在唯一 使得 ，即 ． 递增： 递减． ③ 当 ，即 时， 递减． 综上 最小值为 ， 因为 ， 所以 时， ． 综上 的取值范围是 ． 法 3： 令 ， ． 令 ， 时， ，等价于 时， ， ． ① 当 时， 递增． ② 当 时，存在唯一 使得 ． 递增： 递减． ③ 当 时，， 在 上递减，其最小值为 ， 欲满足题意，需 ，即 ， 结合条件，此情况下 的范围是 ， 综上 时， ， 因为 ， 所以 时， ，当且仅当 ． 综上 的取值范围是 . （3）当 时， 只有一个极值点． 当 时， ， 令 或 ． 若函数有两个极大值点 ， 则 在 有两个不等实根 ， 所以 ，且 ．                                    + 0 - 0 + 0 -      ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ， 29．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，并求导函数的零点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求函数的极值； （2）法1，首先根据，得到命题成立的必要条件，再证明时，不等式成立； 法2，首先利用对称性转化为时，，再分区间讨论函数的单调性，证明不等式； 法3，利用换元，，等价于时，，再根据，讨论的取值，判断函数的单调性，证明不等式； （3）首先根据导函数的零点个数，确定，再转化为在有两个不等实根，再代入韦达定理求得，即可求解. 【详解】（1） 时， 令 或（舍去）或（舍去） （0,2） 2 （2,4） + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 ，函数无极小值； （2）法 1： 所以 时， ，所以 ． 当 时， ， ． 综上，的取值范围是 ． 法 2： 因为 ， 所以关于对称， 所以时，等价于时， ． 首先：由时，得 ． 其次：证明时，时， ， 当时，在递增， ． 当时， ① 当，即 时， 递增． ② 当 ，即时， 存在唯一使得 ，即 ． 递增：递减． ③ 当，即时， 递减． 综上，最小值为 ， 因为 ， 所以 时， ． 综上，的取值范围是 ． 法 3：令 ， ． 令 ， 时，，等价于时， ， ． ① 当 时，递增． ② 当 时，存在唯一使得 ． 递增， 递减． ③ 当 时，， 在 上递减，其最小值为 ， 欲满足题意，需 ，即 ， 结合条件，此情况下的范围是 ， 综上时， ， 因为 ， 所以时，，当且仅当 ． 综上，的取值范围是 . （3）当时， 只有一个极值点． 当时， ， 令或 ． 若函数有两个极大值点， 则在有两个不等实根 ， 所以 ，且 ． + 0 - 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ， ，， 30．（2026·北京·三模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线斜率； (2)求证：对任意，恒成立； (3)设函数，曲线在点处的切线为，直线与轴，轴分别交于点，．求使得成立的整数的最小值．（参考数据：，，） 【答案】(1)切线斜率为 (2)对求导得， 对任意，，故在上单调递增， 因此， 即对任意，恒成立 (3)的最小值为 【分析】（1）根据函数导数的几何意义计算切线斜率； （2）利用导数判断函数的单调性证明不等式； （3）利用函数导数与函数单调性应用解得参数最小值； 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导，代入得， 曲线在点处的切线斜率为 （2）略 （3）因为，所以， 求导得， 代入得到切线斜率 切线的方程为， 分别令，解得 因此，代入化简得： ， 由（2）知且时，即， 因此等价于， 代入整数验证： ，不满足；，不满足； ，满足； 故整数的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $